Challenges - Math-OS

Des questions de Maths pour les curieux …

Cette page vous dirige vers des énoncés d’exercices, dont la résolution demande une certaine dose d’astuce mais relativement peu de bagage théorique (enfin … le plus souvent).

Ce sont typiquement des questions du style de celles que l’on trouve dans des sujets d’olympiades de mathématiques.

D’ailleurs, certains des challenges que je vous propose sont directement tirés des archives de telles compétitions … mais je ne vous dirai pas lesquelles, car il faut résister à la tentation de consulter une solution toute faite, quelque part sur le net 😉

Cela dit, le niveau de difficulté des questions est très variable.

Vous pensez avoir trouvé une solution pour un challenge non encore corrigé ? Le challenge est déjà corrigé mais vous pensez détenir une solution différente, plus courte ou tout simplement meilleure ? N’hésitez pas à la soumettre en passant par le formulaire de contact.

Et maintenant, cherchez bien et surtout : amusez-vous bien !

LISTE DES CHALLENGES

Challenges 1 – 10

Challenge n° 1 – Sommes et produits
Challenge n° 2 – Nombre de points d’intersection
Challenge n° 3 – Une somme trigonométrique
Challenge n° 4 – Une question d’irrationalité
Challenge n° 5 – Une équation fonctionnelle biscornue
Challenge n° 6 – Majoration d’une somme de série
Challenge n° 7 – Maximum de $\ln\left(1+x\right)\ln\left(1+\frac1x\right)$
Challenge n° 8 – Une histoire de bitangente
Challenge n° 9 – Somme de puissances et divisibilité
Challenge n° 10 – Encadrement de la somme des diviseurs

Challenges 11 – 20

Challenge n° 11 – Premier ou composé ?
Challenge n° 12 – Sommes entières de puissances
Challenge n° 13 – Partie entière et racine carrée
Challenge n° 14 – Probabilités et arithmétique élémentaire
Challenge n° 15 – La suite des non-multiples de 3
Challenge n° 16 – Une limite évidente ?
Challenge n° 17 – Écart entre termes consécutifs
Challenge n° 18 – L’entier 561 est remarquable !
Challenge n° 19 – Une suite harmonieusement monotone
Challenge n° 20 – A propos de $1/\sqrt3$

Challenges 21 – 30

Challenge n° 21 – Décomposition en somme d’entiers impairs
Challenge n° 22 – Parties dont le cardinal est multiple de 3
Challenge n° 23 – Une intrigue polynomiale
Challenge n° 24 – Combien d’antécédents ?
Challenge n° 25 – Polynômes stabilisant les repunits
Challenge n° 26 – Carrés des nombres de Fibonacci
Challenge n° 27 – Résolution dans $\mathbb{N}^3$ de $x^3-y^3=xy+61$
Challenge n° 28 – Au moins une solution pour $x^x\equiv a\pmod{p}$
Challenge n° 29 – Décomposition quadratique signée d’un entier
Challenge n° 30 – Valuation p-adique du coefficient binomial $\binom{n}{p}$

Challenges 31 – 40

Challenge n° 31 – Majoration d’une somme de carrés parfaits
Challenge n° 32 – Familles minimales de parties séparatrices
Challenge n° 33 – Récurrence du premier ordre pour la suite de Fibonacci
Challenge n° 34 – Equipotence de $\mathcal{C}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)$ et $\mathbb{R}^\mathbb{N}$
Challenge n° 35 – Une formule sommatoire harmonique
Challenge n° 36 – Écarts bornés ?… ou pas ?
Challenge n° 37 – Une inégalité absolument trigonométrique
Challenge n° 38 – Applications fortement surjectives
Challenge n° 39 – Un petit système algébrique sympa
Challenge n° 40 – Continuité et injectivité font-elles toujours bon ménage ?

Challenges 41 – 50

Challenge n° 41 – La réciproque d’une bijection continue est-elle continue ?
Challenge n° 42 – Mauvaises approximation rationnelles de $\sqrt2$
Challenge n° 43 – Le jeu de quinze revisité
Challenge n° 44 – Trop de numéros de téléphone
Challenge n° 45 – Que de cycles !!
Challenge n° 46 – Limite d’un minimum
Challenge n° 47 – Infinité de triplets additifs triangulaires
Challenge n° 48 – Nature d’une série trigonométrique
Challenge n° 49 – Caractérisation des ensembles infinis
Challenge n° 50 – Trois questions concernant les mots binaires

Challenges 51 – 60

Challenge n° 51 – Parties entières des multiples
Challenge n° 52 – Une sommation pas commode !
Challenge n° 53 – Encadrement de $1/\sin^2(x)-1/x^2$
Challenge n° 54 – L’équation fonctionnelle $f\left(f(x)\,f(y)\right)=f(x)+f(y)$
Challenge n° 55 – Étude du signe de $(x+1)\ln^2\left(x+1\right)-x^2$
Challenge n° 56 – Une simplification radicale !
Challenge n° 57 – Une sommation complexe qui n’est pas si compliquée
Challenge n° 58 – Maximum de $\frac{1}{p+q+1}-\frac{1}{(p+1)(q+1)}$
Challenge n° 59 – Une fonction assez peu monotone
Challenge n° 60 – Équation fonctionnelle pour $x\mapsto\frac1x$

Challenges 61 – 70

Challenge n° 61 – Carrés parfaits de la forme $1+2^p$
Challenge n° 62 – Suites bornées et moyennes de Cesàro
Challenge n° 63 – Valeurs d’adhérence et points fixes
Challenge n° 64 – Intégrale d’un produit vs. Produit d’intégrales
Challenge n° 65 – L’orthocentre est donné. Où est le triangle ?
Challenge n° 66 – Une majoration très classique de $\ln(2)$
Challenge n° 67 – Une inégalité de nature géométrique ?
Challenge n° 68 – Triple composition et monotonie
Challenge n° 69 – Permutation d’une suite convergente
Challenge n° 70 – Suites divergentes et lemme de Cesàro

Challenges 71 – 80

Challenge n° 71 : Sens de variation de $\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{nk}}}$
Challenge n° 72 : A propos de 2022
Challenge n° 73 : Infiniment infini
Challenge n° 74 : Aire limite d’un triangle
Challenge n° 75 : Une somme binomiale à expliciter !
Challenge n° 76 : Expressions symétriques positives
Challenge n° 77 : Un petit calcul polynomial
Challenge n° 78 : Une question de divisibilité
Challenge n° 79 : Plus petit entier naturel possédant 61 diviseurs
Challenge n° 80 : Permutations de $\mathbb{N}$

Challenges 81 – 90

Challenge n° 81 : Une inégalité radicale
Challenge n° 82 : Fibonacci & Lucas
Challenge n° 83 : Progression géométrique
Challenge n° 84 : Les nombres de Fermat sont impuissants
Challenge n° 85 : Limite en l’infini pour une réciproque
Challenge n° 86 : Une suite pas si monotone que ça !
Challenge n° 87 : Une anti-involution ?
Challenge n° 88 : Une drôle d’équation fonctionnelle
Challenge n° 89 : L’hypoténuse vue comme une moyenne géométrique
Challenge n° 90 : Sommes de nombres de module 1

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