Challenge 26 : carrés des nombres de Fibonacci

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Les nombres de Fibonacci sont définis par les relations :

    \[\boxed{F_{0}=0,\qquad F_{1}=1}\]

et

    \[\boxed{\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}}\]

Les premiers termes de cette suite sont :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Regardons maintenant leurs carrés :

0, 1, 1, 4, 9, 25, 64, 169, 441, 1156, 3025, 7921, 20736, …

Question 1

Sauriez-vous trouver une formule de récurrence pour cette seconde suite ?

Question 2

Montrer qu’il existe un nombre R>0 (à préciser) et deux polynômes P,Q à coefficients entiers (à préciser également) tels que :
\displaystyle{\forall x\in\left]-R,R\right[,\:\sum_{n=0}^{\infty}F_{n}^{2}x^{n}=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}

Une solution est disponible ici

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