Challenge 73 : infiniment infini

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:6 février 2022
Post category:Challenge

Un ensemble infini est qualifié de dénombrable (D, en abrégé) s’il est en bijection avec $\mathbb{N}.$ C’est le cas, entre autres, des ensembles $\mathbb{N}^{\star},$ $\mathbb{Z},$ $\mathbb{N}^{2}$ et $\mathbb{Q}.$

Il existe des ensembles infinis non dénombrables (ND, en abrégé), comme par exemple tout intervalle de $\mathbb{R}$ de longueur non nulle.

On peut assez facilement trouver des exemples de :

familles D de parties ND de $\mathbb{R},$ deux à deux disjointes. Exemple : $\left(\left[n,n+1\right[\right)_{n\in\mathbb{Z}}.$
familles ND de parties D de $\mathbb{R},$ deux à deux disjointes. Exemple : $\left(\mathbb{Z}+x\right)_{x\in\left[0,1\right[}.$

Sauriez-vous produire un exemple de famille ND de parties ND de $\mathbb{R},$ deux à deux disjointes ?

Une solution est disponible ici

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Étiquettes : blog de maths, challenge, disjoints, infini, Math-OS, math-spé, math-sup, MP*, MPII, MPSI, non dénombrable, partition, PCSI

Cet article a 3 commentaires

CLAVIER 7 Fév 2022 Répondre

OK… J’avais un doute sur la vacuité des intersections, vous y avez répondu !
CLAVIER 6 Fév 2022 Répondre

La famille des x + K où K est l’ensemble triadique de Cantor et où x décrit [0;1] – K. Je dis ça sans vérifier… Vous me direz si ça vous parait bon.
1. René Adad 7 Fév 2022 Répondre
  
  Il me semble que ces ensembles ne sont pas disjoints. Par exemple (en notation triadique) : $0.01\in K$ , $0.02\in K$ , $0.11\in[0,1]-K$ et $0.12\in[0,1]-K$ , mais $0.02+0.11=0,2=0.01+0.12$ .
  En notations fractionnaires standard : $\displaystyle{\frac29+\frac49=\frac23=\frac19+\frac59}$ , de sorte que $\displaystyle{\left(K+\frac49\right)\cap\left(K+\frac59\right)\neq\emptyset}$ .