Notons l’ensemble des carrés parfaits :
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Posons, pour tout :
Dans cette vidéo :
on affirme deux choses :
- Les entiers naturels
pour lesquels
est entier sont exactement ceux de la forme
- Si l’on pose :
est 337.
➣ Sauriez-vous établir le premier point ?
➣ Sauriez-vous montrer que l’ensemble est infini ?
Une solution est consultable ici
En me creusant bien la tête, j’arrive à résoudre la question 2 en passant par une équation de Pell-Fermat. Ce n’est pas vraiment au niveau Math-Sup, mais en bonus on peut engendrer simplement tout l’ensemble E.
As-tu une solution plus raisonnable ?
Non, je n’ai pas mieux. C’est de cette façon que j’ai résolu cette question, mais en faisant en sorte de ne pas avoir à connaître grand chose sur les équations diophantiennes en général et sur l’équation de Pell en particulier. En gros, l’identité
permet de prouver que E est infini (pas besoin de prouver qu’on sait engendrer tout E : il suffit d’en engendrer une partie infinie).