Challenge 49 : caractériser les ensembles infinis

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Avant toute chose, précisons un point de vocabulaire : une partie propre d’un ensemble non vide E est une partie de E qui n’est ni vide, ni égale à E lui-même. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels multiples de 3 est une partie propre de \mathbb{N}.

Rappelons également que si f:E\to F est une application et si A est une partie de E, on note f\langle A\rangle l’image directe de A par f, à savoir l’ensemble des images par f des éléments de A :

    \[f\langle A\rangle=\{f(a);\:a\in A\}\]

Par exemple, si f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto x^2, alors f\langle[-1,2]\rangle=[0,4].

Ceci étant dit, voici l’énoncé du challenge d’aujourd’hui …

Etant donné un ensemble E, il s’agit d’établir l’équivalence entre les deux assertions suivantes :

Assertion 1

L’ensemble E est infini

Assertion 2

Pour tout application f:E\to E, il existe une partie propre A de E qui contient son image directe


Une solution est disponible ici

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