Challenge 50 : combinatoire des mots binaires

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Un mot binaire est une liste (finie et ordonnée) de 0 et de 1. Pour tout n\in\mathbb{N}, il existe évidemment 2^n mots binaires de longueur n (le seul mot binaire de longueur 0 étant le mot vide).

Un grand classique des questions de combinatoire consiste à dénombrer, pour tout n, les mots binaires de longueur n possédant une propriété spécifique. C’est l’esprit du challenge n° 50 …

Afin que chacun trouve de quoi satisfaire son appétit combinatoire, je vous propose non pas une mais trois questions sur ce thème, de difficultés inégales …

Question 1

Combien de mots binaires de longueur n, comportant p fois le symbole 1 (pour p\in\llbracket0,n\rrbracket) ?

Question 2

Combien de mots binaires de longueur n, ne comportant pas deux 1 consécutifs ?

Question 3

Combien de mots binaires de longueur n, comportant p fois la séquence 01 ?


Une solution est disponible ici.

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