Challenge 50 : combinatoire des mots binaires

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:6 août 2020
Post category:Challenge

Un mot binaire est une liste (finie et ordonnée) de 0 et de 1. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , il existe évidemment $2^n$ mots binaires de longueur $n$ (le seul mot binaire de longueur 0 étant le mot vide).

Un grand classique des questions de combinatoire consiste à dénombrer, pour tout $n$ , les mots binaires de longueur $n$ possédant une propriété spécifique. C’est l’esprit du challenge n° 50 …

Afin que chacun trouve de quoi satisfaire son appétit combinatoire, je vous propose non pas une mais trois questions sur ce thème, de difficultés inégales …

Question 1

Combien de mots binaires de longueur n, comportant p fois le symbole 1 (pour $p\in\llbracket0,n\rrbracket$ ) ?

Question 2

Combien de mots binaires de longueur n, ne comportant pas deux 1 consécutifs ?

Question 3

Combien de mots binaires de longueur n, comportant p fois la séquence 01 ?

Une solution est disponible ici.

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