Challenge 63 : valeurs d’adhérence et points fixes

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Solution pour le challenge 63

Ce challenge requiert quelques connaissances de topologie.

Etant donnée une application f:\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,1\right] continue et un réel s\in\left[0,1\right], on définit une suite \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} en itérant f à partir de s, c’est-à-dire en posant : x_{0}=s et \forall n\in\mathbb{N},\thinspace x_{n+1}=f\left(x_{n}\right).

On note K l’ensemble des valeurs d’adhérence de cette suite et F l’ensemble des points fixes de f.

D’après vous, les assertions :

(1)   \begin{equation*}\fcolorbox{wpGray}{wpGray}{$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)=0}$}\end{equation*}


(2)   \begin{equation*}\fcolorbox{wpGray}{wpGray}{$K\subset F$}\end{equation*}

sont-elles équivalentes ?

Une solution est disponible ici

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