Challenge 59 : une fonction assez peu monotone

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Sauriez-vous trouver un exemple explicite d’application f:\mathbb R\to \mathbb R, dérivable en 0, telle que f'(0)>0 et qui n’est monotone sur aucun intervalle de la forme [-a,a], quel que soit le réel a>0 ?

Une solution est disponible ici

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Cet article a 7 commentaires

  1. Clavier Hervé 15 Nov 2020 Répondre

    Pour être plus précis, c’est le Th 2.7 (page 9) qui répond à votre question, mais il s’appuie sur la Prop 2.8 (page 10). Tout est démontré dans les pages qui suivent. Donc il existe bien, et on peut construire, des fonctions partout dérivables mais nulle part monotones.

  2. Clavier Hervé 15 Nov 2020 Répondre

    Vous pouvez aussi voir en bas de la page 10 de ce document (avec plein de fonctions « monstrueuses »). J’ai survolé mais ça m’a l’air plus simple que le précédent document.
    https://arxiv.org/pdf/1806.10994.pdf

    1. René Adad 15 Nov 2020 Répondre

      Merci pour ces références. Je regarde ça dès que possible.

  4. Clavier Hervé 14 Nov 2020 Répondre

    x -> x(1 + 2x sin(1/x)) si x différent de 0 et 0 -> 0 ça marche non ? Je n’ai pas vraiment vérifié, mais à vue d’oeil…

    1. René Adad 14 Nov 2020 Répondre

      Oui, effectivement. C’est d’ailleurs à très peu près la solution que je propose. L’étape suivante pourrait être la recherche d’une fonction dérivable qui ne serait monotone sur aucun intervalle de longueur non nulle. Pas sûr de savoir faire ça … à voir …

      1. Clavier Hervé 15 Nov 2020 Répondre

        C’est clairement plus ambitieux… Aucune idée sur l’existence d’une telle fonction de mon côté.

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