Cette page (qui est largement en construction) rassemble les définitions de termes mathématiques usuels, rencontrés dans les documents présents sur l’ensemble du blog Math-OS.
Chaque définition est illustrée d’au moins un exemple (et si le contexte s’y prête, d’un contre-exemple). Les confusions fréquentes, s’il y a lieu, sont également signalées.
Vous cherchez la définition d’un terme mathématique et ne la trouvez pas ici ?
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En fin de chaque rubrique, un simple clic sur le pictogramme ci-contre permet de revenir instantanément à la grille alphabétique.

ACCROISSEMENT (taux d’)
Soient un intervalle non trivial,
une application de
dans
et
tels que
Le taux d’accroissement de entre
et
est le réel :
Le théorème des accroissements finis dit que si est dérivable alors il existe
tel que :

Pour tout fixé, on peut définir la “fonction pente” :
Par définition, la dérivabilité de en
équivaut à l’existence d’une limite finie pour
en
Par ailleurs, la convexité de équivaut à la croissance de
pour tout
ADJACENTES (suites)
Deux suites réelles et
sont dites adjacentes lorsque :
- l’une est croissante,
- l’autre est décroissante,
- leur différence tend vers 0.
Proposition
Si les suites réelles sont adjacentes, alors elles convergent vers une même limite.
Pour tout réel on peut construire un couple
de suites adjacentes, à termes rationnels et dont la limite commune est
Une façon de faire consiste à poser, pour tout :
On démontre habituellement le théorème des segments emboîtés en considérant la suite des bornes inférieures, la suite
des bornes supérieures et en observant qu’elles forment un couple de suites adjacentes.
Voici d’autres exemples d’une telle situation :
Exemple 1
Etant donnés tels que
on définit deux suites réelles
et
en posant
et :
Il est intéressant de constater qu’à chaque étape, ce sont les moyennes arithmétique et harmonique de qui sont calculées pour obtenir
ainsi qu’à la limite, on trouve la moyenne géométrique des deux premiers termes.
Exemple 2
Les suites et
respectivement définies par :
Une preuve classique de l’irrationalité de repose d’ailleurs sur l’utilisation de ces deux suites. Voir ici.
APPLICATION
En toute rigueur, une application est un triplet , où
sont des ensembles et
une partie du produit cartésien
.
est l’ensemble de départ de l’application.
est l’ensemble d’arrivée de l’application.
est le graphe de l’application.
De manière intuitive, une application associe à chaque élément
de l’ensemble de départ un élément bien déterminé
de l’ensemble d’arrivée. On dit que
est l’image de
par l’application
, ce qu’on note :
On dit aussi que
est un antécédent de
.
Le graphe de
est, par définition, l’ensemble des couples de la forme
, pour
parcourant
. C’est donc bien une partie de
.
On peut visualiser une application en dessinant des “patates” pour représenter les ensembles de départ et d’arrivée. Chaque couple appartenant au graphe est alors représenté par une flèche issue de
et qui aboutit en
:

Notation usuelle :
Exemples
Voici quelques applications …
Dans ce dernier exemple, désigne l’ensemble des parties de
et
désigne la fonction indicatrice de la partie
.
ASSOCIATIVITÉ
Une opération sur un ensemble
est dite associative lorsque :
Il n’y a alors plus besoin de parenthèses : on peut noter sans que ceci ne soulève d’ambiguïté.
On peut aussi définir les itérés d’un élément en posant :
Un ensemble muni d’une opération associative est appelé un semi-groupe (s’il existe en outre un élément neutre, on parle de monoïde).
Pour en savoir plus sur l’associativité, on pourra consulter cet article.
BIJECTION
Une bijection d’un ensemble vers un ensemble
est, en quelque sorte, une “correspondance parfaite” entre ces deux ensembles.
Intuitivement, cela signifie que, de chaque élément de part une unique flèche vers un élément de
et, de plus, que vers chaque élément de
parvient une unique flèche provenant d’un élément de
:

De manière précise, une bijection est une application qui est à la fois injective et surjective.
L’injectivité signifie que tout élément de possède au plus un antécédent par
.
La surjectivité signifie que tout élément de possède au moins un antécédent par
.
La superposition des deux conditions signifie donc que tout élément de possède un unique antécédent par
. En symboles :
Chacune des applications suivantes est un exemple de bijection :
S’il existe une bijection , alors il existe une bijection de
(à commencer par la bijection réciproque de
, notée
, qui a tout élément de
associe son unique antécédent par
). On peut donc parler d’ensembles “en bijection”, sans préciser d’ensemble de départ ni d’arrivée : deux tels ensembles sont dits équipotents. Dans le cas de deux ensembles finis, cela signifie simplement que les deux ensembles ont le même cardinal.
Les exemples ci-dessus montrent que et
sont équipotents à
. On peut montrer que c’est aussi le cas de
: pour cette raison,
,
et
sont dits dénombrables. On peut montrer que
, en revanche, n’est pas dénombrable.
BINOMIAUX (coefficients)
Si sont deux entiers naturels, on note
le nombre de parties de cardinal
dans un ensemble de cardinal
Cet entier est évidemment nul si Et sinon, on peut montrer que :
Plus généralement, cette égalité reste valable pour tout couple d’éléments d’un anneau, qui commutent. On peut notamment l’appliquer à une couple de matrices carrées de même taille, à coefficients dans un même corps
.
Il existe de nombreuses formules faisant intervenir les coefficients binomiaux. Quelques unes des plus importantes son détaillées dans cet article.
Les coefficients binomiaux généralisés sont définis, pour tout par :
BORNÉ
La notion de partie bornée est présentée ici dans par souci de simplicité. Son cadre naturel est celui des espaces métriques.
On dit qu’une partie de
est bornée lorsque :
Il est facile de voir que :
- l’intersection d’une famille de parties bornées est bornée.
- l’union d’une famille finie de parties bornées est bornée.
Parmi les parties bornées de on peut distinguer :
- les intervalles bornés. Ce sont ceux de l’une des formes suivantes :
- les parties fermées et bornées. Pour une telle partie
, on peut extraire de toute suite
à termes dans
une sous-suite convergente dont la limite appartient à
La réciproque est vraie : toute partie de
ayant cette propriété est fermée et bornée. En d’autres termes, les parties fermées et bornées de
sont exactement les parties compactes de
.
A l’intersection des deux catégories 1 et 2 ci-dessus, on trouve les segments (intervalles fermés et bornés).
Maintenant, si alors une application
est dite bornée lorsque
est une partie bornée au sens précédent. Cela signifie donc qu’il existe
tel que :
CARDINAL
Le cardinal d’un ensemble fini est simplement le nombre d’éléments de
.
On le note : .
Par exemple, si , alors
.
Pour être plus précis, on peut définir cette notion comme suit :
- l’ensemble vide est de cardinal 0
- si
, un ensemble est dit de cardinal
lorsqu’il est en bijection avec
La validité de cette définition résulte du fait que si sont deux entiers naturels non nuls tels que
et
sont en bijection, alors
.
La notion de cardinal s’étend aux cas des ensembles infinis, mais cette notion est plus délicate. Disons, sans rentrer dans les détails, que le cardinal d’un ensemble peut être défini comme la classe (propre) des ensembles équipotents à
(c’est-à-dire : des ensembles qui sont en bijection avec
).
COMPACT
Un espace topologique est dit compact s’il est séparé (pour tout couple
de points distincts de
on peut trouver deux ouverts
disjoints, tels que
et
) et si l’on peut extraire de tout recouvrement ouvert de
un sous-recouvrement fini.
Cette dernière condition signifie que pour toute famille d’ouverts vérifiant
il existe
tel que
est fini et
On peut montrer que, pour un espace métrique (et, en particulier pour un espace vectoriel normé), cette définition équivaut à la suivante (appelée compacité séquentielle) : de toute suite à termes dans
on peut extraire une sous-suite convergente.
Etant donné d’un espace métrique :
- toute partie compacte de
est fermée.
- si
est compact, alors toute partie fermée de
est compacte.
- si
est une suite décroissante de parties compactes non vides, alors
Etant donnés deux espaces métriques :
- si
est une partie compacte de
et si
est une partie compacte de
alors
est une partie compacte de
- si
est compact et si
est continue, alors
est une partie compacte de
(énoncé
).
Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, les parties compactes sont celles qui sont fermées et bornées.
Cas particulier de l’énoncé : toute application continue d’un métrique compact dans
est bornée et atteint ses bornes. Ceci généralise le théorème selon lequel toute application continue
est bornée et atteint ses bornes (en effet : un segment est une partie fermée et bornée de
, donc un espace compact).
Exemple 1
Etant donné un evn
notons
sa boule unité fermée et
sa sphère unité. Alors la compacité de
et celle de
sont équivalentes. En effet, si la sphère
est compacte, alors comme l’application :
Exemple 2
Dans étant donné un triangle
(enveloppe convexe de trois points
non alignés), il existe un point
en lequel le produit
est maximum. Il suffit de voir que
est compact (fermé et borné) et que l’application :
Exemple 3
Soit est un
evn et soient
deux parties de
.
Si est fermé et si
est compact, alors
est fermé. En effet, étant donnée une suite convergente
à termes dans
on peut poser, pour tout
:
avec
et
Comme
est compact, la suite
possède une suite extraite
qui converge vers un vecteur
La suite est alors convergente (différence de deux suites convergentes) et, en notant
sa limite :
car
est fermé. En notant
la limite de
qui est aussi celle de
on voit que :
COMPOSITION (loi o)
Etant donnés trois ensembles et deux applications
et
, on note
l’application
On dit que est la composée de
par
.
On peut étendre la définition au cas où avec
. Cette condition garantit en effet que l’on peut appliquer
à
, pour tout
.
Exemple
Si et
sont les applications suivantes :
Une propriété à la fois simple et fondamentale de la composition des applications est son associativité. Cela signifie que s’il est possible de composer par
et
par
, alors
Signalons pour finir que si sont deux applications d’un ensemble
dans lui-même, alors il se peut que
(mais ce n’est pas vrai en général).
On dit alors que et
commutent.
Exemple
Si , alors les polynômes de Tchebytchev de première espèce
et
commutent. En effet, pour tout
:
Ceci prouve que les polynômes et
sont égaux puisqu’ils coïncident sur l’ensemble
qui est infini.
CONVERGENCE (d’une suite réelle)
Une suite réelle est dite convergente lorsqu’il existe un réel
tel que :
Le réel est alors unique. C’est la limite de
notée
ou bien
Une suite non convergente est dite divergente.
Exemple 1
La suite de terme général :
Etant donné posons :
Alors et la condition
entraîne
Exemple 2
La suite de terme général :
En effet, supposons le contraire, notons sa limite et fixons un réel
Il existerait tel que :
➡ On peut montrer que toute suite réelle convergente est bornée. Cet exemple montre que la réciproque est fausse.
Exemple 3
La suite de terme général :
L’inégalité équivaut à
qui se prouve aisément par récurrence.
➡ Cet exemple montre qu’une suite peut converger, sans être monotone (et même : en n’étant monotone à partir d’aucun rang). Cependant :
Théorème (limite monotone)
Toute suite réelle, croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge.
Toutes les opérations raisonnables entre suites réelles convergentes produisent de nouvelles suites convergentes. Notamment :
- la somme de deux suites convergentes converge vers la somme de leurs limites.
- le produit de deux suites convergentes converge vers le produit de leurs limites.
- si
converge vers
alors il existe
tel que
pour tout
et, de plus, la suite
converge vers
- si
converge vers
alors la suite de terme général :
(c’est le lemme de Cesàro).
On dit que la suite réelle est de Cauchy lorsque :
CONVEXE (fonction)
Soit un intervalle non trivial. Une application
est dite convexe lorsque :

On dit que est concave lorsque
est convexe. Les applications affines sont, si l’on peut dire, à l’interface entre l’ensemble des applications convexes et celui des applications concaves (elles en forment l’intersection).
On peut montrer que si est convexe, alors
est continue en tout point intérieur à
Mieux,
est en fait dérivable à gauche et à droite en un tel point.
Si est dérivable, alors :

Exemples
Les applications pour
ainsi que
pour
sont convexes.
Le logarithme népérien est concave sur
Pour tout , l’application
est convexe sur chaque
et concave sur chaque
Si est dérivable est convexe, alors :

Comme l’exponentielle est convexe, alors :
Pour aller plus loin …
La notion d’application convexe se généralise.
Soit un
espace vectoriel et
une partie convexe de
Une application
est dite convexe lorsque :
CONVEXE (partie)
Etant donné un espace vectoriel
une partie
de
est dite convexe lorsque :
Par définition, le segment joignant deux vecteurs est l’ensemble

Les parties convexes de sont les intervalles.
Tout sous espace affine (et, en particulier, tout sous-espace vectoriel) de est convexe, de même que l’image directe ou réciproque d’une partie convexe par une application affine.
L’intersection d’une famille quelconque de parties convexes de est encore convexe. Ceci permet d’ailleurs de définir l’enveloppe convexe d’une partie quelconque
de
comme l’intersection de la famille des parties convexes qui contiennent
➡ On suppose maintenant que est muni d’une norme.
Toute boule (ouverte ou fermée), pour une quelconque norme sur est une partie convexe (ceci généralise ce qui a été dit plus haut au sujet des intervalles de
L’adhérence et l’intérieur d’une partie convexe sont encore convexes.
La distance à une partie convexe définie par :
DIAGONALISABLE
Soit un
espace vectoriel de dimension finie et soit
Définition 1
est dit diagonalisable lorsqu’il existe une base de
formée de vecteurs propres pour
Dans une telle base,
est représenté par une matrice diagonale, d’où la terminologie.
Définition 2
Une matrice est dite diagonalisable dans
(précision indispensable ! voir exemple ci-dessous) lorsque l’endomorphisme de
canoniquement associé à
est diagonalisable.
Ceci revient à dire qu’il existe un couple tel que :
Exemple
est diagonalisable dans
mais pas dans
On note le spectre de
et
son polynôme caractéristique.
Pour chaque valeur propre on note :
la dimension du sous-espace propre associé
la multiplicité de
en tant que racine de
Théorème 1
est diagonalisable si, et seulement si,
est scindé dans
et de plus :
Corollaire
Si est scindé dans
et à racines simples, alors
est diagonalisable.
Par exemple, l’endomorphisme de canoniquement associé à la matrice triangulaire
Autre exemple, moins immédiat : toute matrice est la limite d’une suite de matrices diagonalisables dans
. Autrement dit, l’ensemble des matrices diagonalisables dans
est une partie dense de
.

Attention : Le corollaire ci-dessus ne donne qu’une condition suffisante (et pas du tout nécessaire) de diagonalisation. Par exemple, une homothétie est évidemment diagonalisable et possède pourtant une valeur propre multiple (en dimension ).
Théorème 2
est diagonalisable si, et seulement s’il existe
scindé dans
et à racines simples, tel que
Par exemple : tout projecteur de est diagonalisable puisqu’annulé par
de même (en caractéristique différente de 2) toute symétrie de
est diagonalisable puisqu’annulée par
EMBOITÉS (intervalles)
Si l’on considère une suite d’intervalles, décroissante pour l’inclusion (c’est-à-dire vérifiant
pour tout
et si l’on intersecte tous les
l’ensemble obtenu est un intervalle. Mais celui-ci peut être vide :
- c’est le cas si, par exemple,
pour tout
- c’est aussi le cas lorsque
pour tout
Dans le premier cas, les intervalles sont tous fermés. Dans le second, la longueur de tend vers 0. Mais aucune de ces conditions ne suffit pour empêcher l’intersection d’être vide.
Maintenant, combinons les deux hypothèses :
Si l’on pose alors les suites
et
sont adjacentes (la suite
est croissante, la suite
est décroissante et leur différence tend par hypothèse vers 0). Elles ont donc une limite commune
Comme
pour tout
alors
appartient à l’intersection de tous les
Et si appartient à cette intersection, alors en passant à la limite dans l’encadrement
on voit que
Ce résultat se généralise : dans un espace métrique complet, pour toute suite décroissante de parties fermées, non vides et dont le diamètre tend vers 0, l’intersection est un singleton. Voir cet article.
En abandonnant la condition portant sur la longueur des on obtient le résultat suivant :
Théorème (des segments emboîtés) n° 2
Si est une suite de segments (intervalles fermés et bornés non triviaux), décroissante pour l’inclusion, alors :
Seul le caractère non vide de l’intersection mérite une explication.
On peut définir une suite en choisissant un terme
dans
et ceci pour tout
Cette suite est à termes dans donc est bornée. D’après Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite convergente
Notons
sa limite.
Pour tout la suite tronquée
est à termes (dans
donc) dans
qui est fermé. Par conséquent
Ceci prouve que
appartient à l’intersection des
qui est de ce fait non vide.
Là encore, le résultat se généralise : dans un espace métrique, l’intersection d’une suite décroissante de parties compactes non vides est non vide.
FACTORIELLE
Pour chaque entier on définit sa factorielle, que l’on note
comme le produit des entiers de 1 à
Par exemple :
La factorielle de peut s’interpréter comme le nombre de permutations de
éléments. Cet article propose une interprétation amusante de la factorielle de
(c’est-à-dire du nombre de façons de permuter un jeu de cartes).
Si sont des entiers tels que
le coefficient binomial
est donné par :
Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un entier soit premier est donnée par le théorème de Wilson :
La formule de Stirling donne, lorsqu’on fait tendre vers
l’estimation asymptotique suivante :
La fonction Gamma d’Euler, définie pour tout réel
par :
Ainsi,
On peut montrer que
FERMÉ
La notion de partie fermée est présentée ici dans par souci de simplicité. Son cadre naturel est celui des espaces topologiques.
On dit d’une partie de
que c’est un fermé lorsque son complémentaire est un ouvert; autrement dit lorsque :
Cette condition équivaut à la suivante (caractérisation séquentielle des fermés) : pour toute suite à termes dans
si cette suite converge, alors sa limite appartient à
L’adjectif “fermé” doit donc être compris comme “fermé pour le passage à la limite” : on ne sort pas de en prenant la limite d’une suite convergente d’éléments de

Attention :
“être un fermé” n’est pas la négation de “être un ouvert” !
Par exemple : n’est ni un ouvert ni un fermé.
Les parties suivantes de sont des fermés :
pour tout couple
tel que
- l’intersection de toute famille de fermés
- l’union d’un famille finie de fermés
- l’image réciproque d’un fermé par une application continue
Les parties suivantes de ne sont pas des fermés :
pour tout couple
tel que
et
GROUPE
La structure de groupe a été introduite, sous une forme particulière, par Évariste Galois dans le cadre de ses recherches sur les équations algébriques. Elle a été ensuite généralisée et cette généralisation s’est avérée fondamentale dans quasiment tous les secteurs des mathématiques.
Un groupe est un ensemble muni d’une opération associative, possédant un élément neutre et telle que chaque élément admet un symétrique.
L’opération peut être notée par un symbole (comme ,
ou
par exemple) ou par simple juxtaposition, moyennant quoi la définition formalisée est la suivante :
Un groupe est un couple formé d’un ensemble et d’une opération sur cet ensemble, tels que :
Si l’opération est en outre commutative, c’est-à-dire si :
Des exemples usuels de groupes sont :
- le groupe additif des entiers :
,
- le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls :
,
- le
-ème groupe de permutations :
,
- le groupe des matrices carrées réelles de taille
, inversibles :
.
On peut citer des exemples plus géométriques, comme le groupe des isométries d’un cube ou encore le groupe des homothéties-translations d’un espace affine.
(fonction) INDICATRICE
Etant donnés un ensemble et une partie
de
, la fonction indicatrice de
est l’application :
Exemples
Si est une partie finie d’un ensemble
, alors
Si est un intervalle de
, de longueur
, alors
est une densité de probabilité pour la loi uniforme sur
.
La fonction indicatrice de est une application discontinue en tout point.
(symbole de) KRONECKER
Si est un ensemble quelconque et
un couple d’éléments de
, on note :
Cette notation est d’usage fréquent, notamment en algèbre linéaire.
Exemples
Dans ce qui suit, désigne un corps (
ou
généralement).
- Soit
une base d’un
-espace vectoriel
. Pour tout
, on note
la
-ème forme coordonnée relativement à cette base. C’est l’unique forme linéaire vérifiant :
est une base de
(c’est la base duale de
).
- Etant donnés un entier
et un couple
, on note
la matrice dont les termes sont tous nuls, à l’exception de celui situé à l’intersection de la ligne
et de la colonne
, qui vaut 1. On peut donc écrire :
forment la base canonique de
.
(élément) NEUTRE
Etant donnée une opération sur un ensemble
, un élément
est dit neutre à gauche pour cette opération lorsque :
On définit de même la notion d’élément neutre à droite. Un élément neutre (tout court) est un élément à la fois neutre à gauche et neutre à droite. Ces trois notions se confondent si est commutative.
L’existence d’un élément neutre n’est pas garantie (voir exemple plus bas).
En revanche, il y a unicité puisque si et
sont neutres pour
, alors :
Quelques exemples usuels :
- Le neutre pour l’addition dans
est 0.
- Le neutre pour la multiplication dans
est 1.
- Le neutre pour la composition (loi
) dans
(ensemble des applications de
dans lui-même) est l’application identité
.
- Les neutres des opérations d’union et d’intersection dans
(ensemble des parties de
) sont respectivement
et
.
- Le neutre de la multiplication dans
est la matrice unité
.
Pour la soustraction dans , il n’existe pas d’élément neutre (toutefois, 0 est neutre à droite).
NORME
Etant donné un espace vectoriel
une norme sur
est une application
vérifiant les trois conditions suivantes :
- Homogénéité :
- Inégalité triangulaire :
- Condition de séparation :
On peut définir de la même façon une norme sur un espace vectoriel, en considérant bien sûr que
désigne cette fois le module du nombre complexe
Un ev muni d’une norme est un espace vectoriel normé (evn en abrégé).
On définit, pour et
la boule ouverte de centre
et de rayon
:
L’application :
Exemples fondamentaux
Dans les trois normes standard sont définies par :
On notera que si , ces trois normes se confondent : on retrouve la valeur absolue (qui est la norme usuelle sur
).
Dans l’espace des applications continues de
dans
les trois normes standard sont définies par :
Si un espace vectoriel
est muni d’un produit scalaire, alors l’application :
Dans les exemples ci-dessus :
est une norme euclidienne sur
Elle est issue du produit scalaire défini par :
est une norme euclidienne sur
Elle est issue du produit scalaire défini par :
Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une norme sur un
espace vectoriel
soit euclidienne est qu’elle vérifie la formule du parallélogramme :
Encore un résultat important (parmi tant d’autres) : un espace vectoriel est de dimension finie si, et seulement si, sa boule unité fermée est compacte (théorème de F. Riesz).
ORDRE
Etant donné un ensemble une relation binaire
sur
est appelée une relation d’ordre lorsqu’elle est :
- réflexive :
- antisymétrique :
- transitive :
Quelques exemples classiques :
- la relation
(inférieur ou égal ) dans
- l’ordre lexicographique associé à un alphabet
- la relation ⊂ (inclusion) dans
où
est un ensemble quelconque
- la relation | (divisibilité) dans
D’une manière générale, étant donnée une relation d’ordre sur un ensemble
l’ordre est dit total lorsque les éléments de
sont deux à deux comparables :
Etant donné un ensemble muni d’une relation d’ordre
une partie
de
possède un plus petit élément lorsque :
L’ensemble est dit bien ordonné lorsque toute partie non vide de
admet un plus petit élément.
est donc bien ordonné alors que
ne l’est pas (pour l’ordre usuel
Noter qu’un bon ordre est nécessairement un ordre total : étant donnés
ces deux éléments sont comparables puisque la paire
admet un plus petit élément.
Une conséquence de l’axiome du choix est l’existence, pour tout ensemble non vide, d’un bon ordre.
OUVERT
La notion de partie ouverte est présentée ici dans par souci de simplicité. Son cadre naturel est celui des espaces topologiques.
On dit d’une partie de
que c’est un ouvert lorsque :
Les parties suivantes de sont des ouverts :
pour tout couple
tel que
- l’union de toute famille d’ouverts
- l’intersection d’une famille finie d’ouverts
- l’image réciproque d’un ouvert par une application continue
Les parties suivantes de ne sont pas des ouverts :
pour tout
et
pour tout couple
tel que
et
PARTIE (d’un ensemble)
Les parties d’un ensemble , appelées aussi sous-ensembles de
, sont les ensembles inclus dans
.
Par exemple, les parties de sont
,
,
et
.
On note l’ensemble des parties de
.
On peut montrer que si est fini, alors
aussi et :
Quel que soit l’ensemble , il n’existe aucune surjection (et en particulier) aucune bijection de
vers
.
PARTIE ENTIERE
Etant donné un réel on note
la partie entière par défaut de
C’est le plus grand entier vérifiant
Autrement dit :
Par exemple :
De manière analogue, on note la partie entière par excès de
C’est le plus petit entier vérifiant
On a donc :
Si est entier, il est clair que :
Graphe de la fonction :

La relation exprime l’invariance du graphe par la translation de vecteur
Une jolie formule (parmi tant d’autres) faisant intervenir des parties entières :
Théorème
(formule de Legendre)
Pour tout nombre premier et tout entier
la valuation
adique de
est :
En fait, cette somme est finie, car dès que
est assez grand.
Pour plus d’information sur ce résultat, on pourra consulter cet article
PARTITION (d’un ensemble)
Etant donné une ensemble non vide , une partition de
est un ensemble
de parties de
telles que :
- chaque
est non vide
- les
sont deux à deux disjoints
est l’union des
Noter que l’ensemble d’indices peut éventuellement être infini.
Exemples
- Si
, alors en posant :
est une partition de
.
- Etant donné un entier
, si l’on note pour tout
:
forment une partition de
.
- Si l’on note
l’ensemble des applications de
dans
qui prennent la valeur
en 0, alors l’ensemble
est une partition de
.
Etant donné un groupe , l’ensemble de ses sous-groupes ne forme pas une partition de
. En effet, les sous-groupes de
sont tous non vide et leur union est
, mais ils ne sont pas deux à deux disjoints (puisqu’ils contiennent tous l’élément neutre).
Si est un ensemble fini de cardinal
, alors le nombre de partitions de
est le n-ème nombre de Bell, noté
. Voir cet article.
PERMUTATION
Etant donné un ensemble non vide une permutation de
est une bijection dans
dans lui-même.
L’ensemble des permutations de est noté
(la lettre
est le S de l’alphabet fraktur, un type d’écriture gothique). Comme la composée de deux bijections est une bijection, la loi
est une opération dans l’ensemble
Elle lui confère une structure de groupe. Ce groupe est non abélien dès que
plus précisément, son centre est réduit à
Les groupes
et
sont isomorphes si, et seulement si,
et
sont équipotents.
On peut montrer que tout groupe est isomorphe à un sous-groupe de
(théorème de Cayley), ce qui montre le caractère universel des groupes de permutations.
Parmi les éléments de on distingue les cycles. Etant donnés
des éléments distincts de
la bijection
définie par :
Un 2-cycle (ou transposition) échange deux éléments et laisse les autres fixes.
Si on note
pour
Le groupe
est appelé
ème groupe symétrique. C’est un groupe de cardinal
(la factorielle de
engendré par les transpositions (plus précisément, les
transpositions
pour
forment une partie génératrice de
Exemple
Les éléments de
sont les suivants :
La matrice
Ces six éléments sont donc :
- l’identité de
: c’est l’élément neutre du groupe
- les trois transpositions : celle qui échange 2 et 3, celle qui échange 1 et 3, celle qui échange 1 et 2.
- les deux permutations circulaires
(nombre) PREMIER
Un nombre entier est dit premier lorsqu’il possède exactement deux diviseurs (positifs), à savoir : 1 et
lui-même.
Ainsi, 15 n’est pas premier puisque cet entier n’est pas seulement divisible par 1 et 15 (mais aussi par 3 et 5).

Ne pas confondre avec la notion de nombres premiers entre eux.
L’ensemble des nombres premiers, noté , est infini. Ses huit plus petits éléments sont :
On peut montrer que tout entier se décompose en produit de facteurs premiers, sous la forme :
Exemples
Pour en savoir plus sur les nombres premiers, on pourra consulter cet article.
PRODUIT CARTÉSIEN
Etant donnés deux objets mathématiques quelconques et
, on note
le couple qu’ils forment (dans cet ordre).
Une façon de rattacher cette notion à celle d’ensemble est de considérer que désigne l’ensemble
, mais cet subtilité n’est pas importante en pratique … ce qui compte, c’est de se rappeler qu’un couple est ordonné. Ainsi, les couples d’entiers
et
sont distincts.
Par contraste, les ensembles et
sont identiques.
Etant donné un couple , on dit que
(resp.
) est la première composante (resp. la seconde composante) de
.
Maintenant, si et
sont deux ensembles quelconques, on note
l’ensemble des couples
pour lesquels
et
. Cet ensemble est appelé produit cartésien de
par
.
Par exemple, si et
, alors :
On généralise la notion de couple en celle de -uplet (ou : liste de longueur
), avec
un entier plus grand que 1.
Si sont des ensembles quelconques, leur produit cartésien (dans cet ordre) est défini comme l’ensemble des
-uplets
, avec
, … etc …,
.
Cet ensemble est noté , ou bien de manière abrégée :
.
PROPRE (valeur, vecteur)
Soient un espace vectoriel
un endomorphisme
et
un scalaire.
Ce scalaire est appelé une valeur propre de lorsque :
Un tel est appelé un vecteur propre pour
associé à la valeur propre
L’ensemble des valeurs propres de est le spectre de
noté
C’est donc une partie de
On peut montrer que si
est de dimension finie, alors
est fini et
.
En revanche, lorsque est de dimension infinie, le spectre d’un endomorphisme peut être infini : voir l’exemple n° 4 ci-dessous ou encore cette vidéo.
Exemples
- Si
est une homothétie, c’est-à-dire
pour un certain
alors
est l’unique valeur propre de
et tout vecteur non nul est propre pour
- Si
est canoniquement associé à
alors
ne possède aucune valeur propre (et il n’existe donc aucun vecteur propre pour
Ceci est géométriquement évident, puisque
est la rotation de mesure
: on voit mal comment un vecteur non nul pourrait être colinéaire à son image …
- Si
est de dimension finie et si
est nilpotent, c’est-à-dire s’il existe
tel que
alors
est la seule valeur propre de
- Si
désigne l’endomorphisme de dérivation de
alors tout réel
est valeur propre de
puisque l’application
(qui n’est pas l’application nulle) appartient à
et vérifie
Si alors l’ensemble
est le sous-espace propre (sep) pour
associé à la valeur propre
C’est donc la partie de
formée du vecteur nul et des vecteurs propres pour
associés à la valeur propre
On peut montrer que, si est de dimension finie, alors la somme des sep pour
est directe. Lorsque cette somme directe coïncide avec
l’endomorphisme
est dit diagonalisable.
RACINE CARRÉE
Etant donné un nombre réel , on peut montrer que l’équation
d’inconnue
possède deux solutions opposées (confondues si
).
Celle qui est positive est la racine carrée de ; on la note
ou
.
Si , il n’existe aucune solution réelle à l’équation
.
Par exemple :
L’application est la bijection réciproque de
.

On peut montrer que si n’est pas le carré d’un entier, alors
.
D’une manière générale, si est un anneau et si
, les racines carrées dans
de
sont les (éventuelles) solutions de l’équation
, d’inconnue
.
Dans le corps , tout
possède deux racines carrées opposées et l’usage du symbole
est proscrit (ou, tout au moins, pas recommandé à un niveau élémentaire, puisqu’il ne désigne pas un nombre complexe mais d’une paire de nombres complexes).
Dans l’anneau des matrices carrées réelles de taille
, certains éléments ne possèdent aucune racine carrée, d’autres en possède un nombre fini, d’autres encore en possèdent une infinité.
Dans le corps (pour
premier impair), il existe
éléments possédant une racine carrée et
éléments n’en possédant pas.
RÉEL (nombre)
De façon naïve, les nombres réels sont tous les nombres que l’on peut associer à un point d’une droite après avoir choisi un repère normé pour celle-ci. En clair : on commence par choisir deux points de
l’un est associé à 0 et l’autre à 1. Après cela, une correspondance bijective est établie entre
et
: chaque point est associé à un nombre réel bien déterminé et réciproquement. L’illustration ci-dessous donne une idée de cette correspondance :

On peut aussi se représenter un nombre réel en considérant son développement décimal illimité :
Mais il faut bien reconnaître que cette écriture, avec ses points de suspension, manque cruellement de rigueur. Pour une construction sérieuse de
Brève énumération de quelques sous-ensembles importants de :
- l’ensemble
des entiers naturels : 0, 1, 2, 3, etc …
- l’ensemble
des entiers relatifs : …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
- l’ensemble
des nombres décimaux : ce sont les
pour
et
- l’ensemble
des nombres rationnels, c’est-à-dire de la forme
avec
et
- l’ensemble
des nombres irrationnels : tous les réels … qui ne sont pas rationnels !
et beaucoup, beaucoup d’autres …
- l’ensemble
des nombres algébriques : ce sont les solutions d’équations de la forme
avec
un polynôme de degré
à coefficients entiers.
Ces ensembles, à l’exception de sont dotés d’une structure algébrique (
et
sont des anneaux,
et
sont des corps).
Schéma d’une construction du corps des nombres réels
En supposant connu le corps des rationnels, on peut construire un corps totalement ordonné, archimédien et complet admettant un sous-corps isomorphe à
En outre, un tel corps est unique à isomorphisme (de corps) près.
Voici, dans les grandes lignes, le plan d’une telle construction : on quotiente l’anneau des suites de Cauchy de rationnels par l’idéal constitué des suites de limite nulle. Comme cet idéal est maximal, le quotient est un corps, que l’on note En associant à tout rationnel la classe de la suite constante qu’il définit, on établit un morphisme injectif de corps, qui permet d’identifier
à un sous-corps de
Il reste à prouver le caractère archimédien et la complétude de
Cette construction, attribuée à Charles Meray ainsi qu’à Georg Cantor n’est qu’une parmi d’autres. Le mathématicien allemand Richard Dedekind en a proposé une autre, reposant sur la notion de coupures de rationnels.
SUITE
Etant donné un ensemble non vide , une suite à termes dans
est une application
.
Si est une suite, on note
son terme de rang
(on dit aussi : d‘indice
); c’est l’image de
par l’application
. Cette notation, largement utilisée, est une alternative à la notation
, qu’on utilise habituellement pour désigner l’image d’un élément par une application.
Si l’on dispose d’une formule pour , on peut alors noter
au lieu de
.
Par exemple : la suite .
Par extension, l’ensemble de départ d’une suite n’est pas obligatoirement . Il peut s’agir, plus généralement, d’une partie de
de la forme
, pour un certain
.
On note alors . Par exemple : la suite
.
Attention ! Ne pas confondre :
- la suite
à termes dans
: c’est une application de
dans
.
- le terme
: c’est un élément de
.
- l’ensemble
des termes de la suite
: c’est une partie de
.