Vocabulaire Mathématique

Cette page (qui est largement en construction) rassemble les définitions de termes mathématiques usuels, rencontrés dans les documents présents sur l’ensemble du blog Math-OS.

Chaque définition est illustrée d’au moins un exemple (et si le contexte s’y prête, d’un contre-exemple). Les confusions fréquentes, s’il y a lieu, sont également signalées.

Vous cherchez la définition d’un terme mathématique et ne la trouvez pas ici ?

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JKLMNOPQR
STUVWXYZ

En fin de chaque rubrique, un simple clic sur le pictogramme ci-contre permet de revenir instantanément à la grille alphabétique.

ACCROISSEMENT (taux d’)

Soient I un intervalle non trivial, f une application de I dans \mathbb{R} et a,b\in I tels que a<b.

Le taux d’accroissement de f entre a et b est le réel :

    \[\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\]

C’est la pente (coefficient directeur) de la droite \Delta de \mathbb{R}^{2} qui passe par \left(a,f\left(a\right)\right) et \left(b,f\left(b\right)\right).

Le théorème des accroissements finis dit que si f est dérivable alors il existe c\in\left]a,b\right[ tel que :

    \[\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f'\left(c\right)\]

On interprète géométriquement cette propriété en disant qu’il existe un point du graphe de f en lequel la tangente est parallèle à \Delta.

Pour tout a\in I fixé, on peut définir la “fonction pente” :

    \[p_{a}:I-\left\{ a\right\} \rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}\]

Par définition, la dérivabilité de f en a équivaut à l’existence d’une limite finie pour p_{a} en a.

Par ailleurs, la convexité de f équivaut à la croissance de p_{a}, pour tout a\in I.

APPLICATION

En toute rigueur, une application est un triplet (E,F,\Gamma), où E,F sont des ensembles et \Gamma une partie du produit cartésien E\times F.

E est l’ensemble de départ de l’application.

F est l’ensemble d’arrivée de l’application.

\Gamma est le graphe de l’application.

De manière intuitive, une application u associe à chaque élément x de l’ensemble de départ un élément bien déterminé y de l’ensemble d’arrivée. On dit que y est l’image de x par l’application u, ce qu’on note : y=u(x) On dit aussi que x est un antécédent de y.

Le graphe \Gamma de u est, par définition, l’ensemble des couples de la forme (x,u(x)), pour x parcourant E. C’est donc bien une partie de E\times F.

On peut visualiser une application en dessinant des “patates” pour représenter les ensembles de départ et d’arrivée. Chaque couple (x,y) appartenant au graphe est alors représenté par une flèche issue de x et qui aboutit en y :

Notation usuelle :

    \[f:X\to Y,x\mapsto f(x)\]

Exemples

Voici quelques applications …

    \[f:\mathbb{N}\to\mathbb{N},\,n\mapsto n^2\]

    \[g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\,x\mapsto e^x-x-1\]

    \[h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2,\,t\mapsto(\cos(t),\sin(t))\]

    \[\varphi:\mathcal{P}(\mathbb{N})\to[0,2],A\mapsto\sum_{n=0}^\infty\frac{\mathds{1}_A(n)}{2^n}\]

Dans ce dernier exemple, \mathcal{P}(\mathbb{N}) désigne l’ensemble des parties de \mathbb{N} et \mathds{1}_A désigne la fonction indicatrice de la partie A.

ASSOCIATIVITÉ

Une opération \star sur un ensemble E est dite associative lorsque :

    \[\forall(a,b,c)\in E^3,\,\left(a\star b\right)\star c=a\star\left(b\star c\right)\]

Il n’y a alors plus besoin de parenthèses : on peut noter a\star b\star c sans que ceci ne soulève d’ambiguïté.

On peut aussi définir les itérés d’un élément x\in E en posant :

    \begin{eqnarray*}x^1 & = & x\\x^{n+1} & = & x \star x^{n}\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}^\star\end{eqnarray*}

Un ensemble muni d’une opération associative est appelé un semi-groupe (s’il existe en outre un élément neutre, on parle de monoïde).

Pour en savoir plus sur l’associativité, on pourra consulter cet article.

BIJECTION

Une bijection d’un ensemble E vers un ensemble F est, en quelque sorte, une “correspondance parfaite” entre ces deux ensembles.

Intuitivement, cela signifie que, de chaque élément de E part une unique flèche vers un élément de F et, de plus, que vers chaque élément de F parvient une unique flèche provenant d’un élément de E :

De manière précise, une bijection est une application u:E\to F qui est à la fois injective et surjective.

L’injectivité signifie que tout élément de F possède au plus un antécédent par u.

La surjectivité signifie que tout élément de F possède au moins un antécédent par u.

La superposition des deux conditions signifie donc que tout élément de F possède un unique antécédent par u. En symboles :

    \[\forall y\in F,\exists !x\in E;\,u(x)=y\]

Chacune des applications suivantes est un exemple de bijection :

    \[f:\{0,1,2\}\to\{0,2,4\},n\mapsto 2n\]

    \[g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}^\star,n\mapsto n+1\]

    \[h:\mathbb{N}\to\mathbb{Z},n\mapsto\left\{\begin{matrix}\frac{n}{2} & \text{si }n\text{est pair}\\-\frac{n+1}{2} & \text{sinon}\end{matrix}\right.\]

S’il existe une bijection u:E\to F, alors il existe une bijection de v:F\to E (à commencer par la bijection réciproque de u, notée u^{-1}, qui a tout élément de F associe son unique antécédent par u). On peut donc parler d’ensembles “en bijection”, sans préciser d’ensemble de départ ni d’arrivée : deux tels ensembles sont dits équipotents. Dans le cas de deux ensembles finis, cela signifie simplement que les deux ensembles ont le même cardinal.

Les exemples ci-dessus montrent que \mathbb{N}^\star et \mathbb{Z} sont équipotents à \mathbb{N}. On peut montrer que c’est aussi le cas de \mathbb{Q} : pour cette raison, \mathbb{N}, \mathbb{N}^\star et \mathbb{Q} sont dits dénombrables. On peut montrer que \mathbb{R}, en revanche, n’est pas dénombrable.

BORNÉ

La notion de partie bornée est présentée ici dans \mathbb{R} par souci de simplicité. Son cadre naturel est celui des espaces métriques.

On dit qu’une partie B de \mathbb{R} est bornée lorsque :

    \[\exists M\in\mathbb{R}^{+},\thinspace\forall x\in B,\thinspace\left|x\right|\leqslant M\]

Il revient au même d’affirmer qu’il existe deux réels a,b tels que a<b et B\subset\left[a,b\right].

Il est facile de voir que :

  • l’intersection d’une famille de parties bornées est bornée.
  • l’union d’une famille finie de parties bornées est bornée.

Parmi les parties bornées de \mathbb{R}, on peut distinguer :

  1. les intervalles bornés. Ce sont ceux de l’une des formes suivantes :

        \[\emptyset,\:\left\{ a\right\} ,\:\left[a,b\right],\:\left[a,b\right[,\:\left]a,b\right],\:\left]a,b\right[\]

  2. les parties fermées et bornées. Pour une telle partie B, on peut extraire de toute suite \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} à termes dans B une sous-suite convergente dont la limite appartient à B. La réciproque est vraie : toute partie de \mathbb{R} ayant cette propriété est fermée et bornée. En d’autres termes, les parties fermées et bornées de \mathbb{R} sont exactement les parties compactes de \mathbb{R}.

A l’intersection des deux catégories 1 et 2 ci-dessus, on trouve les segments (intervalles fermés et bornés).

Maintenant, si D\subset\mathbb{R} alors une application f:D\rightarrow\mathbb{R} est dite bornée lorsque f\left\langle D\right\rangle est une partie bornée au sens précédent. Cela signifie donc qu’il existe M\in\mathbb{R}^{+} tel que :

    \[\forall x\in D,\thinspace\left|f\left(x\right)\right|\leqslant M\]

CARDINAL

Le cardinal d’un ensemble fini E est simplement le nombre d’éléments de E.

On le note : \text{card}(E).

Par exemple, si E=\{1,3,5,7,9\}, alors \text{card}(E)=5.

Pour être plus précis, on peut définir cette notion comme suit :

  • l’ensemble vide est de cardinal 0
  • si n\geqslant1, un ensemble est dit de cardinal n lorsqu’il est en bijection avec \llbracket1,n\rrbracket

La validité de cette définition résulte du fait que si m,n sont deux entiers naturels non nuls tels que \llbracket1,m\rrbracket et \llbracket1,n\rrbracket sont en bijection, alors m=n.

La notion de cardinal s’étend aux cas des ensembles infinis, mais cette notion est plus délicate. Disons, sans rentrer dans les détails, que le cardinal d’un ensemble E peut être défini comme la classe (propre) des ensembles équipotents à E (c’est-à-dire : des ensembles qui sont en bijection avec E).

COMPACT

Un espace topologique X est dit compact s’il est séparé (pour tout couple \left(x,y\right) de points distincts de X, on peut trouver deux ouverts V,W disjoints, tels que x\in V et y\in W) et si l’on peut extraire de tout recouvrement ouvert de X un sous-recouvrement fini.

Cette dernière condition signifie que pour toute famille \left(\Omega_{i}\right)_{i\in I} d’ouverts vérifiant {\displaystyle X=\bigcup_{i\in I}\Omega_{i}}, il existe J\subset I, tel que J est fini et {\displaystyle X=\bigcup_{i\in J}\Omega_{i}}.

On peut montrer que, pour un espace métrique X (et, en particulier pour un espace vectoriel normé), cette définition équivaut à la suivante (appelée compacité séquentielle) : de toute suite à termes dans X, on peut extraire une sous-suite convergente.

Etant donné d’un espace métrique X :

  • toute partie compacte de X est fermée.
  • si X est compact, alors toute partie fermée de X est compacte.
  • si \left(K_{n}\right)_{n\geqslant1} est une suite décroissante de parties compactes non vides, alors {\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}K_{n}\neq\emptyset.}

Etant donnés deux espaces métriques X,Y :

  • si K est une partie compacte de X et si L est une partie compacte de Y, alors K\times L est une partie compacte de X\times Y.
  • si X est compact et si f:X\rightarrow Y est continue, alors f\left\langle X\right\rangle est une partie compacte de Y (énoncé \heartsuit).

Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, les parties compactes sont celles qui sont fermées et bornées.

Cas particulier de l’énoncé \heartsuit : toute application continue d’un métrique compact dans \mathbb{R} est bornée et atteint ses bornes. Ceci généralise le théorème selon lequel toute application continue \left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R} est bornée et atteint ses bornes (en effet : un segment est une partie fermée et bornée de \mathbb R, donc un espace compact).

Exemple 1

Etant donné un \mathbb{R}-evn E, notons B sa boule unité fermée et S sa sphère unité. Alors la compacité de B et celle de S sont équivalentes. En effet, si la sphère S est compacte, alors comme l’application :

    \[f:\left[0,1\right]\times S\rightarrow E,\left(t,x\right)\mapsto tx\]

est continue et transforme le compact \left[0,1\right]\times S en B qui est donc aussi compact. Réciproquement, si la boule B est compacte, alors S est compact en tant que partie fermée d’un compact.

Exemple 2

Dans \mathbb{R}^{2}, étant donné un triangle T (enveloppe convexe de trois points A,B,C non alignés), il existe un point M\in T en lequel le produit MA\cdot MB\cdot MC est maximum. Il suffit de voir que T est compact (fermé et borné) et que l’application :

    \[T\rightarrow\mathbb{R},\thinspace M\mapsto MA\cdot MB\cdot MC\]

est continue.

Exemple 3

Soit E est un \mathbb{R}-evn et soient A,B deux parties de E.

Si A est fermé et si B est compact, alors A+B est fermé. En effet, étant donnée une suite convergente \left(x_{n}\right)_{n\geqslant1} à termes dans A+B, on peut poser, pour tout n : x_{n}=a_{n}+b_{n} avec a_{n}\in A et b_{n}\in B. Comme B est compact, la suite \left(b_{n}\right)_{n\geqslant1} possède une suite extraite \left(b_{\varphi\left(n\right)}\right)_{n\geqslant1} qui converge vers un vecteur \beta\in B.

La suite \left(a_{\varphi\left(n\right)}\right)_{n\geqslant1} est alors convergente (différence de deux suites convergentes) et, en notant \alpha sa limite : \alpha\in A car A est fermé. En notant \lambda la limite de \left(x_{n}\right)_{n\geqslant1}, qui est aussi celle de \left(x_{\varphi\left(n\right)}\right)_{n\geqslant1}, on voit que : \lambda=\alpha+\beta\in A+B.

COMPOSITION (loi o)

Etant donnés trois ensembles A,B,C et deux applications f:A\to B et g:B\to C, on note g\circ f l’application

    \[\boxed{A\to C,x\mapsto g\left(f(x)\right)}\]

On dit que g\circ f est la composée de f par g.

On peut étendre la définition au cas où f:A\to B' avec B'\subset B. Cette condition garantit en effet que l’on peut appliquer g à f(x), pour tout x\in A.

Exemple

Si f et g sont les applications suivantes :

    \[f:\mathbb{N}\to\mathbb{Q}^2,n\mapsto\left(\frac{1}{n+1},\frac{2}{n+2}\right)\]

    \[g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},(x,y)\mapsto x+2y\]

alors g\circ f est définie par :

    \[g\circ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R},n\mapsto\frac{1}{n+1}+\frac{4}{n+2}\]

Une propriété à la fois simple et fondamentale de la composition des applications est son associativité. Cela signifie que s’il est possible de composer f par g et g par h, alors

    \[\left(f\circ g\right)\circ h=f\circ\left(g\circ h\right)\]

Signalons pour finir que si u,v sont deux applications d’un ensemble E dans lui-même, alors il se peut que u\circ v=v\circ u (mais ce n’est pas vrai en général).
On dit alors que u et v commutent.

Exemple

Si (p,q)\in\mathbb{N}^2, alors les polynômes de Tchebytchev de première espèce T_p et T_q commutent. En effet, pour tout \theta\in\mathbb{R} :

    \begin{eqnarray*}\left(T_p\circ T_q\right)(\cos(\theta)) & = & T_p\left(T_q(\cos(\theta))\right)\\& = & T_p\left(\cos(q\theta)\right)\\& = & \cos(pq\theta)\\& = & T_q\left(\cos(p\theta)\right)\\& = & T_q\left(T_p(\cos(\theta))\right)\\& = & \left(T_q\circ T_p\right)(\cos(\theta))\end{eqnarray*}

Ceci prouve que les polynômes T_p\circ T_q et T_q\circ T_p sont égaux puisqu’ils coïncident sur l’ensemble [-1,1] qui est infini.

CONVEXE (fonction)

Soit I un intervalle non trivial. Une application f:I\rightarrow\mathbb{R} est dite convexe lorsque :

    \[\begin{array}{c}\forall\left(a,b\right)\in I^{2},\thinspace\forall t\in\left[0,1\right],\\f\left(\left(1-t\right)a+tb\right)\leqslant\left(1-t\right)\thinspace f\left(a\right)+t\thinspace f\left(b\right)\end{array}\]

Ceci s’interprète géométriquement en disant que la portion du graphe de f limitée par les points d’abscisses a et b est en dessous de la corde (= segment joignant ces deux points).

On dit que f est concave lorsque -f est convexe. Les applications affines sont, si l’on peut dire, à l’interface entre l’ensemble des applications convexes et celui des applications concaves (elles en forment l’intersection).

On peut montrer que si f est convexe, alors f est continue en tout point intérieur à I. Mieux, f est en fait dérivable à gauche et à droite en un tel point.

Si f est dérivable, alors :

    \[\boxed{f\text{ convexe}\Leftrightarrow f'\text{ croissante}}\]

Donc, si f est deux fois dérivable, alors :

    \[\boxed{f\text{ convexe}\Leftrightarrow f''\geqslant0}\]

et si f'' s’annule et change de signe en a\in I, alors son graphe \Gamma traverse localement sa tangente. On dit que \Gamma présente une inflexion en \left(a,f\left(a\right)\right). L’illustration ci-dessous montre quelques points d’inflexion et la tangente en l’un d’eux.

Exemples

Les applications \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x^{2n} pour n\in\mathbb{N} ainsi que \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto a^{x} pour a>1 sont convexes.

Le logarithme népérien est concave sur \left]0,+\infty\right[.

Pour tout n\in\mathbb{Z}, l’application \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\sin\left(x\right) est convexe sur chaque \left[\left(2n-1\right)\pi,2n\pi\right] et concave sur chaque \left[2n\pi,\left(2n+1\right)\pi\right].

Si f est dérivable est convexe, alors :

    \[\boxed{\forall\left(a,x\right)\in I^{2},\thinspace f\left(x\right)\geqslant f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)}\]

ce qui s’interprète géométriquement en disant que le graphe de f est situé au-dessus de chacune de ses tangentes. Pour f concave, cette inégalité est renversée.

Comme l’exponentielle est convexe, alors :

    \[\forall x\in\mathbb{R},\thinspace e^{x}\geqslant1+x\]

Et comme le sinus est concave sur \left[0,\pi\right] :

    \[ \forall x\in\left[0,\pi\right],\thinspace\sin\left(x\right)\leqslant x\]

Bien entendu, ces deux inégalités peuvent être établies directement par l’étude des variations d’une fonction (et la seconde est en fait valable pour tout x\geqslant0).

Pour aller plus loin …

La notion d’application convexe se généralise.
Soit E un \mathbb{R}-espace vectoriel et A une partie convexe de E. Une application u:A\rightarrow\mathbb{R} est dite convexe lorsque :

    \[\begin{array}{c}\forall\left(a,b\right)\in A^{2},\thinspace\forall t\in\left[0,1\right]\\u\left(\left(1-t\right)a+tb\right)\leqslant\left(1-t\right)\thinspace u\left(a\right)+t\thinspace u\left(b\right)\end{array}\]

CONVEXE (partie)

Etant donné un \mathbb{R}-espace vectoriel E, une partie A de E est dite convexe lorsque :

    \[\boxed{\begin{array}{c}\forall\left(a,b\right)\in A^{2},\thinspace\forall t\in\left[0,1\right]\\\left(1-t\right)a+tb\in A\end{array}}\]

Ceci s’interprète géométriquement en disant que le segment joignant a et b est inclus dans A dès que a et b appartiennent à A.

Par définition, le segment joignant deux vecteurs a,b est l’ensemble

    \[\left[a,b\right]=\left\{ \left(1-t\right)a+tb;\thinspace t\in\left[0,1\right]\right\}\]

Les parties convexes de \mathbb{R} sont les intervalles.

Tout sous espace affine (et, en particulier, tout sous-espace vectoriel) de E est convexe, de même que l’image directe ou réciproque d’une partie convexe par une application affine.

L’intersection d’une famille quelconque de parties convexes de E est encore convexe. Ceci permet d’ailleurs de définir l’enveloppe convexe d’une partie quelconque X de E comme l’intersection de la famille des parties convexes qui contiennent X.

➡ On suppose maintenant que E est muni d’une norme.

Toute boule (ouverte ou fermée), pour une quelconque norme sur E, est une partie convexe (ceci généralise ce qui a été dit plus haut au sujet des intervalles de \mathbb{R}).

L’adhérence et l’intérieur d’une partie convexe sont encore convexes.

La distance à une partie convexe A, définie par :

    \[E\rightarrow\mathbb{R}^{+},\thinspace x\mapsto d_{A}\left(x\right)=\inf\left\{ \left\Vert x-a\right\Vert ;\thinspace a\in A\right\}\]

est une application convexe.

DIAGONALISABLE

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie et soit u\in\mathcal{L}\left(E\right).

Définition 1

u est dit diagonalisable lorsqu’il existe une base de E formée de vecteurs propres pour u. Dans une telle base, u est représenté par une matrice diagonale, d’où la terminologie.

Définition 2

Une matrice M\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right) est dite diagonalisable dans \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right) (précision indispensable ! voir exemple ci-dessous) lorsque l’endomorphisme de \mathbb{K}^{n} canoniquement associé à M est diagonalisable.

Ceci revient à dire qu’il existe un couple \left(P,\Delta\right)\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)^{2} tel que :

    \[P\text{ est inversible}\qquad\Delta\text{ est diagonale}\qquad P\Delta P^{-1}=M\]

Exemple

\left[\begin{array}{cc}0 & -1\\1 & 0\end{array}\right] est diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{C}\right) mais pas dans \mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right).

On note \text{sp}(u) le spectre de u et \chi_{u} son polynôme caractéristique.

Pour chaque valeur propre \lambda, on note :

  • d\left(\lambda\right) la dimension du sous-espace propre associé
  • m\left(\lambda\right) la multiplicité de \lambda en tant que racine de \chi_{u}

Théorème 1

u est diagonalisable si, et seulement si, \chi_{u} est scindé dans \mathbb{K}\left[X\right] et de plus :

    \[ \forall\lambda\in\text{sp}\left(u\right),\thinspace d\left(\lambda\right)=m\left(\lambda\right) \]

Corollaire

Si \chi_{u} est scindé dans \mathbb{K}\left[X\right] et à racines simples, alors u est diagonalisable.

Par exemple, l’endomorphisme de \mathbb{R}^{4} canoniquement associé à la matrice triangulaire

    \[A=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 2 & 1\\0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right]\]

est diagonalisable.

Autre exemple, moins immédiat : toute matrice A\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right) est la limite d’une suite de matrices diagonalisables dans \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right). Autrement dit, l’ensemble des matrices diagonalisables dans \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right) est une partie dense de \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right).

Attention : Le corollaire ci-dessus ne donne qu’une condition suffisante (et pas du tout nécessaire) de diagonalisation. Par exemple, une homothétie est évidemment diagonalisable et possède pourtant une valeur propre multiple (en dimension n\geqslant 2).

Théorème 2

u est diagonalisable si, et seulement s’il existe P\in\mathbb{K}\left[X\right], scindé dans \mathbb{K}\left[X\right] et à racines simples, tel que P\left(u\right)=0.

Par exemple : tout projecteur de E est diagonalisable puisqu’annulé par X^{2}-X; de même (en caractéristique différente de 2) toute symétrie de E est diagonalisable puisqu’annulée par X^{2}-1.

FACTORIELLE

Pour chaque entier n\geqslant1, on définit sa factorielle, que l’on note n!, comme le produit des entiers de 1 à n. Par exemple :

    \[6!=1\times2\times3\times4\times5\times6=720\]

et, par convention :

    \[0!=1\]

La factorielle de n peut s’interpréter comme le nombre de permutations de n éléments. Cet article propose une interprétation amusante de la factorielle de 52 (c’est-à-dire du nombre de façons de permuter un jeu de cartes).

Si k,n sont des entiers tels que 0\leqslant k\leqslant n, le coefficient binomial \binom{n}{k} est donné par :

    \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\thinspace\left(n-k\right)!}\]

Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un entier p\geqslant2 soit premier est donnée par le théorème de Wilson :

    \[p\in\mathbb{P}\Leftrightarrow1+\left(p-1\right)!\equiv0\pmod{p}\]

La formule de Stirling donne, lorsqu’on fait tendre n vers +\infty, l’estimation asymptotique suivante :

    \[n!\sim\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\sqrt{2\pi n}\]

Voir cet article pour une preuve détaillée de ce résultat.

La fonction Gamma \left(\Gamma\right) d’Euler, définie pour tout réel x>0 par :

    \[\Gamma\left(x\right)=\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\thinspace dt\]

vérifie \forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\Gamma\left(n+1\right)=n\thinspace\Gamma\left(n\right) et \Gamma\left(1\right)=1, d’où \Gamma\left(n+1\right)=n!.
Ainsi, \left]-1,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\Gamma\left(x+1\right) est un prolongement (\mathcal{C}^{\infty}) de la factorielle.
On peut montrer que \Gamma est la seule application f:\left]0,+\infty\right[\rightarrow\left]0,+\infty\right[ logarithmiquement convexe (c’est-à-dire telle que \ln\circ\Gamma soit convexe), vérifiant :

    \[f\left(1\right)=1\qquad\textrm{ et }\qquad\forall x>0,\,f\left(x+1\right)=x\,f\left(x\right)\]

FERMÉ

La notion de partie fermée est présentée ici dans \mathbb{R} par souci de simplicité. Son cadre naturel est celui des espaces topologiques.

On dit d’une partie A de \mathbb{R} que c’est un fermé lorsque son complémentaire est un ouvert; autrement dit lorsque :

    \[\forall a\in\mathbb{R}-A,\thinspace\exists r>0;\thinspace\left]a-r,a+r\right[\cap A=\emptyset\]

Cette condition équivaut à la suivante (caractérisation séquentielle des fermés) : pour toute suite \left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} à termes dans A, si cette suite converge, alors sa limite appartient à A.

L’adjectif “fermé” doit donc être compris comme “fermé pour le passage à la limite” : on ne sort pas de A en prenant la limite d’une suite convergente d’éléments de A.

Attention :
“être un fermé” n’est pas la négation de “être un ouvert” !

Par exemple : \left[0,1\right[ n’est ni un ouvert ni un fermé.

Les parties suivantes de \mathbb{R} sont des fermés :

  • \emptyset
  • \mathbb{R}
  • \left\{ a\right\}
  • \left[a,b\right] pour tout couple \left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2} tel que a<b
  • \mathbb{Z}
  • l’intersection de toute famille de fermés
  • l’union d’un famille finie de fermés
  • l’image réciproque d’un fermé par une application continue \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

Les parties suivantes de \mathbb{R} ne sont pas des fermés :

  • \left]a,b\right[,\left[a,b\right[,\left]a,b\right] pour tout couple \left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2} tel que a<b
  • \left\{ \frac{1}{n};\thinspace n\in\mathbb{N}^{\star}\right\}
  • \mathbb{Q} et \mathbb{R}-\mathbb{Q}

GROUPE

La structure de groupe a été introduite, sous une forme particulière, par Évariste Galois dans le cadre de ses recherches sur les équations algébriques. Elle a été ensuite généralisée et cette généralisation s’est avérée fondamentale dans quasiment tous les secteurs des mathématiques.

Un groupe est un ensemble muni d’une opération associative, possédant un élément neutre et telle que chaque élément admet un symétrique.

L’opération peut être notée par un symbole (comme +, \times ou \star par exemple) ou par simple juxtaposition, moyennant quoi la définition formalisée est la suivante :

Un groupe est un couple (G,.) formé d’un ensemble et d’une opération sur cet ensemble, tels que :

  • \forall(a,b,c)\in G^3,\,(ab)c=a(bc)
  • \exists e\in G;\,\forall a\in G,\,ea=ae=a
  • \forall a\in G,\exists b\in G;\,ab=ba=e

Si l’opération est en outre commutative, c’est-à-dire si :

    \[\forall (a,b)\in G^2,\,ab=ba\]

alors le groupe est dit commutatif (ou abélien, en l’honneur de Niels Henrik Abel).

Des exemples usuels de groupes sont :

  • le groupe additif des entiers : \left(\mathbb{Z},+\right),
  • le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls : \left(\mathbb{C}^\star,\times\right),
  • le n-ème groupe de permutations : \left(\mathfrak{S}_n,\circ\right),
  • le groupe des matrices carrées réelles de taille n, inversibles : \left(GL_n(\mathbb{R}),\times\right).

On peut citer des exemples plus géométriques, comme le groupe des isométries d’un cube ou encore le groupe des homothéties-translations d’un espace affine.

(fonction) INDICATRICE

Etant donnés un ensemble E et une partie A de E, la fonction indicatrice de A est l’application :

    \[\mathds{1}_A:E\to\{0,1\},\,e\mapsto\left\{\begin{matrix}1 & \text{si }e\in A\\0 & \text{sinon}\end{matrix}\right.\]

Exemples

Si A est une partie finie d’un ensemble E, alors

    \[\text{card}(A)=\sum_{e\in E}\mathds{1}_A(e)\]

Si J est un intervalle de \mathbb{R}, de longueur \ell>0, alors \frac1{\ell}\mathds{1}_J est une densité de probabilité pour la loi uniforme sur J.

La fonction indicatrice de \mathbb{Q} est une application discontinue en tout point.

(symbole de) KRONECKER

Si I est un ensemble quelconque et (i,j) un couple d’éléments de I, on note classiquement :

    \[\delta_{i,j}=\left\{\begin{matrix}1 & \text{si }i=j\\0 & \text{sinon}\end{matrix}\right.\]

Cette notation est fréquemment employée, notamment en algèbre linéaire.

Exemples

Dans ce qui suit, \mathbb{K} désigne un corps (\mathbb{R} ou \mathbb{C} généralement).

  1. Soit \beta=(e_i)_{1\leqslant i\leqslant n} une base d’un \mathbb{K}-espace vectoriel E. Pour tout j\in\llbracket1,n\rrbracket, on note e_j^\star la j-ème forme coordonnée relativement à cette base. C’est l’unique forme linéaire vérifiant :

        \[\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\,e_j^\star(e_i)=\delta_{i,j}\]

    On peut montrer que la famille (e_j^\star)_{1\leqslant j\leqslant n} est une base de \mathcal{L}(E,\mathbb{K}) (c’est la base duale de \beta).
  2. Etant donnés un entier n\geqslant2 et un couple (p,q)\in\llbracket1,n\rrbracket^2, on note E_{p,q}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) la matrice dont les termes sont tous nuls, à l’exception de celui situé à l’intersection de la ligne p et de la colonne q, qui vaut 1. On peut donc écrire :

        \[E_{p,q}=\left[\delta_{p,i}\delta_{q,j}\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n}\]

    Noter que les matrices E_{p,q} forment la base canonique de \mathcal{M}_n(\mathbb{K}).

(élément) NEUTRE

Etant donnée une opération \star sur un ensemble E, un élément e\in E est dit neutre à gauche pour cette opération lorsque :

    \[\forall x\in E,\,e\star x=x\]

On définit de même la notion d’élément neutre à droite. Un élément neutre (tout court) est un élément à la fois neutre à gauche et neutre à droite. Ces trois notions se confondent si \star est commutative.

L’existence d’un élément neutre n’est pas garantie (voir exemple plus bas).

En revanche, il y a unicité puisque si e et e' sont neutres pour \star, alors :

    \[e'=e\star e'=e\]

l’égalité de gauche résultant du fait que e est neutre et celle de droite résultant du fait que e' est neutre.

Quelques exemples usuels :

  • Le neutre pour l’addition dans \mathbb{R} est 0.
  • Le neutre pour la multiplication dans \mathbb{R} est 1.
  • Le neutre pour la composition (loi \circ) dans A^A (ensemble des applications de A dans lui-même) est l’application identité id_A.
  • Les neutres des opérations d’union et d’intersection dans \mathcal{P}(A) (ensemble des parties de A) sont respectivement \emptyset et A.
  • Le neutre de la multiplication dans M_n(\mathbb{R}) est la matrice unité I_n.

Pour la soustraction dans \mathbb{R}, il n’existe pas d’élément neutre (toutefois, 0 est neutre à droite).

NORME

Etant donné un \mathbb{R}-espace vectoriel E, une norme sur E est une application N:E\rightarrow\mathbb{R}^{+} vérifiant les trois conditions suivantes :

  • Homogénéité :

        \[\forall\left(\lambda,x\right)\in\mathbb{R}\times E,\thinspace N\left(\lambda x\right)=\left|\lambda\right|\thinspace N\left(x\right)\]

  • Inégalité triangulaire :

        \[\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace N\left(x+y\right)\leqslant N\left(x\right)+N\left(y\right)\]

  • Condition de séparation :

        \[\forall x\in E,\thinspace N\left(x\right)=0\Rightarrow x=0_{E}\]

On peut définir de la même façon une norme sur un \mathbb{C}-espace vectoriel, en considérant bien sûr que \left|\lambda\right| désigne cette fois le module du nombre complexe \lambda.

Un \mathbb{R}\text{ ou }\mathbb{C}-ev muni d’une norme est un espace vectoriel normé (evn en abrégé).

On définit, pour x\in E et r>0, la boule ouverte de centre x et de rayon r :

    \[B_{o}\left(x,r\right)=\left\{ y\in E;\thinspace N\left(y-x\right)<r\right\}\]

Si l’on note \mathcal{T} l’ensemble des unions de familles de boules ouvertes, alors \mathcal{T} est une topologie sur E, appelée topologie induite par la norme N. La condition n° 3 assure que cette topologie est séparée (pour tout couple \left(x,y\right) de vecteurs distincts, il existe un couple d’ouverts disjoints, l’un contenant x et l’autre y), ce qui justifie la terminologie.

L’application :

    \[E^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{+},\thinspace\left(x,y\right)\mapsto N\left(x-y\right)\]

est une distance, appelée distance induite par la norme. Il s’agit d’une distance invariante par translation et non bornée (en supposant E non réduit à son vecteur nul). Tout evn est donc, en particulier, un espace métrique.

Exemples fondamentaux

Dans \mathbb{R}^{n}, les trois normes standard sont définies par :

    \[ \forall x\in\mathbb{R}^{n},\thinspace\left\{ \begin{array}{ccc} N_{1}\left(x\right) & = & {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|}\\ \\ N_{2}\left(x\right) & = & {\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{1/2}}\\ \\ N_{\infty}\left(x\right) & = & {\displaystyle \max_{1\leqslant i\leqslant n}\left|x_{i}\right|} \end{array}\right. \]

On notera que si n=1, ces trois normes se confondent : on retrouve la valeur absolue (qui est la norme usuelle sur \mathbb{R}).

Dans l’espace \mathcal{C}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right) des applications continues de \left[a,b\right] dans \mathbb{R}, les trois normes standard sont définies par :

    \[\forall f\in\mathcal{C}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right),\thinspace\left\{ \begin{array}{ccc} \left\Vert f\right\Vert_{1} & = & {\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f\left(t\right)\right|\thinspace dt}\\\\\left\Vert f\right\Vert_{2} & = & {\displaystyle \left(\int_{a}^{b}f\left(t\right)^{2}\thinspace dt\right)^{1/2}}\\\\\left\Vert f\right\Vert_{\infty} & = & {\displaystyle \sup_{t\in\left[a,b\right]}\left|f\left(t\right)\right|}\end{array}\right.\]

Si un \mathbb{R}-espace vectoriel E est muni d’un produit scalaire, alors l’application :

    \[E\rightarrow\mathbb{R}^{+},\thinspace x\mapsto\left(x\mid x\right)^{1/2}\]

est une norme, appelée norme euclidienne sur E. L’inégalité pour cette norme triangulaire découle de l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire dont elle est issue.

Dans les exemples ci-dessus :

  • N_{2} est une norme euclidienne sur \mathbb{R}^{n}. Elle est issue du produit scalaire défini par :

        \[\left(x\mid y\right)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\]

  • \left\Vert \:\right\Vert_{2} est une norme euclidienne sur \mathcal{C}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right). Elle est issue du produit scalaire défini par :

        \[\left(f\mid g\right)=\int_{a}^{b}f\left(t\right)\thinspace g\left(t\right)\thinspace dt\]

Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une norme N sur un \mathbb{R}-espace vectoriel E soit euclidienne est qu’elle vérifie la formule du parallélogramme :

    \[\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace N\left(x+y\right)^2+N\left(x-y\right)^2=2\left[N\left(x\right)^2+N\left(y\right)^2\right]\]

Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Jordan – Von Neumann.

Encore un résultat important (parmi tant d’autres) : un \mathbb{R}-espace vectoriel est de dimension finie si, et seulement si, sa boule unité fermée est compacte (théorème de F. Riesz).

ORDRE

Etant donné un ensemble E, une relation binaire \mathcal{R} sur E est appelée une relation d’ordre lorsqu’elle est :

  • réflexive : \forall x\in E,\thinspace x\mathcal{R}x
  • antisymétrique : \forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace\left(x\mathcal{R}y\text{ et }y\mathcal{R}x\right)\Rightarrow x=y
  • transitive : \forall\left(x,y,z\right)\in E^{3},\thinspace\left(x\mathcal{R}y\text{ et }y\mathcal{R}z\right)\Rightarrow x\mathcal{R}z

Quelques exemples classiques :

  1. la relation \leqslant (inférieur ou égal ) dans \mathbb{R}
  2. l’ordre lexicographique associé à un alphabet
  3. la relation ⊂ (inclusion) dans \mathcal{P}\left(X\right) où X est un ensemble quelconque
  4. la relation | (divisibilité) dans \mathbb{N}

D’une manière générale, étant donnée une relation d’ordre \mathcal{R} sur un ensemble E, l’ordre est dit total lorsque les éléments de E sont deux à deux comparables :

    \[\forall\left(a,b\right)\in E^{2},\thinspace a\mathcal{R}b\;\text{ou}\;b\mathcal{R}a\]

Il dit partiel dans le cas contraire. Parmi les quatre exemples ci-dessus, l’ordre est total pour les deux premiers et partiel pour les deux suivants.

Etant donné un ensemble E muni d’une relation d’ordre \mathcal{R}, une partie A de E possède un plus petit élément lorsque :

    \[\exists a\in A;\thinspace\forall x\in A,\thinspace a\mathcal{R}x\]

L’existence d’un tel a n’est pas garantie. Par exemple : dans \mathbb{R} muni de \leqslant, la partie \left[0,1\right] admet 0 pour plus petit élément, mais la partie \left]0,1\right] ne possède pas de plus petit élément. En revanche l’unicité est découle aussitôt de l’antisymétrie (si a,a'\in A sont des plus petits éléments de A, alors a\mathcal{R}a' et a'\mathcal{R}a, d’où a=a').

L’ensemble E est dit bien ordonné lorsque toute partie non vide de E admet un plus petit élément. \mathbb{N} est donc bien ordonné alors que \mathbb{R} ne l’est pas (pour l’ordre usuel \leqslant). Noter qu’un bon ordre est nécessairement un ordre total : étant donnés x,y\in E, ces deux éléments sont comparables puisque la paire \left\{ x,y\right\} admet un plus petit élément.

Une conséquence de l’axiome du choix est l’existence, pour tout ensemble non vide, d’un bon ordre.

OUVERT

La notion de partie ouverte est présentée ici dans \mathbb{R} par souci de simplicité. Son cadre naturel est celui des espaces topologiques.

On dit d’une partie A de \mathbb{R} que c’est un ouvert lorsque :

    \[\forall a\in A,\thinspace\exists r>0;\thinspace\left]a-r,a+r\right[\subset A\]

Intuitivement, cela signifie que tout réel suffisamment proche d’un élément de A appartient aussi à A.

Les parties suivantes de \mathbb{R} sont des ouverts :

  • \emptyset
  • \mathbb{R}
  • \left]a,b\right[ pour tout couple \left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2} tel que a<b
  • l’union de toute famille d’ouverts
  • l’intersection d’une famille finie d’ouverts
  • l’image réciproque d’un ouvert par une application continue \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

Les parties suivantes de \mathbb{R} ne sont pas des ouverts :

  • \left\{ a\right\} pour tout a\in\mathbb{R}
  • \left[a,b\right], \left[a,b\right[ et \left]a,b\right] pour tout couple \left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2} tel que a<b
  • \mathbb{Q} et \mathbb{R}-\mathbb{Q}

PARTIE (d’un ensemble)

Les parties d’un ensemble E, appelées aussi sous-ensembles de E, sont les ensembles inclus dans E.

Par exemple, les parties de \{1,2\} sont \emptyset, \{0\}, \{1\} et \{1,2\}.

On note \mathcal{P}(E) l’ensemble des parties de E.

On peut montrer que si E est fini, alors \mathcal{P}(E) aussi et :

    \[\text{card}(\mathcal{P}(E))=2^{\text{card}(E)}\]

Plus d’information sur les parties d’un ensemble fini dans cet article.

Quel que soit l’ensemble E, il n’existe aucune surjection (et en particulier) aucune bijection de E vers \mathcal{P}(E).

PARTITION (d’un ensemble)

Etant donné une ensemble non vide E, une partition de E est un ensemble \{A_i;\,i\in I\} de parties de E telles que :

  • chaque A_i est non vide
  • les A_i sont deux à deux disjoints
  • E est l’union des A_i

Noter que l’ensemble d’indices I peut éventuellement être infini.

Exemples

  1. Si E=\{1,2,3,4,5,6\}, alors en posant :

        \[A_1=\{1,2\}\quad A_2=\{3\}\quad A_3=\{4,5,6\}\]

    l’ensemble \{A_1,A_2,A_3\} est une partition de E.
  2. Etant donné un entier n\geqslant2, si l’on note pour tout r\in\llbracket0,n-1\rrbracket :

        \[A_r=r+n\mathbb{Z}=\{r+nk;\,k\in\mathbb{Z}\}\]

    alors les A_r forment une partition de \mathbb{Z}.
  3. Si l’on note A_\alpha l’ensemble des applications de \mathbb{R} dans \mathbb{R} qui prennent la valeur \alpha en 0, alors l’ensemble \{A_\alpha;\,\alpha\in\mathbb{R}\} est une partition de \mathbb{R}^{\mathbb{R}}.

Etant donné un groupe (G,\cdot), l’ensemble de ses sous-groupes ne forme pas une partition de G. En effet, les sous-groupes de G sont tous non vide et leur union est G, mais ils ne sont pas deux à deux disjoints (puisqu’ils contiennent tous l’élément neutre).

Si E est un ensemble fini de cardinal n\geqslant1, alors le nombre de partitions de E est le n-ème nombre de Bell, noté B_n. Voir cet article.

PERMUTATION

Etant donné un ensemble non vide X, une permutation de X est une bijection dans X dans lui-même.

L’ensemble des permutations de X est noté \mathfrak{S}\left(X\right) (la lettre \mathfrak{S} est le S de l’alphabet fraktur, un type d’écriture gothique). Comme la composée de deux bijections est une bijection, la loi \circ est une opération dans l’ensemble \mathfrak{S}\left(X\right). Elle lui confère une structure de groupe. Ce groupe est non abélien dès que \text{card}\left(X\right)>2; plus précisément, son centre est réduit à \left\{ id_{X}\right\} . Les groupes \left(\mathfrak{S}\left(X\right),\circ\right) et \left(\mathfrak{S}\left(Y\right),\circ\right) sont isomorphes si, et seulement si, X et Y sont équipotents.

On peut montrer que tout groupe \left(G,.\right) est isomorphe à un sous-groupe de \left(\mathfrak{S}\left(G\right),\circ\right) (théorème de Cayley), ce qui montre le caractère universel des groupes de permutations.

Parmi les éléments de \mathfrak{S}\left(X\right), on distingue les cycles. Etant donnés e_{0},\cdots,e_{p-1} des éléments distincts de X, la bijection c définie par :

    \[\forall i\in\left\llbracket 0,p-1\right\rrbracket ,\thinspace c\left(e_{i}\right)=e_{\left(i+1\right)\mod p}\]

et

    \[\forall x\in X-\left\{ e_{0},\cdots,e_{p-1}\right\} ,\thinspace c\left(x\right)=x\]

est appelée un p-cycle, qu’on peut noter \left(e_{0},e_{1},\cdots,e_{p-1}\right).
Un 2-cycle (ou transposition) échange deux éléments et laisse les autres fixes.

Si n\in\mathbb{N}^{\star}, on note \mathfrak{S}_{n} pour \mathfrak{S}\left(\left\llbracket 1,n\right\rrbracket \right). Le groupe \left(\mathfrak{S}_{n},\circ\right) est appelé n-ème groupe symétrique. C’est un groupe de cardinal n! (la factorielle de n), engendré par les transpositions (plus précisément, les n-1 transpositions \left(i,i+1\right) pour 1\leqslant i\leqslant n-1 forment une partie génératrice de \mathfrak{S}_{n}).

Exemple

Les 3!=6 éléments de \mathfrak{S}_{3} sont les suivants :

    \[\begin{array}{ccccc}\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\1 & 2 & 3\end{array}\right) & & \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\1 & 3 & 2\end{array}\right) & & \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\3 & 2 & 1\end{array}\right)\\\\\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\2 & 1 & 3\end{array}\right) & & \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\end{array}\right) & & \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\3 & 1 & 2\end{array}\right)\end{array}\]


La matrice \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\a & b & c\end{array}\right) désigne ici la bijection \sigma définie par :

    \[\sigma\left(1\right)=a,\quad\sigma\left(2\right)=b\quad\sigma\left(3\right)=c\]

Ces six éléments sont donc :

  • l’identité de \left\{ 1,2,3\right\} : c’est l’élément neutre du groupe
  • les trois transpositions : celle qui échange 2 et 3, celle qui échange 1 et 3, celle qui échange 1 et 2.
  • les deux permutations circulaires

(nombre) PREMIER

Un nombre entier p\geqslant2 est dit premier lorsqu’il possède exactement deux diviseurs (positifs), à savoir : 1 et p lui-même.

Ainsi, 15 n’est pas premier puisque cet entier n’est pas seulement divisible par 1 et 15 (mais aussi par 3 et 5).

Ne pas confondre avec la notion de nombres premiers entre eux.

L’ensemble des nombres premiers, noté \mathbb{P}, est infini. Ses huit plus petits éléments sont :

    \[2,\quad3,\quad5,\quad7,\quad11,\quad13,\quad17,\quad19\]

On peut montrer que tout entier n\geqslant2 se décompose en produit de facteurs premiers, sous la forme :

    \[n=\prod_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}\]

avec p_1,\cdots,p_r\in\mathbb{P} tous distincts et \alpha_1,\cdots,\alpha_r\in\mathbb{N}^\star.

Exemples

    \[12\;345=3\times5\times823\]

    \[4896=2^5\times3^2\times17\]

Pour en savoir plus sur les nombres premiers, on pourra consulter cet article.

PRODUIT CARTÉSIEN

Etant donnés deux objets mathématiques quelconques x et y, on note (x,y) le couple qu’ils forment (dans cet ordre).

Une façon de rattacher cette notion à celle d’ensemble est de considérer que (x,y) désigne l’ensemble \{x,\{x,y\}\}, mais cet subtilité n’est pas importante en pratique … ce qui compte, c’est de se rappeler qu’un couple est ordonné. Ainsi, les couples d’entiers (1,2) et (2,1) sont distincts.

Par contraste, les ensembles \{1,2\} et \{2,1\} sont identiques.

Etant donné un couple c=(x,y), on dit que x (resp. y) est la première composante (resp. la seconde composante) de c.

Maintenant, si E et F sont deux ensembles quelconques, on note E\times F l’ensemble des couples (x,y) pour lesquels x\in E et y\in F. Cet ensemble est appelé produit cartésien de E par F.

Par exemple, si E=\{0,1\} et F=\{2,3,4\}, alors :

    \[E\times F=\{(0,2),\,(0,3),\,(0,4),\,(1,2),\,(1,3),\,(1,4)\}\]

On généralise la notion de couple en celle de n-uplet (ou : liste de longueur n), avec n un entier plus grand que 1.

Si E_1,\cdots,E_n sont des ensembles quelconques, leur produit cartésien (dans cet ordre) est défini comme l’ensemble des n-uplets (x_1,\cdots,x_n), avec x_1\in E_1, … etc …, x_n\in E_n.

Cet ensemble est noté E_1\times\cdots\times E_n, ou bien de manière abrégée : \displaystyle{\prod_{k=1}^nE_k}.

PROPRE (valeur, vecteur)

Soient un \mathbb{K}-espace vectoriel E, un endomorphisme u\in\mathcal{L}\left(E\right) et \lambda\in\mathbb{K} un scalaire.

Ce scalaire est appelé une valeur propre de u lorsque :

    \[\exists x\in E-\left\{ 0_{E}\right\},\:u\left(x\right)=\lambda x\]

Un tel x est appelé un vecteur propre pour u, associé à la valeur propre \lambda.

L’ensemble des valeurs propres de u est le spectre de u, noté \text{sp}\left(u\right). C’est donc une partie de \mathbb{K}. On peut montrer que si E est de dimension finie, alors \text{sp\ensuremath{\left(u\right)}} est fini et \text{card}\left(\text{sp}\left(u\right)\right)\leqslant\dim\left(E\right).

En revanche, lorsque E est de dimension infinie, le spectre d’un endomorphisme peut être infini : voir l’exemple n° 4 ci-dessous ou encore cette vidéo.

Exemples

  1. Si u est une homothétie, c’est-à-dire u=\lambda\thinspace id_{E} pour un certain \lambda\in\mathbb{K}, alors \lambda est l’unique valeur propre de u et tout vecteur non nul est propre pour u.
  2. Si u\in\mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) est canoniquement associé à \left[\begin{array}{cc}0 & -1\\1 & 0\end{array}\right], alors u ne possède aucune valeur propre (et il n’existe donc aucun vecteur propre pour u). Ceci est géométriquement évident, puisque u est la rotation de mesure \pi/2 : on voit mal comment un vecteur non nul pourrait être colinéaire à son image …
  3. Si E est de dimension finie et si u\in\mathcal{L}\left(E\right) est nilpotent, c’est-à-dire s’il existe r\geqslant1 tel que u^{r}=0, alors 0 est la seule valeur propre de u.
  4. Si D désigne l’endomorphisme de dérivation de E=\mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right), alors tout réel \lambda est valeur propre de D puisque l’application \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace t\mapsto e^{\lambda t} (qui n’est pas l’application nulle) appartient à E et vérifie D\left(e_{\lambda}\right)=\lambda\thinspace e_{\lambda}.

Si \lambda\in\text{sp}\left(u\right), alors l’ensemble \ker\left(u-\lambda\thinspace id_{E}\right) est le sous-espace propre (sep) pour u associé à la valeur propre \lambda. C’est donc la partie de E formée du vecteur nul et des vecteurs propres pour u, associés à la valeur propre \lambda.

On peut montrer que, si E est de dimension finie, alors la somme des sep pour u est directe. Lorsque cette somme directe coïncide avec E, l’endomorphisme u est dit diagonalisable.

RACINE CARRÉE

Etant donné un nombre réel Y\geqslant0, on peut montrer que l’équation x^2=Y d’inconnue x\in\mathbb{R} possède deux solutions opposées (confondues si Y=0).

Celle qui est positive est la racine carrée de Y; on la note \sqrt Y ou Y^{1/2}.

Si Y<0, il n’existe aucune solution réelle à l’équation x^2=Y.

Par exemple :

    \[\sqrt{25}=5\qquad\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac43\qquad\sqrt2\in]1,41;\,1,42[\]

L’application \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+,t\mapsto\sqrt t est la bijection réciproque de \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+,t\mapsto t^2.

On peut montrer que si n\in\mathbb{N} n’est pas le carré d’un entier, alors \sqrt n\notin\mathbb{Q}.

D’une manière générale, si (A,+,\times) est un anneau et si a\in A, les racines carrées dans A de a sont les (éventuelles) solutions de l’équation x^2=a, d’inconnue x\in A.

Dans le corps (\mathbb{C},+,\times), tout z\neq0 possède deux racines carrées opposées et l’usage du symbole \sqrt z est proscrit (ou, tout au moins, pas recommandé à un niveau élémentaire, puisqu’il ne désigne pas un nombre complexe mais d’une paire de nombres complexes).

Dans l’anneau \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) des matrices carrées réelles de taille n\geqslant2, certains éléments ne possèdent aucune racine carrée, d’autres en possède un nombre fini, d’autres encore en possèdent une infinité.

Dans le corps \mathbb{F}_p (pour p premier impair), il existe \frac{p+1}2 éléments possédant une racine carrée et \frac{p-1}2 éléments n’en possédant pas.

SUITE

Etant donné un ensemble non vide X, une suite à termes dans X est une application u:\mathbb{N}\to X.

Si u est une suite, on note u_n son terme de rang n (on dit aussi : d‘indice n); c’est l’image de n par l’application u. Cette notation, largement utilisée, est une alternative à la notation u(n), qu’on utilise habituellement pour désigner l’image d’un élément par une application.

Si l’on dispose d’une formule pour u_n, on peut alors noter (u_n)_{n\in\mathbb{N}} au lieu de u.

Par exemple : la suite (n^2)_{n\in\mathbb{N}}.

Par extension, l’ensemble de départ d’une suite n’est pas obligatoirement \mathbb{N}. Il peut s’agir, plus généralement, d’une partie de \mathbb{N} de la forme \llbracket N,+\infty\llbracket, pour un certain N\in\mathbb{N}.

On note alors (u_n)_{n\geqslant N}. Par exemple : la suite \left(\frac1{n-3}\right)_{n\geqslant3}.

Attention ! Ne pas confondre :

  • la suite u à termes dans X : c’est une application de \mathbb{N} dans X.
  • le terme u_n : c’est un élément de X.
  • l’ensemble \{u_n;\,n\in\mathbb{N}\} des termes de la suite u : c’est une partie de X.

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