Une formule explicite pour \arcsin(\sin(x)).

Contrairement à ce qu’on pourrait penser, cette expression ne se réduit pas bêtement à x …!

La partie entière d’un réel x est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. Elle est notée \lfloor x\rfloor.

Par exemple :

    \[\lfloor\pi\rfloor=3\quad\text{et}\quad\lfloor\sqrt 2\rfloor=1\]

Cette vidéo explique en détail quelles sont ses principales propriétés.

Lorsqu’on immerge dans de l’eau savonneuse la structure très simple décrite dans cette vidéo puis qu’on la retire délicatement, on observe l’apparition d’un film de savon dont l’aire doit être minimale …

Si f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} est continue et si f^2 est uniformément continue, alors f est aussi uniformément continue.

Exercice d’oral type X-ENS.

Tout entier naturel non nul s’écrit de manière unique :

    \[n=\sum_{i=0}^rc_i\,B^i\]


B\geqslant 2 est la base et les c_i sont les chiffres.
Exemples, remarques et programme de conversion en Python3.

Preuve détaillée du théorème d’existence et d’unicité énoncé dans la vidéo précédente.

Existence : preuve algorithmique, reposant sur une succession de division euclidiennes.

Unicité : preuve par l’absurde.

L’itération des polynômes du type z\mapsto z^2+c donne naissance à de prodigieux ensembles présentant généralement une structure fractale.

Pour tout entier n\geqslant1, l’équation z^n=1 possède n solutions distinctes dans \mathbb{C}.

Ce sont les racines n-èmes de l’unité, données par :

    \[e^{2ik\pi/n}\quad(0\leqslant k<n)\]

Ce lemme est un outil essentiel pour l’étude de la réduction des endomorphismes.

Il permet de décomposer le noyau de P(u) en la somme directe de noyaux similaires, associés à des facteurs de P, deux à deux premiers entre eux.

Tout nombre complexe non nul z peut s’écrire sous la forme z=r\,e^{i\theta} avec r>0 et \theta\in\mathbb{R}.
Un tel \theta est un argument de z.

Comment calculer les arguments de z\in\mathbb{C}^\star à partir de ses parties réelle et imaginaire ?
Et pour l’argument principal ?

Si G est un groupe fini et si H est un sous-groupe de G, alors le cardinal de H divise celui de G.

Une conséquence : si G est un groupe fini et si x\in G, alors l’ordre de x est un diviseur de \text{card}(G).

Trois exercices assez jolis, de niveau MPSI / MP, autour de l’inégalité triangulaire.

Pour tout couple (z,w) de nombre complexes :

    \[\vert z+w\vert\leqslant\vert z\vert+\vert w\vert\]

Dans cette vidéo, on prouve cette célèbre inégalité et précisant le cas d’égalité.

Si A est une partie non vide d’un \mathbb{R}-evn, l’application “distance à A” est définie pour tout x\in E par :

    \[d(x,A)=\inf_{a\in A}\Vert x-a\Vert\]

Si A est convexe, alors x\mapsto d(x,A) aussi !

Si n\in\mathbb{N}^\star et si p est un entier naturel impair, alors l’entier \sum_{k=1}^nk^p est multiple de \frac{n(n+1)}{2}.

Calcul explicite des sommes :

    \[S_{n,p}=\sum_{k=1}^nk^p\]

Mise en évidence d’une formule de récurrence liant les S_{n,j} pour 0\leqslant j\leqslant p.

Notion de polynômes d’endomorphismes.

Principales propriétés.

Polynômes annulateurs.

Valeurs et vecteurs propres d’un endomorphisme.

Polynômes caractéristique et minimal.

Définition de la notion de dérivabilité en un point, pour une fonction numérique.

Taux d’accroissement, équation de la tangente, etc …

Un joli exercice de recherche du spectre d’un endomorphisme en dimension infinie.

L’ensemble des valeurs propres du “shift” est ]-1,1].

Intégrales de Wallis – Tome 3

Intégrales de Wallis – Tome 2

Intégrales de Wallis – Tome 1

La fonction logarithme, introduite comme étant la primitive de ]0,+\infty[\to\mathbb{R},\,t\mapsto1/t qui s’annule en 1.

Principales propriétés : sens de variation, équation fonctionnelle, limites usuelles, etc …

Plusieurs méthodes pour établir l’indépendance linéaire des fonctions x\mapsto\cos(kx), pour 1\leqslant k\leqslant n.

Un exercice classique consiste à calculer explicitement la somme \sum_{k=1}^nk\,\binom{n}{k}

Plusieurs méthodes sont envisagées.

Calcul de dérivées – Tome 1

Racines carrées – Tome 1

Racines carrées – Tome 2

Racines carrées – Tome 3

Identités remarquables – Tome 1

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