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Etant donnés des réels x_0,\ldots,x_n tous distincts et des réels y_0,\ldots,y_n quelconques, il existe un unique d’un polynôme P de degré au plus n vérifiant P(x_k) = yk pour tout k. On décrit ensuite, sans donner de démonstration, le phénomène de Runge.

La convexité de la fonction exponentielle est évidente si l’on regarde sa dérivée seconde. Mais on peut peut aussi (exercice de style …) l’établir en revenant à la définition de la convexité et en utilisant astucieusement le lemme de Rolle.

La formule \arctan(a) - \arctan(b) = \arctan\left(\frac{a-b}{1+ab}\right) est valable pour tout couple (a,b) de réels positifs. Elle est historiquement liée à l’élaboration, par des mathématiciens du 18ème siècle, de méthodes de calcul approché de \pi.

Une formule explicite pour \arcsin(\sin(x)).
Contrairement à ce qu’on pourrait penser, cette expression ne se réduit pas bêtement à x …!

La partie entière d’un réel x est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. Elle est notée \lfloor x\rfloor.
Par exemple : \lfloor\pi\rfloor=3\quad\text{et}\quad\lfloor\sqrt 2\rfloor=1
Cette vidéo présente en détail les principales propriétés de cette fonction.

Lorsqu’on immerge dans de l’eau savonneuse la structure très simple décrite dans cette vidéo puis qu’on la retire délicatement, on observe l’apparition d’un film de savon dont l’aire doit être minimale …

Exercice d’oral type X-ENS.
Si f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} est continue et si f^2 est uniformément continue, alors f est aussi uniformément continue.

Tout entier n\leqslant1 s’écrit de manière unique : \displaystyle{n=\sum_{i=0}^rc_i\,B^i}
B\geqslant 2 est la base et les c_i sont les chiffres.
Exemples, remarques et programme de conversion en Python3.

Preuve détaillée du théorème d’existence et d’unicité énoncé dans la vidéo précédente.

L’itération des polynômes du type z\mapsto z^2+c donne naissance à de prodigieux ensembles présentant une structure fractale !

Pour tout entier n\geqslant1, l’équation z^n=1 possède n solutions distinctes dans \mathbb{C}.

Ce sont les racines n-èmes de l’unité, données par :

    \[e^{2ik\pi/n}\quad(0\leqslant k<n)\]

Le lemme de décomposition des noyaux est un outil essentiel pour l’étude de la réduction des endomorphismes.

Il permet de décomposer le noyau de P(u) en la somme directe de noyaux similaires, associés à des facteurs de P, deux à deux premiers entre eux.

Tout z\in\mathbb{C}^\star peut s’écrire z=r\,e^{i\theta} avec r>0 et \theta\in\mathbb{R}. Un tel \theta est un argument de z.
Comment calculer les arguments de z\in\mathbb{C}^\star à partir de ses parties réelle et imaginaire ? Et pour l’argument principal ?

Si G est un groupe fini et si H est un sous-groupe de G, alors le cardinal de H divise celui de G.

Une conséquence : si G est un groupe fini et si x\in G, alors l’ordre de x est un diviseur de \text{card}(G).

Trois exercices assez jolis, de niveau MPSI / PCSI / L1 Maths, autour de l’inégalité triangulaire.

Pour tout couple (z,w) de nombre complexes :

    \[\vert z+w\vert\leqslant\vert z\vert+\vert w\vert\]

Dans cette vidéo, on prouve cette célèbre inégalité et précisant le cas d’égalité.

Si A est une partie non vide d’un \mathbb{R}-evn, l’application “distance à A” est définie pour tout x\in E par :

    \[d(x,A)=\inf_{a\in A}\Vert x-a\Vert\]

Si A est convexe, alors x\mapsto d(x,A) aussi !

Un exercice classique consiste à calculer explicitement la somme \sum_{k=1}^nk\,\binom{n}{k}

Plusieurs méthodes sont envisagées.

Calcul explicite des sommes :

    \[S_{n,p}=\sum_{k=1}^nk^p\]


Mise en évidence d’une formule de récurrence liant les S_{n,j} pour 0\leqslant j\leqslant p.

Si n\in\mathbb{N}^\star et si p est un entier naturel impair, alors l’entier \sum_{k=1}^nk^p est multiple de \frac{n(n+1)}{2}.

Notion de polynômes d’endomorphismes.
Principales propriétés.

Polynômes annulateurs.

Valeurs et vecteurs propres d’un endomorphisme.

Polynômes caractéristique et minimal.

Définition de la notion de dérivabilité en un point, pour une fonction numérique.

Taux d’accroissement, équation de la tangente, etc …

Un joli exercice de recherche du spectre d’un endomorphisme en dimension infinie.

L’ensemble des valeurs propres du “shift” est ]-1,1].

Intégrales de Wallis – Tome 1
Définition :

    \[W_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n(t)\,dt\]


Relation de récurrence et calcul explicite.

Intégrales de Wallis – Tome 2
Convergence vers 0 de la suite et preuve de l’équivalent W_n\sim\sqrt{\frac\pi{2n}}

Intégrales de Wallis – Tome 3
Convergence vers 0 revisitée, avec \espilon et N
Ou bien via une majoration explicite de W_n.
Preuve “instantanée” avec le théorème de convergence dominée.

La fonction logarithme, introduite comme étant la primitive de ]0,+\infty[\to\mathbb{R},\,t\mapsto1/t qui s’annule en 1.

Principales propriétés : sens de variation, équation fonctionnelle, limites usuelles, etc …

Plusieurs méthodes pour établir l’indépendance linéaire des fonctions x\mapsto\cos(kx), pour 1\leqslant k\leqslant n.

Calcul de dérivées – Tome 1
Somme, produit et quotient.

Racines carrées – Tome 1
CNS pour que x^2=y^2 lorsque x,y\geqslant0
Définition et 1ères propriétés de x\mapsto\sqrt x :
Croissance, \sqrt{xy}=\cdots, \sqrt{x+y}\leqslant\cdots

Racines carrées – Tome 2
Calcul approché d’une racine carrée par dichotomie
Approximation de \sqrt{1+x} pour x “petit”
Existence de la racine carrée

Racines carrées – Tome 3
Formule du \sqrt{x^2}
Irrationnalité de \sqrt 2
Comparaison des moyennes arithmétique et géométrique de deux réels positifs.

Identités remarquables – Tome 1
Qu’est-ce qu’une identité remarquable et à quoi cela peut-il bien servir ?
A factoriser, développer, comparer, transformer … mais aussi à faire un peu de calcul mental 🙂


Anciennes Vidéos

Applications – Tome 1
Notion générale de correspondance
Images et antécédents
Fonctions et applications

Applications – Tome 2
Injection, surjections, bijections
Exemples simples

Equations du second degré – Tome 1
Exemples préliminaires
Mise sous forme canonique et discussion selon le signe du discriminant.
Le nombre d’or vite fait …

Equations du second degré – Tome 2
Lecture graphique du nombre de solution
Lieu des sommets de la parabole d’équation y=ax^2+bx+c lorsque b varie.

Equations du second degré – Tome 3
Etude dans le champ complexe.
Méthode pratique pour le calcul, sous la forme a+ib avec a,b réels, des racines carrées d’un nombre complexe.

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