Challenge 65 : l’orthocentre est donné !

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Aujourd’hui, un peu de géométrie plane … 🙂

On se donne deux points distincts A,H ainsi qu’un cercle \Gamma passant par A.

Est-il possible de construire deux points B,C appartenant à \Gamma, de telle sorte que H soit l’orthocentre du triangle ABC ? Et si oui, comment ?


Une solution est disponible ici

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Cet article a 2 commentaires

  1. jmf

    Si on note O le centre du cercle Γ (donc circonscrit au triangle ABC, où B et C sont cherchés), et si on note G le centre de gravité de ABC, on sait que vect(OH) = 3 vect(OG) = vect(OA)+vect(OB)+vect(OC) (voir https://math-os.com/lettre-o-#orthocentre).
    Les points A et H étant donnés, il faut donc qu’il existe B,C sur Γ tels que vect(OB)+vect(OC) = vect(AH).
    Si on note R le rayon de Γ, et si on fait varier B,C sur Γ, le milieu J de [BC] (défini par 2vect(OJ) = vect(OB)+vect(OC)) décrit le disque intérieur à Γ.
    La condition pour qu’il existe B,C tels que vect(AH) = 2vect(OJ) est donc que H appartienne au disque de centre A et de rayon 2R.
    Si cette condition est réalisée, l’égalité vect(AH) = 2vect(OJ) fournit J dans le disque intérieur à Γ. La droite OJ est la médiatrice du segment [B;C], donc on trouve B et C à l’intersection de Γ avec la perpendiculaire à (OJ) menée de J.
    Remarque: le fait que H soit distinct de A fait que J est distinct de O, et ça assure l’unicité du couple (B,C).

    En espérant ne pas avoir dit de bêtise 🙂

    1. René Adad

      Votre solution coïncide à très peu près avec celle qui est à présent en ligne.

      J’ai ajouté une petite illustration dynamique montrant les étapes de la construction des points B et C.

      Ce programme a été écrit en P5. Pour ceux que ça intéresse, je conseille d’aller faire un tour sur https://p5js.org/

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