Challenge 62 : suites bornées et moyenne de Cesàro

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Etant donnée une suite réelle (x_n), on définit la suite de ses moyennes par :

    \[\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\;y_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nx_k}\]

Il est connu que si la suite (x_n) converge, alors la suite (y_n) converge aussi et vers la même limite. C’est le célèbre lemme de Cesàro.

La réciproque de cette implication est fausse, comme on le voit en considérant le cas particulier où :

    \[\forall n\in\mathbb{N},\;x_n=(-1)^n\]

A votre avis, si la suite (y_n) est convergente, la suite (x_n) est-elle nécessairement bornée ?


Une solution est disponible ici

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