Challenge 86 : une suite pas si monotone que ça !

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Afin de prouver que \mathbb{Q} est une partie dense de \mathbb{R}, une méthode classique consiste, étant donné x\in\mathbb{R}, à poser pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[r_{n}=10^{-n}\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor\]

et à prouver que la suite \left(r_{n}\right)_{n\geqslant0}, dont tous les termes sont rationnels, converge vers x.

On peut noter, en outre, qu’il s’agit d’une suite croissante.

Maintenant posons, pour tout entier n\geqslant1 :

    \[s_{n}=\dfrac{\left\lfloor nx\right\rfloor }{n}\]

Ne pourrait-on pas simplifier l’argument en considérant la suite \left(s_{n}\right)_{n\geqslant1} plutôt que la suite \left(r_{n}\right)_{n\geqslant0} ?

Une réponse à cette question est que la suite \left(s_{n}\right)_{n\geqslant1} n’est pas croissante en général.

Sauriez-vous confirmer cela ?


Une solution est disponible ici

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