Lettre P

PARTIE (d’un ensemble)

Les parties d’un ensemble E, appelées aussi sous-ensembles de E, sont les ensembles inclus dans E.

Par exemple, les parties de \{1,2\} sont \emptyset, \{0\}, \{1\} et \{1,2\}.

On note \mathcal{P}(E) l’ensemble des parties de E.

On peut montrer que si E est fini, alors \mathcal{P}(E) aussi et :

    \[\text{card}(\mathcal{P}(E))=2^{\text{card}(E)}\]

Plus d’information sur les parties d’un ensemble fini dans cet article.

Quel que soit l’ensemble E, il n’existe aucune surjection (et en particulier) aucune bijection de E vers \mathcal{P}(E).

PARTIE ENTIERE

Etant donné un réel x, on note \left\lfloor x\right\rfloor la partie entière par défaut de x.
C’est le plus grand entier k vérifiant k\leqslant x. Autrement dit :

    \[\boxed{\left\lfloor x\right\rfloor \in\mathbb{Z}\qquad\text{et}\qquad\left\lfloor x\right\rfloor \leqslant x<\left\lfloor x\right\rfloor +1}\]

Par exemple :

    \[\left\lfloor \pi\right\rfloor =3\qquad\text{et}\qquad\left\lceil \pi\right\rceil =4\]

De manière analogue, on note \left\lceil x\right\rceil la partie entière par excès de x.
C’est le plus petit entier k vérifiant k\geqslant x. On a donc :

    \[\boxed{\left\lceil x\right\rceil \in\mathbb{Z}\qquad\text{et}\qquad\left\lceil x\right\rceil -1<x\leqslant\left\lceil x\right\rceil }\]

Par exemple :

    \[\left\lfloor -\pi\right\rfloor =-4\qquad\text{et}\qquad\left\lceil -\pi\right\rceil =-3\]

Si x est entier, il est clair que :

    \[x=\left\lfloor x\right\rfloor =\left\lceil x\right\rceil\]

et sinon :

    \[\left\lfloor x\right\rfloor <x<\left\lceil x\right\rceil =\left\lfloor x\right\rfloor +1\]

Graphe de la fonction x\mapsto\left\lfloor x\right\rfloor :

La relation \forall x\in\mathbb{R},\thinspace\left\lfloor x+1\right\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +1 exprime l’invariance du graphe par la translation de vecteur \left(1,1\right).

Une jolie formule (parmi tant d’autres) faisant intervenir des parties entières :

Théorème

(formule de Legendre)

Pour tout nombre premier p et tout entier n\geqslant1, la valuation p-adique de n! est :

    \[v_{p}\left(n!\right)=\sum_{j=1}^{\infty}\left\lfloor \frac{n}{p^{j}}\right\rfloor\]

En fait, cette somme est finie, car \lfloor n/p^{j}\rfloor=0 dès que j est assez grand.

Pour plus d’information sur ce résultat, on pourra consulter cet article

PARTITION (d’un ensemble)

Etant donné une ensemble non vide E, une partition de E est un ensemble \{A_i;\,i\in I\} de parties de E telles que :

  • chaque A_i est non vide
  • les A_i sont deux à deux disjoints
  • E est l’union des A_i

Noter que l’ensemble d’indices I peut éventuellement être infini.

Exemples

  1. Si E=\{1,2,3,4,5,6\}, alors en posant :

        \[A_1=\{1,2\}\quad A_2=\{3\}\quad A_3=\{4,5,6\}\]

    l’ensemble \{A_1,A_2,A_3\} est une partition de E.
  2. Etant donné un entier n\geqslant2, si l’on note pour tout r\in\llbracket0,n-1\rrbracket :

        \[A_r=r+n\mathbb{Z}=\{r+nk;\,k\in\mathbb{Z}\}\]

    alors les A_r forment une partition de \mathbb{Z}.
  3. Si l’on note A_\alpha l’ensemble des applications de \mathbb{R} dans \mathbb{R} qui prennent la valeur \alpha en 0, alors l’ensemble \{A_\alpha;\,\alpha\in\mathbb{R}\} est une partition de \mathbb{R}^{\mathbb{R}}.

Etant donné un groupe (G,\cdot), l’ensemble de ses sous-groupes ne forme pas une partition de G. En effet, les sous-groupes de G sont tous non vide et leur union est G, mais ils ne sont pas deux à deux disjoints (puisqu’ils contiennent tous l’élément neutre).

Si E est un ensemble fini de cardinal n\geqslant1, alors le nombre de partitions de E est le n-ème nombre de Bell, noté B_n. Voir cet article.

PERMUTATION

Etant donné un ensemble non vide X, une permutation de X est une bijection dans X dans lui-même.

L’ensemble des permutations de X est noté \mathfrak{S}\left(X\right) (la lettre \mathfrak{S} est le S de l’alphabet fraktur, un type d’écriture gothique). Comme la composée de deux bijections est une bijection, la loi \circ est une opération dans l’ensemble \mathfrak{S}\left(X\right). Elle lui confère une structure de groupe. Ce groupe est non abélien dès que \text{card}\left(X\right)>2; plus précisément, son centre est réduit à \left\{ id_{X}\right\} . Les groupes \left(\mathfrak{S}\left(X\right),\circ\right) et \left(\mathfrak{S}\left(Y\right),\circ\right) sont isomorphes si, et seulement si, X et Y sont équipotents.

On peut montrer que tout groupe \left(G,.\right) est isomorphe à un sous-groupe de \left(\mathfrak{S}\left(G\right),\circ\right) (théorème de Cayley), ce qui montre le caractère universel des groupes de permutations.

Parmi les éléments de \mathfrak{S}\left(X\right), on distingue les cycles. Etant donnés e_{0},\cdots,e_{p-1} des éléments distincts de X, la bijection c définie par :

    \[\forall i\in\left\llbracket 0,p-1\right\rrbracket ,\thinspace c\left(e_{i}\right)=e_{\left(i+1\right)\mod p}\]

et

    \[\forall x\in X-\left\{ e_{0},\cdots,e_{p-1}\right\} ,\thinspace c\left(x\right)=x\]

est appelée un p-cycle, qu’on peut noter \left(e_{0},e_{1},\cdots,e_{p-1}\right).
Un 2-cycle (ou transposition) échange deux éléments et laisse les autres fixes.

Si n\in\mathbb{N}^{\star}, on note \mathfrak{S}_{n} pour \mathfrak{S}\left(\left\llbracket 1,n\right\rrbracket \right). Le groupe \left(\mathfrak{S}_{n},\circ\right) est appelé n-ème groupe symétrique. C’est un groupe de cardinal n! (la factorielle de n), engendré par les transpositions (plus précisément, les n-1 transpositions \left(i,i+1\right) pour 1\leqslant i\leqslant n-1 forment une partie génératrice de \mathfrak{S}_{n}).

Exemple

Les 3!=6 éléments de \mathfrak{S}_{3} sont les suivants :

    \[\begin{array}{ccccc}\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\1 & 2 & 3\end{array}\right) & & \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\1 & 3 & 2\end{array}\right) & & \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\3 & 2 & 1\end{array}\right)\\\\\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\2 & 1 & 3\end{array}\right) & & \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\end{array}\right) & & \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\3 & 1 & 2\end{array}\right)\end{array}\]


La matrice \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\a & b & c\end{array}\right) désigne ici la bijection \sigma définie par :

    \[\sigma\left(1\right)=a,\quad\sigma\left(2\right)=b\quad\sigma\left(3\right)=c\]

Ces six éléments sont donc :

  • l’identité de \left\{ 1,2,3\right\} : c’est l’élément neutre du groupe
  • les trois transpositions : celle qui échange 2 et 3, celle qui échange 1 et 3, celle qui échange 1 et 2.
  • les deux permutations circulaires

(nombre) PREMIER

Un nombre entier p\geqslant2 est dit premier lorsqu’il possède exactement deux diviseurs (positifs), à savoir : 1 et p lui-même.

Ainsi, 15 n’est pas premier puisque cet entier n’est pas seulement divisible par 1 et 15 (mais aussi par 3 et 5).

Ne pas confondre avec la notion de nombres premiers entre eux.

L’ensemble des nombres premiers, noté \mathbb{P}, est infini. Ses huit plus petits éléments sont :

    \[2,\quad3,\quad5,\quad7,\quad11,\quad13,\quad17,\quad19\]

On peut montrer que tout entier n\geqslant2 se décompose, de manière unique, en produit de facteurs premiers, sous la forme :

    \[n=\prod_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}\]

avec p_1,\cdots,p_r\in\mathbb{P} tous distincts et \alpha_1,\cdots,\alpha_r\in\mathbb{N}^\star.

Ce résultat constitue le théorème fondamental de l’arithmétique.

Exemples

    \[12\;345=3\times5\times823\]

    \[4896=2^5\times3^2\times17\]

Plusieurs questions, simple à formuler, restent à ce jour sans réponse :

  • est-il vrai que tout nombre pair supérieur ou égal à 4 est la somme de deux nombres premiers ?
  • est-il vrai qu’il existe une infinité de nombres premiers p tels que p+2 soit aussi premier ?
  • existe-t-il une infinité de nombres premiers de la forme 2^p-1 ?
  • existe-t-il un entier n>4 tel que 2^{2^n}+1 soit premier ?

Pour en savoir plus sur les nombres premiers, on pourra consulter cet article.

PRODUIT CARTÉSIEN

Etant donnés deux objets mathématiques quelconques x et y, on note (x,y) le couple qu’ils forment (dans cet ordre).

Une façon de rattacher cette notion à celle d’ensemble est de considérer que (x,y) désigne l’ensemble \{x,\{x,y\}\}, mais cet subtilité n’est pas importante en pratique … ce qui compte, c’est de se rappeler qu’un couple est ordonné. Ainsi, les couples d’entiers (1,2) et (2,1) sont distincts.

Par contraste, les ensembles \{1,2\} et \{2,1\} sont identiques.

Etant donné un couple c=(x,y), on dit que x (resp. y) est la première composante (resp. la seconde composante) de c.

Maintenant, si E et F sont deux ensembles quelconques, on note E\times F l’ensemble des couples (x,y) pour lesquels x\in E et y\in F. Cet ensemble est appelé produit cartésien de E par F.

Par exemple, si E=\{0,1\} et F=\{2,3,4\}, alors :

    \[E\times F=\{(0,2),\,(0,3),\,(0,4),\,(1,2),\,(1,3),\,(1,4)\}\]

On généralise la notion de couple en celle de n-uplet (ou : liste de longueur n), avec n un entier plus grand que 1.

Si E_1,\cdots,E_n sont des ensembles quelconques, leur produit cartésien (dans cet ordre) est défini comme l’ensemble des n-uplets (x_1,\cdots,x_n), avec x_1\in E_1, … etc …, x_n\in E_n.

Cet ensemble est noté E_1\times\cdots\times E_n, ou bien de manière abrégée : \displaystyle{\prod_{k=1}^nE_k}.

PROPRE (valeur, vecteur)

Soient un \mathbb{K}-espace vectoriel E, un endomorphisme u\in\mathcal{L}\left(E\right) et \lambda\in\mathbb{K} un scalaire.

Ce scalaire est appelé une valeur propre de u lorsque :

    \[\exists x\in E-\left\{ 0_{E}\right\},\:u\left(x\right)=\lambda x\]

Un tel x est appelé un vecteur propre pour u, associé à la valeur propre \lambda.

L’ensemble des valeurs propres de u est le spectre de u, noté \text{sp}\left(u\right). C’est donc une partie de \mathbb{K}. On peut montrer que si E est de dimension finie, alors \text{sp\ensuremath{\left(u\right)}} est fini et \text{card}\left(\text{sp}\left(u\right)\right)\leqslant\dim\left(E\right).

En revanche, lorsque E est de dimension infinie, le spectre d’un endomorphisme peut être infini : voir l’exemple n° 4 ci-dessous ou encore cette vidéo.

Exemples

  1. Si u est une homothétie, c’est-à-dire u=\lambda\thinspace id_{E} pour un certain \lambda\in\mathbb{K}, alors \lambda est l’unique valeur propre de u et tout vecteur non nul est propre pour u.
  2. Si u\in\mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) est canoniquement associé à \left[\begin{array}{cc}0 & -1\\1 & 0\end{array}\right], alors u ne possède aucune valeur propre (et il n’existe donc aucun vecteur propre pour u). Ceci est géométriquement évident, puisque u est la rotation de mesure \pi/2 : on voit mal comment un vecteur non nul pourrait être colinéaire à son image …
  3. Si E est de dimension finie et si u\in\mathcal{L}\left(E\right) est nilpotent, c’est-à-dire s’il existe r\geqslant1 tel que u^{r}=0, alors 0 est la seule valeur propre de u.
  4. Si D désigne l’endomorphisme de dérivation de E=\mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right), alors tout réel \lambda est valeur propre de D puisque l’application \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace t\mapsto e^{\lambda t} (qui n’est pas l’application nulle) appartient à E et vérifie D\left(e_{\lambda}\right)=\lambda\thinspace e_{\lambda}.

Si \lambda\in\text{sp}\left(u\right), alors l’ensemble \ker\left(u-\lambda\thinspace id_{E}\right) est le sous-espace propre (sep) pour u associé à la valeur propre \lambda. C’est donc la partie de E formée du vecteur nul et des vecteurs propres pour u, associés à la valeur propre \lambda.

On peut montrer que, si E est de dimension finie, alors la somme des sep pour u est directe. Lorsque cette somme directe coïncide avec E, l’endomorphisme u est dit diagonalisable.

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