Lettre P

PARTIE (d’un ensemble)

Les parties d’un ensemble $E$ , appelées aussi sous-ensembles de $E$ , sont les ensembles inclus dans $E$ .

Par exemple, les parties de $\{1,2\}$ sont $\emptyset$ , $\{0\}$ , $\{1\}$ et $\{1,2\}$ .

On note $\mathcal{P}(E)$ l’ensemble des parties de $E$ .

On peut montrer que si $E$ est fini, alors $\mathcal{P}(E)$ aussi et :

$\boxed{\text{card}(\mathcal{P}(E))=2^{\text{card}(E)}}$

Plus d’information sur les parties d’un ensemble fini dans cet article.

Quel que soit l’ensemble $E$ , il n’existe aucune surjection (et en particulier aucune bijection) de $E$ vers $\mathcal{P}(E)$ .

PARTIE ENTIERE, PARTIE FRACTIONNAIRE

Etant donné un réel $x,$ on note $\left\lfloor x\right\rfloor$ la partie entière par défaut de $x.$
C’est le plus grand entier $k$ vérifiant $k\leqslant x.$ Autrement dit :

$\boxed{\left\lfloor x\right\rfloor \in\mathbb{Z}\qquad\text{et}\qquad\left\lfloor x\right\rfloor \leqslant x<\left\lfloor x\right\rfloor +1}$

Par exemple :

$\left\lfloor \pi\right\rfloor =3\qquad\text{et}\qquad\left\lceil \pi\right\rceil =4$

Quant à la différence $x-\lfloor x\rfloor$ , elle est appelée partie fractionnaire de $x$ et notée $\{x\}$ (si toutefois le contexte permet d’éviter toute confusion avec un singleton).

On définit de manière analogue la partie entière par excès de $x,$ notée $\left\lceil x\right\rceil .$ C’est le plus petit entier $k$ vérifiant $k\geqslant x.$ Ainsi :

$\boxed{\left\lceil x\right\rceil \in\mathbb{Z}\qquad\text{et}\qquad\left\lceil x\right\rceil -1<x\leqslant\left\lceil x\right\rceil }$

Par exemple :

$\left\lfloor -\pi\right\rfloor =-4\qquad\text{et}\qquad\left\lceil -\pi\right\rceil =-3$

Par défaut, l’expression « partie entière » désigne la partie entière par défaut 🙂

Remarque

Si $x$ est entier, il est clair que :

$x=\left\lfloor x\right\rfloor =\left\lceil x\right\rceil$

et sinon :

$\left\lfloor x\right\rfloor <x<\left\lceil x\right\rceil =\left\lfloor x\right\rfloor +1$

Graphe de la fonction $x\mapsto\left\lfloor x\right\rfloor$ :

La relation $\forall x\in\mathbb{R},\thinspace\left\lfloor x+1\right\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +1$ exprime l’invariance du graphe de $x\mapsto\lfloor x\rfloor$ par la translation de vecteur $\left(1,1\right).$ Il revient au même de dire que la fonction partie fractionnaire est 1-périodique.

Une jolie formule (parmi d’autres) faisant intervenir des parties entières :

Théorème

(formule de Legendre)

Pour tout nombre premier $p$ et tout entier $n\geqslant1,$ la valuation $p-$ adique de $n!$ est :

$v_{p}\left(n!\right)=\sum_{j=1}^{\infty}\left\lfloor \frac{n}{p^{j}}\right\rfloor$

En fait, cette somme est finie, car $\lfloor n/p^{j}\rfloor=0$ dès que $j$ est assez grand.

Concernant la formule de Legendre, on pourra consulter cet article

PARTITION (d’un ensemble)

Etant donné une ensemble non vide $E$ , une partition de $E$ est un ensemble $\{A_i;\,i\in I\}$ de parties de $E$ telles que :

chaque $A_i$ est non vide
les $A_i$ sont deux à deux disjoints
$E$ est l’union des $A_i$

Noter que l’ensemble d’indices $I$ peut éventuellement être infini.

Exemples

Si $E=\{1,2,3,4,5,6\}$ , alors en posant :
$A_1=\{1,2\}\quad A_2=\{3\}\quad A_3=\{4,5,6\}$
l’ensemble $\{A_1,A_2,A_3\}$ est une partition de $E$ .
Etant donné un entier $n\geqslant2$ , si l’on note pour tout $r\in\llbracket0,n-1\rrbracket$ :
$A_r=r+n\mathbb{Z}=\{r+nk;\,k\in\mathbb{Z}\}$
alors les $A_r$ forment une partition de $\mathbb{Z}$ .
Si l’on note $A_\alpha$ l’ensemble des applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui prennent la valeur $\alpha$ en 0, alors l’ensemble $\{A_\alpha;\,\alpha\in\mathbb{R}\}$ est une partition de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ .

Etant donné un groupe $(G,\cdot)$ , l’ensemble de ses sous-groupes ne forme pas une partition de $G$ . En effet, les sous-groupes de $G$ sont tous non vide et leur union est $G$ , mais ils ne sont pas deux à deux disjoints (puisqu’ils contiennent tous l’élément neutre).

Si $E$ est un ensemble fini de cardinal $n\geqslant1$ , alors le nombre de partitions de $E$ est le n-ème nombre de Bell, noté $B_n$ . Voir cet article.

PERMUTATION

Etant donné un ensemble non vide $X,$ une permutation de $X$ est une bijection dans $X$ dans lui-même.

L’ensemble des permutations de $X$ est noté $\mathfrak{S}\left(X\right)$ (la lettre $\mathfrak{S}$ est le S de l’alphabet fraktur, un type d’écriture gothique). Comme la composée de deux bijections est une bijection, la loi $\circ$ est une opération dans l’ensemble $\mathfrak{S}\left(X\right).$ Elle lui confère une structure de groupe. Ce groupe est non abélien dès que $\text{card}\left(X\right)>2;$ plus précisément, son centre est réduit à $\left\{ id_{X}\right\} .$ Les groupes $\left(\mathfrak{S}\left(X\right),\circ\right)$ et $\left(\mathfrak{S}\left(Y\right),\circ\right)$ sont isomorphes si, et seulement si, $X$ et $Y$ sont équipotents.

On peut montrer que tout groupe $\left(G,.\right)$ est isomorphe à un sous-groupe de $\left(\mathfrak{S}\left(G\right),\circ\right)$ (théorème de Cayley), ce qui montre le caractère universel des groupes de permutations.

Parmi les éléments de $\mathfrak{S}\left(X\right),$ on distingue les cycles. Etant donnés $e_{0},\cdots,e_{p-1}$ des éléments distincts de $X,$ la bijection $c$ définie par :

$\forall i\in\left\llbracket 0,p-1\right\rrbracket ,\thinspace c\left(e_{i}\right)=e_{\left(i+1\right)\mod p}$

$\forall x\in X-\left\{ e_{0},\cdots,e_{p-1}\right\} ,\thinspace c\left(x\right)=x$

est appelée un $p-$ cycle, qu’on peut noter $\left(e_{0},e_{1},\cdots,e_{p-1}\right).$
Un 2-cycle (ou transposition) échange deux éléments et laisse les autres fixes.

Si $n\in\mathbb{N}^{\star},$ on note $\mathfrak{S}_{n}$ pour $\mathfrak{S}\left(\left\llbracket 1,n\right\rrbracket \right).$ Le groupe $\left(\mathfrak{S}_{n},\circ\right)$ est appelé $n-$ ème groupe symétrique. C’est un groupe de cardinal $n!$ (la factorielle de $n),$ engendré par les transpositions (plus précisément, les $n-1$ transpositions $\left(i,i+1\right)$ pour $1\leqslant i\leqslant n-1$ forment une partie génératrice de $\mathfrak{S}_{n}).$

Exemple

Les $3!=6$ éléments de $\mathfrak{S}_{3}$ sont les suivants :

$\begin{array}{ccccc}\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\1 & 2 & 3\end{array}\right) & & \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\1 & 3 & 2\end{array}\right) & & \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\3 & 2 & 1\end{array}\right)\\\\\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\2 & 1 & 3\end{array}\right) & & \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\end{array}\right) & & \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\3 & 1 & 2\end{array}\right)\end{array}$

La matrice $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\a & b & c\end{array}\right)$ désigne ici la bijection $\sigma$ définie par :

$\sigma\left(1\right)=a,\quad\sigma\left(2\right)=b\quad\sigma\left(3\right)=c$

Ces six éléments sont donc :

l’identité de $\left\{ 1,2,3\right\}$ : c’est l’élément neutre du groupe
les trois transpositions : celle qui échange 2 et 3, celle qui échange 1 et 3, celle qui échange 1 et 2.
les deux permutations circulaires

PION (formule du)

Etant donnés des entiers $n,k$ tels que $1\leqslant k\leqslant n$ , l’égalité :

$k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$

est connue sous le nom de « formule du pion ». Elle peut être établie via l’expression des coefficients binomiaux au moyen de factorielles, mais la « bonne » façon de la démontrer repose sans conteste sur une interprétation combinatoire. Tout ceci est détaillé dans cet article.

La formule du pion se généralise sous la forme suivante :

$\binom{r}{q}\binom{q}{p}=\binom{r}{p}\binom{r-p}{q-p}$

où $p,q,r$ sont des entiers tels que $1\leqslant p\leqslant q\leqslant r$ . Cette version fait l’objet de l’exercice n° 7 de cette fiche.

PREMIER (nombre)

Un nombre entier $p\geqslant2$ est dit premier lorsqu’il possède exactement deux diviseurs (positifs), à savoir : 1 et $p$ lui-même.

Ainsi, 15 n’est pas premier puisque cet entier n’est pas seulement divisible par 1 et 15 (mais aussi par 3 et 5).

Ne pas confondre avec la notion de nombres premiers entre eux.

L’ensemble des nombres premiers, noté $\mathbb{P}$ , est infini. Ses huit plus petits éléments sont :

$2,\quad3,\quad5,\quad7,\quad11,\quad13,\quad17,\quad19$

On peut montrer que tout entier $n\geqslant2$ se décompose, de manière unique, en produit de facteurs premiers, sous la forme :

$n=\prod_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}$

avec $p_1,\cdots,p_r\in\mathbb{P}$ tous distincts et $\alpha_1,\cdots,\alpha_r\in\mathbb{N}^\star$ .

Ce résultat constitue le théorème fondamental de l’arithmétique.

Exemples

$12\;345=3\times5\times823$

$4896=2^5\times3^2\times17$

Plusieurs questions, simple à formuler, restent à ce jour sans réponse :

est-il vrai que tout nombre pair supérieur ou égal à 4 est la somme de deux nombres premiers ?
est-il vrai qu’il existe une infinité de nombres premiers p tels que p+2 soit aussi premier ?
existe-t-il une infinité de nombres premiers de la forme $2^p-1$ ?
existe-t-il un entier $n>4$ tel que $2^{2^n}+1$ soit premier ?

Pour en savoir plus sur les nombres premiers, on pourra consulter cet article ou cette vidéo.

PRODUIT CARTÉSIEN

Etant donnés deux objets mathématiques quelconques $x$ et $y$ , on note $(x,y)$ le couple qu’ils forment (dans cet ordre).

Une façon de rattacher cette notion à celle d’ensemble est de considérer que $(x,y)$ désigne l’ensemble $\{x,\{x,y\}\}$ , mais cet subtilité n’est pas importante en pratique … ce qui compte, c’est de se rappeler qu’un couple est ordonné. Ainsi, les couples d’entiers $(1,2)$ et $(2,1)$ sont distincts.

Par contraste, les ensembles $\{1,2\}$ et $\{2,1\}$ sont identiques.

Etant donné un couple $c=(x,y)$ , on dit que $x$ (resp. $y$ ) est la première composante (resp. la seconde composante) de $c$ .

Maintenant, si $E$ et $F$ sont deux ensembles quelconques, on note $E\times F$ l’ensemble des couples $(x,y)$ pour lesquels $x\in E$ et $y\in F$ . Cet ensemble est appelé produit cartésien de $E$ par $F$ .

Par exemple, si $E=\{0,1\}$ et $F=\{2,3,4\}$ , alors :

$E\times F=\{(0,2),\,(0,3),\,(0,4),\,(1,2),\,(1,3),\,(1,4)\}$

On généralise la notion de couple en celle de $n$ -uplet (ou : liste de longueur $n$ ), avec $n$ un entier plus grand que 1.

Si $E_1,\cdots,E_n$ sont des ensembles quelconques, leur produit cartésien (dans cet ordre) est défini comme l’ensemble des $n$ -uplets $(x_1,\cdots,x_n)$ , avec $x_1\in E_1$ , … etc …, $x_n\in E_n$ .

Cet ensemble est noté $E_1\times\cdots\times E_n$ , ou bien de manière abrégée : $\displaystyle{\prod_{k=1}^nE_k}$ .

PROPRE (valeur, vecteur)

Soient un $\mathbb{K}-$ espace vectoriel $E,$ un endomorphisme $u\in\mathcal{L}\left(E\right)$ et $\lambda\in\mathbb{K}$ un scalaire.

Ce scalaire est appelé une valeur propre de $u$ lorsque :

$\exists x\in E-\left\{ 0_{E}\right\},\:u\left(x\right)=\lambda x$

Un tel $x$ est appelé un vecteur propre pour $u,$ associé à la valeur propre $\lambda.$

L’ensemble des valeurs propres de $u$ est le spectre de $u,$ noté $\text{sp}\left(u\right).$ C’est une partie de $\mathbb{K}.$

Si $E$ est de dimension finie, alors $\text{sp}\left(u\right)$ est fini et $\text{card}\left(\text{sp}\left(u\right)\right)\leqslant\dim\left(E\right).$

En revanche, si $\dim(E)=\infty,$ le spectre d’un endomorphisme peut être infini : voir l’exemple n° 4 ci-dessous ou encore cette vidéo.

Exemples

Si $u$ est une homothétie, c’est-à-dire $u=\lambda\thinspace id_{E}$ pour un certain $\lambda\in\mathbb{K},$ alors $\lambda$ est l’unique valeur propre de $u$ et tout vecteur non nul est propre pour $u.$
Si $u\in\mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$ est canoniquement associé à $\left[\begin{array}{cc}0 & -1\\1 & 0\end{array}\right],$ alors $u$ ne possède aucune valeur propre (et il n’existe donc aucun vecteur propre pour $u).$ Ceci est géométriquement évident, puisque $u$ est la rotation de mesure $\pi/2$ : on voit mal comment un vecteur non nul pourrait être colinéaire à son image …
Si $E$ est de dimension finie et si $u\in\mathcal{L}\left(E\right)$ est nilpotent, c’est-à-dire s’il existe $r\geqslant1$ tel que $u^{r}=0,$ alors $0$ est la seule valeur propre de $u.$
Si $D$ désigne l’endomorphisme de dérivation de $E=\mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right),$ alors tout réel $\lambda$ est valeur propre de $D$ puisque l’application $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace t\mapsto e^{\lambda t}$ (qui n’est pas l’application nulle) appartient à $E$ et vérifie $D\left(e_{\lambda}\right)=\lambda\thinspace e_{\lambda}.$

Si $\lambda\in\text{sp}\left(u\right),$ alors l’ensemble $\ker\left(u-\lambda\thinspace id_{E}\right)$ est le sous-espace propre (sep) pour $u$ associé à la valeur propre $\lambda.$ C’est donc la partie de $E$ formée du vecteur nul et des vecteurs propres pour $u,$ associés à la valeur propre $\lambda.$

On peut montrer que, si $E$ est de dimension finie, alors la somme des sep pour $u$ est directe. Lorsque cette somme directe coïncide avec $E,$ l’endomorphisme $u$ est dit diagonalisable.

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