Lettre B

BASE CANONIQUE

Si $E$ est un espace vectoriel abstrait de dimension finie $n\geqslant1,$ il n’existe pas parmi les bases de $E$ de base privilégiée.

En revanche, lorsque $E$ est explicitement identifié, on peut généralement distinguer une base plus naturelle, plus standard, que toute autre.

Cette base est appelée la base canonique de $E.$

➢ Par exemple, si $E=\mathbb{K}^{n}$ alors sa base canonique est $\left(e_{1},\cdots,e_{n}\right)$ où l’on a posé :

$\begin{eqnarray*}e_{1} & = & \left(1,0,0,\cdots,0,0\right)\\ e_{2} & = & \left(0,1,0,\cdots,0,0\right)\\ \vdots & & \vdots\\ e_{n} & = & \left(0,0,0,\cdots,0,1\right)\end{eqnarray*}$

➢ Autre exemple, si $E=\mathbb{K}_{n}\left[X\right]$ (espace de polynômes de degré inférieur ou égal à $n),$ alors sa base canonique est :

$\left(1,X,X^{2},\cdots,X^{n}\right)$

ce qui n’est au fond qu’une reformulation de la même chose, puisque par définition $X^{k}$ est la suite presque nulle :

$\left(0,0,0,\cdots0,1,0,\cdots\right)$

dans laquelle chaque terme est nul à l’exception du $k-$ ème, qui vaut 1 (attention : les termes de la suite sont numérotés à partir de l’indice 0).

Encore un, pour la route …

➢ Si $E=\mathcal{M}_{n,p}\left(\mathbb{K}\right)$ (espace des matrices rectangulaires à $n$ lignes et $p$ colonnes), alors sa base canonique est formée des matrices élémentaires :

$E_{r,s}=\left[\delta_{i,r}\delta_{j,s}\right]_{{1\leqslant i\leqslant n\atop 1\leqslant j\leqslant q}}$

avec $1\leqslant r\leqslant n,$ $1\leqslant s\leqslant p$ et où $\delta_{u,v}$ est le symbole de Kronecker.

Autrement dit, $E_{r,s}$ est la matrice dont tous les termes sont nuls à l’exception de celui situé à l’intersection de la ligne $r$ et de la colonne $s,$ qui vaut 1. On reconnaît encore la même idée.

Noter que l’ordre des vecteurs dans une base a son importance; il faut donc le préciser en cas de doute. Aucun doute pour les deux premiers exemples, mais les choses sont moins nettes pour les matrices élémentaires. On peut adopter par défaut l’ordre lexicographique sur les couples $\left(r,s\right)\in\left\llbracket 1,n\right\rrbracket \times\left\llbracket 1,p\right\rrbracket .$ Ainsi, dans le cas particulier où $n=2$ et $p=3$ , la base canonique de $\mathcal{M}_{2,3}\left(\mathbb{K}\right)$ sera :

$\left(E_{1,1},\,E_{1,2},\,E_{1,3},\,E_{2,1},\,E_{2,2},\,E_{2,3}\right)$

BIJECTION

Une bijection d’un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ est, en quelque sorte, une “correspondance parfaite” entre ces deux ensembles.

Intuitivement, cela signifie que, de chaque élément de $E$ part une unique flèche vers un élément de $F$ et, de plus, que vers chaque élément de $F$ parvient une unique flèche provenant d’un élément de $E$ :

De manière précise, une bijection est une application $u:E\to F$ qui est à la fois injective et surjective.

➢ L’injectivité signifie que tout élément de $F$ possède au plus un antécédent par $u$ .

➢ La surjectivité signifie que tout élément de $F$ possède au moins un antécédent par $u$ .

La superposition des deux conditions signifie que tout élément de $F$ possède un unique antécédent par $u$ . En symboles :

$\forall y\in F,\exists !x\in E;\,u(x)=y$

Chacune des applications suivantes est un exemple de bijection :

$f:\{0,1,2\}\to\{0,2,4\},n\mapsto 2n$

$g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}^\star,n\mapsto n+1$

$h:\mathbb{N}\to\mathbb{Z},n\mapsto\left\{\begin{matrix}\frac{n}{2} & \text{si }n\text{est pair}\\-\frac{n+1}{2} & \text{sinon}\end{matrix}\right.$

S’il existe une bijection $u:E\to F$ , alors il existe une bijection de $v:F\to E$ (à commencer par la bijection réciproque de $u$ , notée $u^{-1}$ , qui a tout élément de $F$ associe son unique antécédent par $u$ ). On peut donc parler d’ensembles “en bijection”, sans préciser d’ensemble de départ ni d’arrivée : deux tels ensembles sont dits équipotents. Dans le cas de deux ensembles finis, cela signifie simplement que les deux ensembles ont le même cardinal.

Les exemples ci-dessus montrent que $\mathbb{N}^\star$ et $\mathbb{Z}$ sont équipotents à $\mathbb{N}$ . On peut montrer que c’est aussi le cas de $\mathbb{Q}$ : pour cette raison, $\mathbb{N}$ , $\mathbb{N}^\star$ et $\mathbb{Q}$ sont dits dénombrables. On peut montrer que $\mathbb{R}$ , en revanche, n’est pas dénombrable.

BINOMIAUX (coefficients)

Si $n,k$ sont deux entiers naturels, on note $\binom{n}{k}$ le nombre de parties de cardinal $k$ dans un ensemble de cardinal $n.$

Cet entier est évidemment nul si $k>n.$ Et sinon, on peut montrer que :

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$

Si $1\leqslant k\leqslant n,$ cette formule peut s’écrire, après simplification par $\left(n-k\right)!$ :

$\binom{n}{k}=\frac{n\left(n-1\right)\cdots\left(n-k+1\right)}{k!}$

Les entiers $\binom{n}{k}$ sont appelés coefficients binomiaux, car ils interviennent dans la célèbre formule du binôme de Newton :

$\left(a+b\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}$

formule dans laquelle $a,b$ sont deux nombres complexes.

Plus généralement, cette égalité reste valable dans un anneau, pour tout couple $\left(a,b\right)$ d’éléments qui commutent. On peut notamment l’appliquer à une couple de matrices carrées de même taille, à coefficients dans un même corps $\mathbb{K}$ .

Il existe de nombreuses formules faisant intervenir les coefficients binomiaux. Quelques unes des plus importantes son détaillées dans cet article.

Les coefficients binomiaux généralisés sont définis, pour tout $\left(\alpha,k\right)\in\mathbb{R}\times\mathbb{N},$ par :

$\binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha\left(\alpha-1\right)\cdots\left(\alpha-k+1\right)}{k!}$

On peut montrer que :

$\forall t\in\left]-1,1\right[,\:\left(1+t\right)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}t^{k}$

BORNÉ

La notion de partie bornée est présentée ici dans $\mathbb{R}$ par souci de simplicité. Son cadre naturel est celui des espaces métriques.

On dit qu’une partie $B$ de $\mathbb{R}$ est bornée lorsque :

$\exists M\in\mathbb{R}^{+},\thinspace\forall x\in B,\thinspace\left|x\right|\leqslant M$

Il revient au même d’affirmer qu’il existe deux réels $a,b$ tels que $a<b$ et $B\subset\left[a,b\right].$

Il est facile de voir que :

l’intersection d’une famille de parties bornées est bornée.
l’union d’une famille finie de parties bornées est bornée.

Parmi les parties bornées de $\mathbb{R},$ on peut distinguer :

les intervalles bornés. Ce sont ceux de l’une des formes suivantes :
$\emptyset,\:\left\{ a\right\} ,\:\left[a,b\right],\:\left[a,b\right[,\:\left]a,b\right],\:\left]a,b\right[$
les parties fermées et bornées. Pour une telle partie $B$ , on peut extraire de toute suite $\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ à termes dans $B$ une sous-suite convergente dont la limite appartient à $B.$ La réciproque est vraie : toute partie de $\mathbb{R}$ ayant cette propriété est fermée et bornée. En d’autres termes, les parties fermées et bornées de $\mathbb{R}$ sont exactement les parties compactes de $\mathbb{R}$ .

A l’intersection des deux catégories 1 et 2 ci-dessus, on trouve les segments (intervalles fermés et bornés).

Maintenant, si $D\subset\mathbb{R}$ alors une application $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ est dite bornée lorsque $f\left\langle D\right\rangle$ est une partie bornée au sens précédent. Cela signifie donc qu’il existe $M\in\mathbb{R}^{+}$ tel que :

$\forall x\in D,\thinspace\left|f\left(x\right)\right|\leqslant M$

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