Lettre B
BASE CANONIQUE
Si est un espace vectoriel abstrait de dimension finie
il n’existe pas parmi les bases de
de base privilégiée.
En revanche, lorsque est explicitement identifié, on peut généralement distinguer une base plus naturelle, plus standard, que toute autre.
Cette base est appelée la base canonique de
➢ Par exemple, si alors sa base canonique est
où l’on a posé :
➢ Autre exemple, si (espace de polynômes de degré inférieur ou égal à
alors sa base canonique est :
Encore un, pour la route …
➢ Si (espace des matrices rectangulaires à
lignes et
colonnes), alors sa base canonique est formée des matrices élémentaires :
Autrement dit, est la matrice dont tous les termes sont nuls à l’exception de celui situé à l’intersection de la ligne
et de la colonne
qui vaut 1. On reconnaît encore la même idée.
Noter que l’ordre des vecteurs dans une base a son importance; il faut donc le préciser en cas de doute. Aucun doute pour les deux premiers exemples, mais les choses sont moins nettes pour les matrices élémentaires. On peut adopter par défaut l’ordre lexicographique sur les couples Ainsi, dans le cas particulier où
et
, la base canonique de
sera :
BIJECTION
Une bijection d’un ensemble vers un ensemble
est, en quelque sorte, une “correspondance parfaite” entre ces deux ensembles.
Intuitivement, cela signifie que, de chaque élément de part une unique flèche vers un élément de
et, de plus, que vers chaque élément de
parvient une unique flèche provenant d’un élément de
:

De manière précise, une bijection est une application qui est à la fois injective et surjective.
➢ L’injectivité signifie que tout élément de possède au plus un antécédent par
.
➢ La surjectivité signifie que tout élément de possède au moins un antécédent par
.
La superposition des deux conditions signifie que tout élément de possède un unique antécédent par
. En symboles :
Chacune des applications suivantes est un exemple de bijection :
S’il existe une bijection , alors il existe une bijection de
(à commencer par la bijection réciproque de
, notée
, qui a tout élément de
associe son unique antécédent par
). On peut donc parler d’ensembles “en bijection”, sans préciser d’ensemble de départ ni d’arrivée : deux tels ensembles sont dits équipotents. Dans le cas de deux ensembles finis, cela signifie simplement que les deux ensembles ont le même cardinal.
Les exemples ci-dessus montrent que et
sont équipotents à
. On peut montrer que c’est aussi le cas de
: pour cette raison,
,
et
sont dits dénombrables. On peut montrer que
, en revanche, n’est pas dénombrable.
BINOMIAUX (coefficients)
Si sont deux entiers naturels, on note
le nombre de parties de cardinal
dans un ensemble de cardinal
Cet entier est évidemment nul si Et sinon, on peut montrer que :
Plus généralement, cette égalité reste valable dans un anneau, pour tout couple d’éléments qui commutent. On peut notamment l’appliquer à une couple de matrices carrées de même taille, à coefficients dans un même corps
.
Il existe de nombreuses formules faisant intervenir les coefficients binomiaux. Quelques unes des plus importantes son détaillées dans cet article.
Les coefficients binomiaux généralisés sont définis, pour tout par :
BORNÉ
La notion de partie bornée est présentée ici dans par souci de simplicité. Son cadre naturel est celui des espaces métriques.
On dit qu’une partie de
est bornée lorsque :
Il est facile de voir que :
- l’intersection d’une famille de parties bornées est bornée.
- l’union d’une famille finie de parties bornées est bornée.
Parmi les parties bornées de on peut distinguer :
- les intervalles bornés. Ce sont ceux de l’une des formes suivantes :
- les parties fermées et bornées. Pour une telle partie
, on peut extraire de toute suite
à termes dans
une sous-suite convergente dont la limite appartient à
La réciproque est vraie : toute partie de
ayant cette propriété est fermée et bornée. En d’autres termes, les parties fermées et bornées de
sont exactement les parties compactes de
.
A l’intersection des deux catégories 1 et 2 ci-dessus, on trouve les segments (intervalles fermés et bornés).
Maintenant, si alors une application
est dite bornée lorsque
est une partie bornée au sens précédent. Cela signifie donc qu’il existe
tel que :