Lettre V
VALEUR ABSOLUE
La valeur absolue d’un nombre réel est notée
On peut la définir comme étant :
Il est utile de savoir que, pour tout :
Le résultat suivant est essentiel :
Inégalité triangulaire
Pour tout couple de nombres réels :
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f4b0c9cb2845ee5f3a5e6bd2f3d0d618_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com B](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-01939be7ab289b87d36819d286094b9a_l3.png)
Preuve (cliquer pour déplier / replier)
Il revient au même de comparer les carrés. Or d’une part :
![Rendered by QuickLaTeX.com AB\leqslant\left|AB\right|=\left|A\right|\thinspace\left|B\right|.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-763ea55ac17f03a5f1a18991a003a70d_l3.png)
Enfin, l’inégalité triangulaire est une égalité lorsque
![Rendered by QuickLaTeX.com AB=\left|AB\right|,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ae91312231634684b362771c10d90f80_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com AB\geqslant0,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-14a76fbda46776f0a48336cdadc0e4f2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f4b0c9cb2845ee5f3a5e6bd2f3d0d618_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com B](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-01939be7ab289b87d36819d286094b9a_l3.png)
On pourra retrouver la preuve ci-dessus (mais pas seulement) dans cette vidéo, qui porte sur l’inégalité triangulaire dans les champs réel et complexe.
VANDERMONDE (formule sommatoire de)
Considérons deux ensembles de cardinaux respectifs
et notons
Etant donné un entier naturel tel que
combien existe-t-il de parties de
de cardinal
? Par définition des coefficients binomiaux, la réponse est naturellement :
Une partie de cardinal de
peut être considérée comme l’union d’une partie
de
et d’une partie
de
pourvu que la condition
soit respectée.
En notant l’ensemble des parties de
de cardinal
(où
désigne un ensemble fini et
un entier naturel), l’affirmation ci-dessus se traduit par :
()
![Rendered by QuickLaTeX.com \binom{\beta}{\alpha}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6aa6209c09766a08dcfb6d83df336d0d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha<0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2e8f1258bd19c3b7f0fc311aa8fb265f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha>\beta](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b160b45a372cc60897a0b4c67f85fc8d_l3.png)
()
Remarque 1
Pour et par symétrie des coefficients binomiaux, la formule
devient :
Remarque 2
La formule se généralise sous la forme :
Un peu trop abstrait ? Pas de problème, voici un exemple numérique qui pourra aider …
Choisissons
et
Les triplets
vérifiant :
![Rendered by QuickLaTeX.com 2002).](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4a334ddfc2d54401010b797acc7732c3_l3.png)
On pourra retrouver ici l’essentiel de cette courte note.
VANDERMONDE (matrice et déterminant de)
« La grande notoriété n’est assurée en Mathématiques qu’aux noms associés à une méthode, à un théorème, à une notation. Peu importe d’ailleurs que l’attribution soit fondée ou non, et le nom de Vandermonde serait ignoré de l’immense majorité des mathématiciens si on ne lui avait attribué ce déterminant que vous connaissez bien, et qui n’est pas de lui ! »
Henri LEBESGUE (conférence donnée à Utrecht, 1937)
Définition
Etant donnée une liste de scalaires, la matrice de Vandermonde associée à cette liste est :
On peut éventuellement définir comme étant la transposée de la matrice ci-desssus, ce qui ne change rien d’essentiel.
La principale propriété de cette matrice est qu’elle est inversible si, et seulement si, les sont deux à deux distincts. Ceci résulte de la :
Proposition
Le déterminant de la matrice est :
Preuve (cliquer pour déplier / replier)
Par récurrence sur Pour
c’est immédiat puisque :
![Rendered by QuickLaTeX.com n,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ed1a73b5351ea3dc7e390063d88c511_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\geqslant2](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-303feb9a9f7e31434b11733996f232d3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_{1},\cdots,x_{n+1}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a0d5c91f0a7df3dab9ee81a469cfb78a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n+1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2dec4b9612809e3f0cdbe67f1b12ee43_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com i](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f99161951e0e96eed63c91c940cb165e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com i=n+1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-01716bf837b4c6b2172abc758611cbc6_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com i=2,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-782b77be1649244ed5bedbda3ccc4c39_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_{1},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f55c8b5fac4062f5afbe26eef59765c0_l3.png)
Un exemple d’utilisation est donné dans cette vidéo où l’on prouve, par différentes méthodes, l’indépendance linéaire des fonctions pour