Lettre L
LINÉARISATION (trigonométrie)
En trigonométrie circulaire, linéariser une expression consiste à « faire disparaître » les produits de sinus et / ou de cosinus. Plus précisément, étant donnée une fonction trigonométrique il s’agit (lorsque c’est possible) d’obtenir une expression du type :
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![Rendered by QuickLaTeX.com \cos^{2}\left(x\right).](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-854c9e41c206eb3efb159454186cb338_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \cos^{2}\left(x\right)+\sin^{2}\left(x\right)=1,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-786c65bbc5153befd444e4a141a03875_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \sin^{2}\left(x\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb7e26fe4c96bee602dc908f64508d0e_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com \cos\left(x\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c88372e2ddd6a81830ed81d0230fe76b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \sin\left(x\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3994cf40ef78b411b7ae752025d1afbe_l3.png)
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Ajoutons pour terminer que ces formules de linéarisation (et d’autres, similaires) donnent accès, par exemple, au calcul de certaines intégrales. Ainsi, on peut vérifier que :
LIPSCHITZIENNE (application)
Définition
Considérons un intervalle non trivial de
et un réel
Une application est dite
lipschitzienne lorsque :
()
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![Rendered by QuickLaTeX.com k\geqslant0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0945a194b2be2ace86dc3ea1462e6ac3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4de78b071f57702a0dfd4345a28e8840_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k-](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-15adf0ac22fab9adc010197a54cee823_l3.png)
En notant le graphe de
, la condition
signifie que les pentes des cordes de
sont comprises entre
et
Autrement dit : une application est lipschitzienne lorsque l’ensemble des pentes de son graphe est majoré.
Proposition 1
Si est dérivable, alors :
Dans un sens, c’est une conséquence directe de la formule des accroissements finis. Dans l’autre, il suffit d’écrire que les taux d’accroissements sont bornés et de passer à la limite.
Attention : une application lipschitzienne n’a aucune raison d’être dérivable ! Penser par exemple à la valeur absolue, qui n’est pas dérivable en 0, mais qui est 1-lipschitzienne puisque (inégalité triangulaire) :
Proposition 2
Toute application lipschitzienne est uniformément continue.
C’est immédiat et la réciproque est fausse : l’application est uniformément continue mais non lipschitzienne.
Exemple 1
L’application n’est pas lipschitzienne puisqu’elle est dérivable et à dérivé non bornée. En effet, pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com n\in\mathbb{N}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40c78fca23fcd2c6858fe61d5e522aaa_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f'\left(\sqrt{2\pi n}\right)=+\infty.}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a649a97dfd75e05a2f5c49e6270aa0f4_l3.png)
Exemple 2
Etant données une application continue et une application lipschitzienne
posons pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com F](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6ac0241c2e7319cb42a4efe8e4bc0710_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(x,x'\right)\in\mathbb{R}^{2}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09ee5cc4577139a1f3c8631f6bebf363_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4de78b071f57702a0dfd4345a28e8840_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k\geqslant0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0945a194b2be2ace86dc3ea1462e6ac3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left|\varphi\left(a\right)-\varphi\left(b\right)\right|\leqslant k\left|a-b\right|](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a994fc90b2101b18214451faa7787e0a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0eae894b973be53b30b0193456a1a45e_l3.png)
Théorème (de Picard)
Soit est un intervalle fermé non trivial et soit
une application contractante (c’est-à-dire
lipschitzienne pour un certain
).
Alors possède un unique point fixe
. De plus, pour tout
, la suite définie par :
![Rendered by QuickLaTeX.com \lambda](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-48cc72bac4e271ae2cdb96178d5834aa_l3.png)
On peut généraliser en remplaçant l’intervalle fermé par un espace métrique complet. Une preuve de ce théorème est consultable dans cet article.