Lettre L

LIPSCHITZIENNE (application)

Définition

Considérons un intervalle non trivial I de \mathbb{R} et un réel k\geqslant0.

Une application f:I\rightarrow\mathbb{R} est dite \mathbf{k-}lipschitzienne lorsque :

(\star)   \[\forall\left(x,x'\right)\in I^{2},\thinspace\left|f\left(x\right)-f\left(x'\right)\right|\leqslant k\left|x-x'\right|\]

On dit que f est lipschitzienne, lorsqu’il existe k\geqslant0 tel que f soit k-lipschitzienne.

En notant \Gamma le graphe de f, la condition \left(\star\right) signifie que les pentes des cordes de \Gamma sont comprises entre -k et k. Autrement dit : une application est lipschitzienne lorsque l’ensemble des pentes de son graphe est majoré.

Proposition 1

Si f:I\rightarrow\mathbb{R} est dérivable, alors :

    \[f \text{ est lipschitzienne}\Leftrightarrow f'\text{ est bornée}\]

Dans un sens, c’est une conséquence directe de la formule des accroissements finis. Dans l’autre, il suffit d’écrire que les taux d’accroissements sont bornés et de passer à la limite.

Attention : une application lipschitzienne n’a aucune raison d’être dérivable ! Penser par exemple à la valeur absolue, qui n’est pas dérivable en 0, mais qui est 1-lipschitzienne puisque (inégalité triangulaire) :

    \[\forall\left(x,x'\right)\in\mathbb{R}^{2},\thinspace\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|\leqslant\left|x-y\right|\]

Proposition 2

Toute application lipschitzienne est uniformément continue.

C’est immédiat et la réciproque est fausse : l’application \left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\sqrt{x} est uniformément continue mais non lipschitzienne.

Exemple 1

L’application f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\sin\left(x^{2}\right) n’est pas lipschitzienne puisqu’elle est dérivable et à dérivé non bornée. En effet, pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[f'\left(x\right)=2x\cos\left(x^{2}\right)\]

En particulier, pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[f'\left(\sqrt{2\pi n}\right)=2\sqrt{2\pi n}\]

et donc {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f'\left(\sqrt{2\pi n}\right)=+\infty.}

Exemple 2

Etant données une application continue f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R} et une application lipschitzienne \varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, posons pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[F\left(x\right)=\int_{0}^{1}f\left(t\right)\varphi\left(xt\right)\thinspace dt\]

Alors F est lipschitzienne (donc continue). En effet, pour tout \left(x,x'\right)\in\mathbb{R}^{2} :

    \begin{eqnarray*}\left|F\left(x\right)-F\left(x'\right)\right| & = & \left|\int_{0}^{1}f\left(t\right)\left[\varphi\left(xt\right)-\varphi\left(x't\right)\right]\thinspace dt\right|\\ & \leqslant & \int_{0}^{1}\left|f\left(t\right)\right|\thinspace\left|\varphi\left(xt\right)-\varphi\left(x't\right)\right|\thinspace dt \end{eqnarray*}

Or, par hypothèse, f est bornée (car continue sur un segment) et il existe k\geqslant0 tel que \left|\varphi\left(a\right)-\varphi\left(b\right)\right|\leqslant k\left|a-b\right| pour tout \left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2}. De ce fait :

    \begin{eqnarray*}\left|F\left(x\right)-F\left(x'\right)\right| & \leqslant & \left\Vert f\right\Vert_{\infty}\int_{0}^{1}\thinspace\left|\varphi\left(xt\right)-\varphi\left(x't\right)\right|\thinspace dt\\& \leqslant & k\left\Vert f\right\Vert_{\infty}\left|x-x'\right|\int_{0}^{1}t\thinspace dt\\& = & K\left|x-x'\right|\end{eqnarray*}

où l’on a posé :

    \[K=\frac{k}{2}\thinspace\left\Vert f\right\Vert _{\infty}\]

Théorème (de Picard)

Soit I est un intervalle fermé non trivial et soit f:I\to I une application contractante (c’est-à-dire k-lipschitzienne pour un certain k\in\left[0,1\right[).

Alors f possède un unique point fixe \lambda. De plus, pour tout s\in I, la suite définie par :

    \[\left\{\begin{matrix}x_0=s & \\\forall n\in\mathbb{N} & x_{n+1}=f(x_n)\end{matrix}\right.\]

converge vers \lambda.

On peut généraliser en remplaçant l’intervalle fermé I par un espace métrique complet. Une preuve de ce théorème est consultable dans cet article.

Partager cet article
  •  
  •  
  •  
  •