Lettre L

LIPSCHITZIENNE (application)

Définition

Considérons un intervalle non trivial $I$ de $\mathbb{R}$ et un réel $k\geqslant0.$

Une application $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ est dite $\mathbf{k-}$ lipschitzienne lorsque :

( $\star$ ) $\forall\left(x,x'\right)\in I^{2},\thinspace\left|f\left(x\right)-f\left(x'\right)\right|\leqslant k\left|x-x'\right|$

On dit que $f$ est lipschitzienne, lorsqu’il existe $k\geqslant0$ tel que $f$ soit $k-$ lipschitzienne.

En notant $\Gamma$ le graphe de $f$ , la condition $\left(\star\right)$ signifie que les pentes des cordes de $\Gamma$ sont comprises entre $-k$ et $k.$ Autrement dit : une application est lipschitzienne lorsque l’ensemble des pentes de son graphe est majoré.

Proposition 1

Si $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ est dérivable, alors :

$f \text{ est lipschitzienne}\Leftrightarrow f'\text{ est bornée}$

Dans un sens, c’est une conséquence directe de la formule des accroissements finis. Dans l’autre, il suffit d’écrire que les taux d’accroissements sont bornés et de passer à la limite.

Attention : une application lipschitzienne n’a aucune raison d’être dérivable ! Penser par exemple à la valeur absolue, qui n’est pas dérivable en 0, mais qui est 1-lipschitzienne puisque (inégalité triangulaire) :

$\forall\left(x,x'\right)\in\mathbb{R}^{2},\thinspace\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|\leqslant\left|x-y\right|$

Proposition 2

Toute application lipschitzienne est uniformément continue.

C’est immédiat et la réciproque est fausse : l’application $\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\sqrt{x}$ est uniformément continue mais non lipschitzienne.

Exemple 1

L’application $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\sin\left(x^{2}\right)$ n’est pas lipschitzienne puisqu’elle est dérivable et à dérivé non bornée. En effet, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$f'\left(x\right)=2x\cos\left(x^{2}\right)$

En particulier, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$f'\left(\sqrt{2\pi n}\right)=2\sqrt{2\pi n}$

et donc $\lim_{n\rightarrow\infty}f'\left(\sqrt{2\pi n}\right)=+\infty.$

Exemple 2

Etant données une application continue $f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R}$ et une application lipschitzienne $\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},$ posons pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$F\left(x\right)=\int_{0}^{1}f\left(t\right)\varphi\left(xt\right)\thinspace dt$

Alors $F$ est lipschitzienne (donc continue). En effet, pour tout $\left(x,x'\right)\in\mathbb{R}^{2}$ :

$\begin{eqnarray*}\left|F\left(x\right)-F\left(x'\right)\right| & = & \left|\int_{0}^{1}f\left(t\right)\left[\varphi\left(xt\right)-\varphi\left(x't\right)\right]\thinspace dt\right|\\ & \leqslant & \int_{0}^{1}\left|f\left(t\right)\right|\thinspace\left|\varphi\left(xt\right)-\varphi\left(x't\right)\right|\thinspace dt \end{eqnarray*}$

Or, par hypothèse, $f$ est bornée (car continue sur un segment) et il existe $k\geqslant0$ tel que $\left|\varphi\left(a\right)-\varphi\left(b\right)\right|\leqslant k\left|a-b\right|$ pour tout $\left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2}.$ De ce fait :

$\begin{eqnarray*}\left|F\left(x\right)-F\left(x'\right)\right| & \leqslant & \left\Vert f\right\Vert_{\infty}\int_{0}^{1}\thinspace\left|\varphi\left(xt\right)-\varphi\left(x't\right)\right|\thinspace dt\\& \leqslant & k\left\Vert f\right\Vert_{\infty}\left|x-x'\right|\int_{0}^{1}t\thinspace dt\\& = & K\left|x-x'\right|\end{eqnarray*}$

où l’on a posé :

$K=\frac{k}{2}\thinspace\left\Vert f\right\Vert _{\infty}$

Théorème (de Picard)

Soit $I$ est un intervalle fermé non trivial et soit $f:I\to I$ une application contractante (c’est-à-dire $k-$ lipschitzienne pour un certain $k\in\left[0,1\right[$ ).

Alors $f$ possède un unique point fixe $\lambda$ . De plus, pour tout $s\in I$ , la suite définie par :

$\left\{\begin{matrix}x_0=s & \\\forall n\in\mathbb{N} & x_{n+1}=f(x_n)\end{matrix}\right.$

converge vers $\lambda$ .

On peut généraliser en remplaçant l’intervalle fermé $I$ par un espace métrique complet. Une preuve de ce théorème est consultable dans cet article.

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