Lettre U

UNIFORME (convergence)

Définitions & Vocabulaire

Etant donné un ensemble X, considérons :

  • une suite \left(f_{n}\right)_{n\geqslant0} d’applications de X dans \mathbb{C}
  • une application g:X\rightarrow\mathbb{C}
  • une partie non vide A de X

➣ On dit que la suite \left(f_{n}\right)_{n\geqslant0} converge uniformément sur A vers g lorsque :

    \[\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in A}\left|f_{n}\left(x\right)-g\left(x\right)\right|=0}\]

c’est-à-dire lorsque :

    \[\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N};\forall n\in\mathbb{N},\left(n\geqslant N\right)\Rightarrow\left(\forall x\in A,\thinspace\left|f_{n}\left(x\right)-g\left(x\right)\right|\leqslant\epsilon\right)\]

➣ On dit que la suite \left(f_{n}\right)_{n\geqslant0} converge simplement sur A vers g lorsque :

    \[\boxed{\forall x\in A,\thinspace\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)=g\left(x\right)}\]

Il est évident que si \left(f_{n}\right)_{n\geqslant0} converge uniformément sur A vers g, alors \left(f_{n}\right)_{n\geqslant0} converge simplement sur A vers g. La réciproque est fausse (voir ci-dessous).

On peut généraliser ces notions en remplaçant \mathbb{C} par un \mathbb{R} ou \mathbb{C}-espace vectoriel normé et les modules par des normes.

On peut essayer d’interpréter géométriquement la notion de convergence uniforme :

Illustration dynamique

On a représenté en rouge le graphe de :

    \[f_{n}:\left[0,a\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\frac{x^{2}}{4}+x^{n}\]

où le réel a varie dans \left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right].

Le graphe de g:\left[0,a\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\frac{x^{2}}{4} apparaît en bleu.

Le fuseau limité par les graphes de g-\epsilon et de g+\epsilon est représenté en vert.

La droite d’équation x=1 est dessinée en pointillés.

Les trois sliders permettent de choisir les valeurs de a, de \epsilon et de n.

Pour a<1 et pour \epsilon>0 fixé, on constate que, dès que n est assez grand, le graphe de f_{n} est entièrement compris dans le fuseau limité par les graphes de g-\epsilon et de g+\epsilon. Ceci illustre le fait que la suite \left(f_{n}\right)_{n\geqslant0} converge uniformément vers g.

Si a>1, la suite de terme général

    \[\sup_{x\in\left[0,a\right]}\left|f_{n}\left(x\right)-g\left(x\right)\right|=\sup_{x\in\left[0,a\right]}x^{n}=a^{n}\]

diverge vers +\infty. Enfin, si a=1, cette suite est constante (égale à 1).

En pratique, pour établir la convergence uniforme de \left(f_{n}\right) vers g sur A, il suffit de majorer (pour tout x\in A) l’écart \left|f_{n}\left(x\right)-g\left(x\right)\right| par une quantité indépendante de x et qui tend vers 0 lorsque n\rightarrow+\infty.

Exemple

La suite d’applications

    \[f_{n}:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\frac{nx^{2}}{1+nx}\]

converge uniformément sur \left[0,+\infty\right[ vers :

    \[g:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x\]

En effet, pour tout x\in\left[0,+\infty\right[ et pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \begin{eqnarray*}0\leqslant g\left(x\right)-f_{n}\left(x\right) & = & \frac{x}{1+nx}\leqslant\frac{1}{n}\end{eqnarray*}

La convergence simple n’implique pas la convergence uniforme.

Exemple

La suite d’applications

    \[f_{n}:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto nx^{n}\left(1-x\right)\]

converge simplement sur \left[0,1\right] vers l’application nulle, mais non uniformément car :

    \[\sup_{x\in\left[0,1\right]}nx^{n}\left(1-x\right)=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}\rightarrow\frac{1}{e}\]

Supposons désormais que I soit un intervalle de \mathbb{R} (de longueur non nulle) et que \left(f_{n}\right)_{n\geqslant0} soit une suite d’applications de I dans \mathbb{R}, qui converge simplement sur I vers g.

Si les f_{n} partagent une propriété commune, il est naturel de chercher à savoir si cette propriété est aussi vérifiée par g. C’est le cas pour :

  • la positivité,
  • la croissance,
  • la convexité.

Ce n’est pas le cas – en général – pour :

  • le caractère bornée,
  • la continuité en a\in I donné, la continuité tout court,
  • l’uniforme continuité.

Mais si la convergence est uniforme, alors g hérite de chacune des trois propriétés ci-dessus. En outre, on peut citer le :

Théorème

si I est un segment \left[a,b\right], si chaque f_{n} est continue et si la suite \left(f_{n}\right) converge uniformément vers g, alors (g est continue et) :

    \[\int_{a}^{b}g\left(t\right)\thinspace dt=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\left(t\right)\thinspace dt\]

Il existe aussi des propriétés qui ne passent pas à la limite uniforme. C’est le cas de la dérivabilité en un point donné de l’intervalle I.

Exemple

Pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} l’application

    \[\varphi_{n}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}\]

La suite \left(\varphi_{n}\right)_{n\geqslant1} converge uniformément sur \mathbb{R} vers x\mapsto\left|x\right|, qui n’est pas dérivable en 0 bien que chaque \varphi_{n} le soit (pour tout n\in\mathbb{N}^{\star}, \varphi_{n} est dérivable et même de classe C^{\infty}).

La convergence uniforme est justifiée par le fait que, pour tout x\in\mathbb{R} et pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \begin{eqnarray*}\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}-\left|x\right| & = & \frac{1}{n\left(\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}+\left|x\right|\right)}\\& \leqslant & \frac{1}{\sqrt{n}}\end{eqnarray*}

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