Exercices sur les coefficients binomiaux - 02

Exercices sur les coefficients binomiaux – 02

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:25 juillet 2023
Post category:Exercices

Neuf énoncés d’exercices sur les coefficients binomiaux (fiche 02)

Déterminer le coefficient de $a^{4}b^{3}c^{2}$ dans l’expression développée de $\left(a+2b-c\right)^{9}.$

Montrer que, pour tout entier $n\geqslant1,$ le coefficient binomial central $\binom{2n}{n}$ est pair.

Soient $n,k$ deux entiers tels que $1\leqslant k\leqslant n.$ Prouver que :

$\binom{n}{k}\geqslant\left(\frac{n}{k}\right)^{k}$

Etant donnés des entiers $n$ et $k$ tels que $n\geqslant1$ et $0\leqslant k<n,$ calculer plus simplement :

$\sum_{i=0}^{k}\left(-1\right)^{i}\binom{n}{i}$

Soit $p\in\mathbb{N}^{\star}.$ Calculer plus simplement la somme :

$\sum_{k=1}^{p}\left(-1\right)^{k}\left[\binom{2p}{k}-\binom{2p}{k-1}\right]$

Trouver un équivalent, lorsque $n\rightarrow\infty,$ du $n-$ ème coefficient binomial central $\binom{2n}{n}.$

Soient $p,q,r$ des entiers tels que $1\leqslant p<q<r.$ Montrer que :

$\binom{r}{q}\binom{q}{p}=\binom{r}{p}\binom{r-p}{q-p}$

On donnera deux preuves : l’une purement algébrique et l’autre purement combinatoire.

Quelle formule présente dans cet article ce résultat généralise-t-il ?

Pour tout entier $p\geqslant1,$ on pose :

$J_{p}=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin^{2p}\left(t\right)}{t^{2}}\thinspace dt$

Montrer que :

$J_{p}=\dfrac{\pi}{2^{2p-1}}\binom{2p-2}{p-1}$

Soit $E$ un ensemble fini et non vide. On note $n=\text{card}\left(E\right).$
On appelle chaîne toute liste $\left(C_{i}\right)_{0\leqslant i\leqslant n}$ de parties de $E$ qui est croissante (pour l’inclusion) et telle que $\forall i\in\left\llbracket 0,n\right\rrbracket ,\thinspace\text{card}\left(C{i}\right)=i.$
On appelle antichaîne toute partie de $\mathcal{P}\left(E\right)$ qui ne comporte aucune inclusion. Autrement dit, on dira que $\mathcal{A}=\left\{ A_{1},\cdots,A_{r}\right\} \subset\mathcal{P}\left(E\right)$ est une antichaîne lorsque :

$\forall\left(i,j\right)\in\left\llbracket 1,r\right\rrbracket ^{2},\:A_{i}\subset A_{j}\Rightarrow i=j$

Cet exercice vise à prouver que si $\mathcal{A}$ est une antichaîne, alors :

$\text{card}\left(\mathcal{A}\right)\leqslant\binom{n}{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }$

Combien existe-t-il de chaînes ? Parmi elles, combien comportent-elles une partie $X\subset E$ donnée ?
Montrer qu’il existe une antichaîne de cardinal $\dbinom{n}{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }.$
Soit une antichaîne. Pour tout on note le nombre d’éléments de qui sont de cardinal
1. Montrer que ${\displaystyle \sum_{k=0}^{n}q_{k}\thinspace k!\thinspace\left(n-k\right)!}\leqslant n!$
2. Conclure.