Lettre W

WALLIS (intégrales de)

Pour tout n\in\mathbb{N}, on définit la n-ème intégrale de Wallis par :

    \[\boxed{W_{n}=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}\left(t\right)\thinspace dt}\]

La suite \left(W_{n}\right)_{n\geqslant0} est décroissante et de limite nulle. Plus précisément :

    \[W_{n}\sim\sqrt{\frac{\pi}{2n}}\]

La relation de récurrence :

    \[\forall n\geqslant2,\thinspace n\thinspace W_{n}=\left(n-1\right)W_{n-2}\]

donne accès aux formules explicites suivantes, valables pour tout p\in\mathbb{N} :

    \[W_{2p}=\frac{\left(2p\right)!}{2^{2p+1}\left(p!\right)^{2}}\thinspace\pi\qquad W_{2p+1}=\frac{2^{2p}\left(p!\right)^{2}}{\left(2p+1\right)!}\]

La suite \left(W_{n}\right)_{n\geqslant0} intervient dans de nombreux contextes. Citons trois applications parmi les plus connues :

1 – Les intégrales de Wallis sont liées à la formule de Stirling, selon laquelle :

    \[ n!\sim\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\sqrt{2\pi n}\text{ lorsque }n\to+\infty\]

Pour les détails, voir cet article.

2 – Par un encadrement convenable de \displaystyle{\int_{0}^{\sqrt{n}}e^{-t^{2}}\thinspace dt} (pour n\in\mathbb{N}) au moyen d’intégrales de Wallis, on peut calculer explicitement l’intégrale de Gauss :

    \[\int_{0}^{+\infty}e^{-t^{2}}\thinspace dt=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\]

Pour les détails, voir l’exercice n° 6 de cette fiche.

3 – On peut démontrer que, pour tout n\geqslant1 :

    \[\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{2\,J_n}{W_{2n}}\]

où l’on a posé :

    \[J_n=\int_0^{\pi/2}t^2\cos^{2n}(t)\,dt\]

Il s’en suit un calcul (parmi tant d’autres …) de \zeta(2)\zeta désigne la fonction zeta de Riemann.

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