Lettre A

ACCROISSEMENT (taux d’)

Soient $I$ un intervalle non trivial, $f$ une application de $I$ dans $\mathbb{R}$ et $a,b\in I$ tels que $a<b.$

Le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est le réel :

$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

C’est la pente (coefficient directeur) de la droite $\Delta$ de $\mathbb{R}^{2}$ qui passe par $\left(a,f\left(a\right)\right)$ et $\left(b,f\left(b\right)\right).$

Le théorème des accroissements finis dit que si $f$ est dérivable alors il existe $c\in\left]a,b\right[$ tel que :

$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f'\left(c\right)$

On interprète géométriquement cette propriété en disant qu’il existe un point du graphe de $f$ en lequel la tangente est parallèle à $\Delta.$

Pour tout $a\in I$ fixé, on peut définir la “fonction pente” :

$p_{a}:I-\left\{ a\right\} \rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}$

Par définition, la dérivabilité de $f$ en $a$ équivaut à l’existence d’une limite finie pour $p_{a}$ en $a.$

Par ailleurs, la convexité de $f$ équivaut à la croissance de $p_{a},$ pour tout $a\in I.$

ADJACENTES (suites)

Deux suites réelles $a$ et $b$ sont dites adjacentes lorsque :

l’une est croissante,
l’autre est décroissante,
leur différence tend vers 0.

Proposition

Si les suites réelles $a,b$ sont adjacentes, alors elles convergent vers une même limite.

Pour tout réel $x,$ on peut construire un couple $\left(r,s\right)$ de suites adjacentes, à termes rationnels et dont la limite commune est $x.$

Une façon de faire consiste à poser, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$r_{n}=10^{-n}\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor \qquad\text{et}\qquad s_{n}=10^{-n}\left\lceil 10^{n}x\right\rceil$

Les symboles $\lfloor X\rfloor$ et $\lceil X\rceil$ désignent respectivement la partie entière par excès et la partie entière par défaut du réel $X$ (voir la définition). Par exemple, pour $x=\pi,$ les premiers termes de ces suites sont :

$\begin{eqnarray*} r_{0}=3 & ; & s_{0}=4\\ r_{1}=3,1 & ; & s_{1}=3,2\\ r_{2}=3,14 & ; & s_{2}=3,15\\ r_{3}=3,141 & ; & s_{3}=3,142\\ r_{4}=3,1415 & ; & s_{4}=3,1416 \end{eqnarray*}$

On démontre habituellement le théorème des segments emboîtés en considérant la suite $a$ des bornes inférieures, la suite $b$ des bornes supérieures et en observant qu’elles forment un couple de suites adjacentes.

Voici d’autres exemples d’une telle situation :

Exemple 1

Etant donnés $a,b$ tels que $0<b<a,$ on définit deux suites réelles $x$ et $y$ en posant $x_{0}=a,$ $y_{0}=b$ et :

$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\thinspace\left\{ \begin{array}{ccc}x_{n+1} & = & \frac{x_{n}+y_{n}}{2}\\\\y_{n+1} & = & \frac{2x_{n}y_{n}}{x_{n}+y_{n}}\end{array}\right.}$

On peut montrer que $\left(x,y\right)$ est un couple de suites adjacentes et que leur limite commune est $\sqrt{ab}.$

Il est intéressant de constater qu’à chaque étape, ce sont les moyennes arithmétique et harmonique de $\left(x_{n},y_{n}\right)$ qui sont calculées pour obtenir $\left(x_{n+1},y_{n+1}\right)$ ainsi qu’à la limite, on trouve la moyenne géométrique des deux premiers termes.

Voir aussi l’entrée MOYENNES du lexique, pour un exemple construit de façons similaire, mais nettement plus intéressant puisqu’il débouche sur la notion de moyenne arithmético-géométrique.

Exemple 2

Les suites $S$ et $T$ respectivement définies par :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\quad\text{et}\quad T_{n}=S_{n}+\frac{1}{n\thinspace n!}$

forment un couple de suites adjacentes. Leur limite commune est le nombre $e.$

Une preuve classique de l’irrationalité de $e$ repose d’ailleurs sur l’utilisation de ces deux suites. Voir ici.

ALEMBERT (règle de)

Proposition

Etant donnée une série $\sum u_{n}$ à termes strictement positifs, on suppose que la suite $\left(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right)_{n\geqslant0}$ converge et l’on note :

$L=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Si $L<1$ alors la série converge
Si $L>1,$ alors la série diverge grossièrement
Si $L=1,$ on ne peut pas conclure.

Ce résultat est connu sous le nom de règle de d’Alembert … en France, mais dans le reste du monde, on parle plutôt de ratio-test.

On prouve ce résultat en effectuant la comparaison avec une série géométrique.

Le troisième cas est parfois qualifié de “douteux” (puisqu’il n’est pas concluant). Ceci se justifie par le fait que les séries $\displaystyle{\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n}}$ et $\displaystyle{\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n^2}}$ sont respectivement divergente et convergente, mais conduisent toutes deux à $L=1$ .

Ajoutons qu’il est parfois possible de conclure, même si $L=1$ : si la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant0}$ est croissante, elle ne peut pas converger vers $0$ et la série est alors grossièrement divergente.

La règle de D’alembert ne donne que des conditions suffisantes ! Si $u_n>0$ pour tout $n$ et si la série $\sum u_n$ converge, il se peut que la suite $\left(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right)_{n\geqslant0}$ ne possède pas de limite ! C’est le cas lorsque :

$u_n=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{n^2} & \text{si }n\text{ est pair }\\ & \\ \frac{1}{n^3} & \text{sinon}\end{matrix}\right.$

Exemples

La série

$\boxed{\sum_{n\geqslant1}\frac{n!}{n^{n}}}$

converge puisqu’en notant $u_n$ son terme général :

$\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}\frac{1}{e}<1$

Pour la série

$\boxed{\sum_{n\geqslant0}\frac{\left(3n\right)!}{27^{n}\left(n!\right)^{3}}}$

le calcul donne :

$\begin{eqnarray*}\frac{u_{n+1}}{u_{n}} & = & \frac{\left(3n+3\right)\left(3n+2\right)\left(3n+1\right)}{27\left(n+1\right)^{3}}\\ & = & \frac{\left(3n+2\right)\left(3n+1\right)}{9\left(n+1\right)^{2}}\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}1 \end{eqnarray*}$

ce qui ne permet pas de conclure. Toutefois, si l’on connaît la formule de Stirling, on peut déterminer la nature de cette série. En effet :

$n!\sim\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\sqrt{2\pi n}$

et donc :

$u_{n}\sim\frac{\left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}\left(6\pi n\right)^{1/2}}{27^{n}\left(\frac{n}{e}\right)^{3n}\left(2\pi n\right)^{3/2}}=\frac{K}{n}$

où l’on a posé $K=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{3}{4}}.$ Ceci prouve la
divergence de la série proposée.

APPLICATION

Définition

Une application est un triplet $(E,F,\Gamma)$ , où $E,F$ sont des ensembles et $\Gamma$ une partie du produit cartésien $E\times F$ , tels que :

$\boxed{\forall x\in E,\,\exists !y\in F;\,(x,y)\in\Gamma}$

$E$ est l’ensemble de départ de l’application.

$F$ est l’ensemble d’arrivée de l’application.

$\Gamma$ est le graphe de l’application.

Pour chaque $x\in E$ , l’unique élément $y\in F$ pour lequel $(x,y)\in \Gamma$ est appelé l’image de $x$ par l’application.

Pour chaque $y\in F$ , les éventuels éléments $x\in E$ vérifiant $(x,y)\in\Gamma$ sont appelés les antécédents de $y$ par l’application. Il se peut qu’un élément ne possède :

aucun antécédent,
un seul antécédent,
plusieurs antécédents (voire une infinité).

Si l’application est notée $u$ , alors l’image de $x\in E$ est notée $u(x)$ .

On peut visualiser une application en dessinant des “patates” pour représenter les ensembles de départ et d’arrivée. Chaque couple $(x,y)$ appartenant au graphe est alors représenté par une flèche issue de $x$ et qui aboutit en $y$ :

Notation usuelle :

$u:X\to Y,x\mapsto u(x)$

Exemples

Voici quelques applications …

$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N},\,n\mapsto n^2$

$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\,x\mapsto e^x-x-1$

$h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2,\,t\mapsto(\cos(t),\sin(t))$

$\varphi:\mathcal{P}(\mathbb{N})\to[0,2],A\mapsto\sum_{n=0}^\infty\frac{\mathds{1}_A(n)}{2^n}$

Dans ce dernier exemple, $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ désigne l’ensemble des parties de $\mathbb{N}$ et $\mathds{1}_A$ désigne la fonction indicatrice de la partie $A$ .

ASSOCIATIVITÉ

Une opération $\star$ sur un ensemble $E$ est dite associative lorsque :

$\forall(a,b,c)\in E^3,\,\left(a\star b\right)\star c=a\star\left(b\star c\right)$

Il n’y a alors plus besoin de parenthèses : on peut noter $a\star b\star c$ sans que ceci ne soulève d’ambiguïté.

On peut aussi définir les itérés d’un élément $x\in E$ en posant :

$\begin{eqnarray*}x^1 & = & x\\x^{n+1} & = & x \star x^{n}\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}^\star\end{eqnarray*}$

Un ensemble muni d’une opération associative est appelé un semi-groupe. S’il existe en outre un élément neutre $e$ , on parle de monoïde et la définition ci-dessus est prolongée en posant $x^0=e$ .

Pour en savoir plus sur l’associativité, on pourra consulter cet article.

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