Lettre A
ACCROISSEMENT (taux d’)
Soient un intervalle non trivial,
une application de
dans
et
tels que
Le taux d’accroissement de entre
et
est le réel :
Le théorème des accroissements finis dit que si est dérivable alors il existe
tel que :

Pour tout fixé, on peut définir la “fonction pente” :
Par définition, la dérivabilité de en
équivaut à l’existence d’une limite finie pour
en
Par ailleurs, la convexité de équivaut à la croissance de
pour tout
ADJACENTES (suites)
Deux suites réelles et
sont dites adjacentes lorsque :
- l’une est croissante,
- l’autre est décroissante,
- leur différence tend vers 0.
Proposition
Si les suites réelles sont adjacentes, alors elles convergent vers une même limite.
Pour tout réel on peut construire un couple
de suites adjacentes, à termes rationnels et dont la limite commune est
Une façon de faire consiste à poser, pour tout :
On démontre habituellement le théorème des segments emboîtés en considérant la suite des bornes inférieures, la suite
des bornes supérieures et en observant qu’elles forment un couple de suites adjacentes.
Voici d’autres exemples d’une telle situation :
Exemple 1
Etant donnés tels que
on définit deux suites réelles
et
en posant
et :
Il est intéressant de constater qu’à chaque étape, ce sont les moyennes arithmétique et harmonique de qui sont calculées pour obtenir
ainsi qu’à la limite, on trouve la moyenne géométrique des deux premiers termes.
Voir aussi l’entrée MOYENNES du lexique, pour un exemple construit de façons similaire, mais nettement plus intéressant puisqu’il débouche sur la notion de moyenne arithmético-géométrique.
Exemple 2
Les suites et
respectivement définies par :
Une preuve classique de l’irrationalité de repose d’ailleurs sur l’utilisation de ces deux suites. Voir ici.
APPLICATION
Définition
Une application est un triplet , où
sont des ensembles et
une partie du produit cartésien
, tels que :
est l’ensemble de départ de l’application.
est l’ensemble d’arrivée de l’application.
est le graphe de l’application.
Pour chaque , l’unique élément
pour lequel
est appelé l’image de
par l’application.
Pour chaque , les éventuels éléments
vérifiant
sont appelés les antécédents de
par l’application. Il se peut qu’un élément ne possède :
- aucun antécédent,
- un seul antécédent,
- plusieurs antécédents (voire une infinité).
Si l’application est notée , alors l’image de
est notée
.
On peut visualiser une application en dessinant des “patates” pour représenter les ensembles de départ et d’arrivée. Chaque couple appartenant au graphe est alors représenté par une flèche issue de
et qui aboutit en
:

Notation usuelle :
Exemples
Voici quelques applications …
Dans ce dernier exemple, désigne l’ensemble des parties de
et
désigne la fonction indicatrice de la partie
.
ASSOCIATIVITÉ
Une opération sur un ensemble
est dite associative lorsque :
Il n’y a alors plus besoin de parenthèses : on peut noter sans que ceci ne soulève d’ambiguïté.
On peut aussi définir les itérés d’un élément en posant :
Un ensemble muni d’une opération associative est appelé un semi-groupe. S’il existe en outre un élément neutre , on parle de monoïde et la définition ci-dessus est prolongée en posant
.
Pour en savoir plus sur l’associativité, on pourra consulter cet article.