Lettre A

ACCROISSEMENT (taux d’)

Soient $I$ un intervalle non trivial, $f$ une application de $I$ dans $\mathbb{R}$ et $a,b\in I$ tels que $a<b.$

Le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est le réel :

$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

C’est la pente (coefficient directeur) de la droite $\Delta$

de $\mathbb{R}^{2}$

qui passe par $\left(a,f\left(a\right)\right)$

et $\left(b,f\left(b\right)\right).$

Le théorème des accroissements finis dit que si $f$ est dérivable alors il existe $c\in\left]a,b\right[$ tel que :

$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f'\left(c\right)$

On interprète géométriquement cette propriété en disant qu’il existe un point du graphe de $f$

en lequel la tangente est parallèle à $\Delta.$

Pour tout $a\in I$ fixé, on peut définir la “fonction pente” :

$p_{a}:I-\left\{ a\right\} \rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}$

Par définition, la dérivabilité de $f$ en $a$ équivaut à l’existence d’une limite finie pour $p_{a}$ en $a.$

Par ailleurs, la convexité de $f$ équivaut à la croissance de $p_{a},$ pour tout $a\in I.$

ADJACENTES (suites)

Deux suites réelles $a$ et $b$ sont dites adjacentes lorsque :

l’une est croissante,
l’autre est décroissante,
leur différence tend vers 0.

Proposition

Si les suites réelles $a,b$ sont adjacentes, alors elles convergent vers une même limite.

Pour tout réel $x,$ on peut construire un couple $\left(r,s\right)$ de suites adjacentes, à termes rationnels et dont la limite commune est $x.$

Une façon de faire consiste à poser, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$r_{n}=10^{-n}\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor \qquad\text{et}\qquad s_{n}=10^{-n}\left\lceil 10^{n}x\right\rceil$

Les symboles $\lfloor X\rfloor$

et $\lceil X\rceil$

désignent respectivement la partie entière par excès et la partie entière par défaut du réel $X$

(voir la définition). Par exemple, pour $x=\pi,$

les premiers termes de ces suites sont :

$\begin{eqnarray*} r_{0}=3 & ; & s_{0}=4\\ r_{1}=3,1 & ; & s_{1}=3,2\\ r_{2}=3,14 & ; & s_{2}=3,15\\ r_{3}=3,141 & ; & s_{3}=3,142\\ r_{4}=3,1415 & ; & s_{4}=3,1416 \end{eqnarray*}$

On démontre habituellement le théorème des segments emboîtés en considérant la suite $a$ des bornes inférieures, la suite $b$ des bornes supérieures et en observant qu’elles forment un couple de suites adjacentes.

Voici d’autres exemples d’une telle situation :

Exemple 1

Etant donnés $a,b$ tels que $0<b<a,$ on définit deux suites réelles $x$ et $y$ en posant $x_{0}=a,$ $y_{0}=b$ et :

$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\thinspace\left\{ \begin{array}{ccc}x_{n+1} & = & \frac{x_{n}+y_{n}}{2}\\\\y_{n+1} & = & \frac{2x_{n}y_{n}}{x_{n}+y_{n}}\end{array}\right.}$

On peut montrer que $\left(x,y\right)$

est un couple de suites adjacentes et que leur limite commune est $\sqrt{ab}.$

Il est intéressant de constater qu’à chaque étape, ce sont les moyennes arithmétique et harmonique de $\left(x_{n},y_{n}\right)$ qui sont calculées pour obtenir $\left(x_{n+1},y_{n+1}\right)$ ainsi qu’à la limite, on trouve la moyenne géométrique des deux premiers termes.

Voir aussi l’entrée MOYENNES du lexique, pour un exemple construit de façons similaire, mais nettement plus intéressant puisqu’il débouche sur la notion de moyenne arithmético-géométrique.

Deux suites réelles $a$ et $b$ sont dites adjacentes lorsque :

l’une est croissante,
l’autre est décroissante,
leur différence tend vers 0.

Proposition

Si les suites réelles $a,b$ sont adjacentes, alors elles convergent vers une même limite.

Pour tout réel $x,$ on peut construire un couple $\left(r,s\right)$ de suites adjacentes, à termes rationnels et dont la limite commune est $x.$

Une façon de faire consiste à poser, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$r_{n}=10^{-n}\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor \qquad\text{et}\qquad s_{n}=10^{-n}\left\lceil 10^{n}x\right\rceil$

Les symboles $\lfloor X\rfloor$

et $\lceil X\rceil$

désignent respectivement la partie entière par excès et la partie entière par défaut du réel $X$

(voir la définition). Par exemple, pour $x=\pi,$

les premiers termes de ces suites sont :

$\begin{eqnarray*} r_{0}=3 & ; & s_{0}=4\\ r_{1}=3,1 & ; & s_{1}=3,2\\ r_{2}=3,14 & ; & s_{2}=3,15\\ r_{3}=3,141 & ; & s_{3}=3,142\\ r_{4}=3,1415 & ; & s_{4}=3,1416 \end{eqnarray*}$

Voici d’autres exemples d’une telle situation :

Exemple 1

Etant donnés $a,b$ tels que $0<b<a,$ on définit deux suites réelles $x$ et $y$ en posant $x_{0}=a,$ $y_{0}=b$ et :

$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\thinspace\left\{ \begin{array}{ccc}x_{n+1} & = & \frac{x_{n}+y_{n}}{2}\\\\y_{n+1} & = & \frac{2x_{n}y_{n}}{x_{n}+y_{n}}\end{array}\right.}$

On peut montrer que $\left(x,y\right)$

est un couple de suites adjacentes et que leur limite commune est $\sqrt{ab}.$

Voir aussi l’entrée MOYENNES du lexique, pour un exemple construit de façons similaire, mais nettement plus intéressant puisqu’il débouche sur la notion de moyenne arithmético-géométrique.

Exemple 2

Les suites $S$ et $T$ respectivement définies par :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\quad\text{et}\quad T_{n}=S_{n}+\frac{1}{n\thinspace n!}$

forment un couple de suites adjacentes. Leur limite commune est le nombre $e.$

Une preuve classique de l’irrationalité de $e$ repose d’ailleurs sur l’utilisation de ces deux suites. Voir ici.

ADJOINT (endomorphisme)

Etant donnés un espace vectoriel réel $E$ muni d’un produit scalaire et un endomorphisme $u\in\mathcal{L}\left(E\right),$ on s’intéresse aux endomorphismes $v\in\mathcal{L}\left(E\right)$ pour lesquels :

$\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace\left(u\left(x\right)\mid y\right)=\left(x\mid v\left(y\right)\right)$

Il existe au plus un tel endomorphisme $v.$ En effet, si $v$ et $v'$ conviennent, alors :

$\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace\left(x\mid v'\left(y\right)-v\left(y\right)\right)=0$

ce qui impose $v'\left(y\right)-v\left(y\right)=0_{E}$

pour tout $y\in E$

et donc $v=v'.$

L’existence de $v$ n’est pas assurée en général : voir le dernier exercice de cette fiche.

En revanche, si $E$ est de dimension finie (ce qu’on suppose désormais), alors il existe un (et donc un seul) tel endomorphisme $v.$ C’est l’endomorphisme adjoint de $u,$ habituellement noté $u^{\star}.$ La proposition suivante rassemble quelques unes des principales propriétés de l’application $\mathcal{L}\left(E\right)\rightarrow\mathcal{L}\left(E\right),\thinspace u\mapsto u^{\star},$ appelée adjonction :

Proposition

L’adjonction est un automorphisme involutif de $\mathcal{L}\left(E\right),$ ce qui signifie que :

$\forall\lambda\in\mathbb{R},\thinspace\forall\left(f,g\right)\in\mathcal{L}\left(E\right)^{2},\thinspace\left(\lambda f+g\right)^{\star}=\lambda f^{\star}+g^{\star}$

$\forall f\in\mathcal{L}\left(E\right),\thinspace\left(f^{\star}\right)^{\star}=f$

En outre, pour tout couple $\left(f,g\right)\in\mathcal{L}\left(E\right)^{2}$ : $\left(g\circ f\right)^{\star}=f^{\star}\circ g^{\star}.$

Si $\beta$ est une base orthonormale de $E,$ alors les matrices dans $\beta$ de $f\in\mathcal{L}\left(E\right)$ et de son adjoint sont transposées l’une de l’autre. En conséquence, $f$ et $f^{\star}$ ont le même rang.

Le noyau de $f^{\star}$ et l’image de $f$ sont supplémentaires orthogonaux.

La notion d’adjoint permet d’introduire de manière synthétique certaines catégories importantes d’endomorphismes d’un espace euclidien. Notamment :

les endomorphismes symétriques (ou : auto-adjoints) : ce sont les $u\in\mathcal{L}\left(E\right)$ tels que $u^{\star}=u.$
les endomorphismes antisymétriques : ce sont les $u\in\mathcal{L}\left(E\right)$ tels que $u^{\star}=-u.$
les automorphismes orthogonaux : ce sont les $u\in\mathcal{L}\left(E\right)$ tels que $u^{\star}\circ u=id_{E}.$

ALEMBERT (règle de d’)

Proposition

Etant donnée une série $\sum u_{n}$ à termes strictement positifs, on suppose que la suite $\left(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right)_{n\geqslant0}$ converge et l’on note :

$L=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Si $L<1$ alors la série converge
Si $L>1,$ alors la série diverge grossièrement
Si $L=1$ ou si la suite $\left(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right)_{n\geqslant0}$ ne possède pas de limite, on ne peut pas conclure.

Ce résultat est connu sous le nom de règle de d’Alembert … en France, mais dans le reste du monde, on parle plutôt de ratio test. On le démontre en effectuant la comparaison avec une série géométrique.

Le troisième cas est parfois qualifié de “douteux” (puisqu’il n’est pas concluant). Ceci se justifie par le fait que les séries $\displaystyle{\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n}}$ et $\displaystyle{\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n^2}}$ sont respectivement divergente et convergente, mais conduisent toutes les deux à $L=1$ .

Ajoutons qu’il est parfois possible de conclure, même si $L=1$ : si la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant0}$ est croissante, elle ne peut pas converger vers $0$ et la série est alors grossièrement divergente.

La règle de d’Alembert ne donne que des conditions suffisantes ! Si $u_n>0$ pour tout $n$ et si la série $\sum u_n$ converge, il se peut que la suite $\displaystyle{\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)_{n\geqslant0}}$ ne possède pas de limite. C’est le cas lorsque :

$u_n=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{n^2} & \text{si }n\text{ est pair}\\ \\ \frac{1}{n^3} & \text{sinon}\end{matrix}\right.$

Exemples

La série

$\boxed{\sum_{n\geqslant1}\frac{n!}{n^{n}}}$

converge puisqu’en notant $u_n$

son terme général :

$\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}\frac{1}{e}<1$

Pour la série

$\boxed{\sum_{n\geqslant0}\frac{\left(3n\right)!}{27^{n}\left(n!\right)^{3}}}$

le calcul donne :

$\begin{eqnarray*}\frac{u_{n+1}}{u_{n}} & = & \frac{\left(3n+3\right)\left(3n+2\right)\left(3n+1\right)}{27\left(n+1\right)^{3}}\\& = & \frac{\left(3n+2\right)\left(3n+1\right)}{9\left(n+1\right)^{2}}\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}1\end{eqnarray*}$

ce qui ne permet pas de conclure. Toutefois, si l’on connaît la formule de Stirling, on peut déterminer la nature de cette série. En effet :

$n!\sim\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\sqrt{2\pi n}$

et donc :

$u_{n}\sim\frac{\left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}\left(6\pi n\right)^{1/2}}{27^{n}\left(\frac{n}{e}\right)^{3n}\left(2\pi n\right)^{3/2}}=\frac{K}{n}$

où l’on a posé $K=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{3}{4}}.$

Ceci prouve la divergence de la série proposée.

ALGÉBRIQUEMENT CLOS (corps)

Un corps $\mathbb{K}$ est dit algébriquement clos lorsque tout polynôme $P\in\mathbb{K}\left[X\right]$ non constant est scindé dans $\mathbb{K}\left[X\right].$

Pour que cette condition soit vérifiée, il suffit que tout polynôme $P\in\mathbb{K}\left[X\right]$ non constant possède au moins une racine dans $\mathbb{K}$ (en factorisant par $X-\alpha,$ où $\alpha$ désigne cette racine, on est ramené à un polynôme de degré moindre et une simple récurrence fait le reste). L’implication réciproque est triviale.

L’archétype de corps algébriquement clos est le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes. Ce résultat constitue le théorème fondamental de l’algèbre. Il a été conjecturé par d’Alembert (qui en a produit une preuve incorrecte) puis démontré par Gauss, de plusieurs façons.

Proposition

Tout corps algébriquement clos est nécessairement infini.

Preuve (cliquer pour déplier / replier)

Par l’absurde. Supposons que $\mathbb{K}$ soit un corps fini algébriquement clos. Notons $a_{1},\cdots,a_{n}$ (avec $n\geqslant2)$ ses éléments (parmi lesquels se trouve 1, l’élément neutre multiplicatif de $\mathbb{K})$ et considérons le polynôme :

$P=1+\prod_{k=1}^{n}\left(X-a_{k}\right)$

Ce polynôme est non constant et ne possède aucune racine dans $\mathbb{K}$

: contradiction !

On peut montrer que tout corps $\mathbb{K}$ possède une clôture algébrique, c’est-à-dire qu’il existe une extension algébrique $\mathbb{L}$ de $\mathbb{K},$ qui soit un corps algébriquement clos. Ce résultat constitue le théorème de Steinitz.

ANTÉCÉDENTS

Considérons deux ensembles $E,F$ et une application $u:E\rightarrow F.$

Conventionnellement, $E$ est appelé l’ensemble de départ de $u$ et $F$ est appelé l’ensemble d’arrivée de $u.$ Chaque élément de $x$ de $E$ possède une image par $u$ et une seule : il s’agit d’un élément de $F,$ noté $u\left(x\right).$

A l’inverse, un élément $y$ de $F$ n’est pas nécessairement l’image par $u$ d’un élément de $E.$ Il se peut aussi que $y$ soit l’image de plusieurs éléments de $E$ (voire, dans certains cas, d’une infinité).

Les éventuels éléments de $E$ dont $y$ est l’image par $u$ sont les antécédents de $y$ par $u.$

Si $B$ est une partie de $F,$ alors l’ensemble des antécédents des éléments de $B$ est l’image réciproque de $B$ par $u$ : il s’agit d’une partie de $E,$ notée $u^{-1}\left\langle B\right\rangle$ .

En particulier, l’ensemble des antécédents de $y\in F$ est noté $u^{-1}\left\langle\{y\}\right\rangle$ .

Exemple

Si $u:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x^{2}$ , alors :

-1 ne possède pas d’antécédent par $u$
0 en possède un seul (lui-même)
4 en possède deux : -2 et 2

Par ailleurs $u^{-1}\langle[-1,4]\rangle=[-2,2]$

A ce sujet, voir cet article.

APCR

On dit qu’une suite réelle $u$ vérifie une propriété $\mathcal{P}$ à partir d’un certain rang (APCR en abrégé) lorsqu’il existe un entier naturel $N$ tel que la suite tronquée $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant N}$ vérifie $\mathcal{P}.$

Trivialement, si une suite vérifie $\mathcal{P}$ alors elle vérifie $\mathcal{P}$ APCR, mais la réciproque est en général fausse.

Exemple 1

La suite définie par :

$u_{n}=\frac{\cos\left(n\right)}{n}+10^{-7}$

n’est pas positive (parce que $u_{40}\simeq-0.0166)$

mais elle converge vers $10^{-7}>0$

et donc elle est certainement positive APCR.

Exemple 2

La suite définie par :

$u_{n}=\left\{ \begin{array}{cc}\left(-1\right)^{n} & \text{si }n\leqslant10\\\\\frac{1}{n} & \text{sinon}\end{array}\right.$

n’est pas décroissante (parce que $u_{1}=-1<1=u_{2})$

mais elle est décroissante APCR.

Exemple 3

La suite définie par :

$u_{n}=\left\{ \begin{array}{cc}n^{2} & \text{si }n\leqslant10\\\\\left(-1\right)^{n} & \text{sinon}\end{array}\right.$

n’est pas périodique, mais elle est périodique (de période 2) APCR.
Certains préfère dire “ultimement périodique” pour exprimer la même idée.

Pour certaines propriétés, cette notion ne présente aucun intérêt. Ainsi, une suite bornée APCR est simplement une suite bornée. En effet, s’il existe $N\in\mathbb{N}$ et $A\in\mathbb{R}^{+}$ tels que :

$\forall n\geqslant N,\thinspace\left|u_{n}\right|\leqslant A$

alors, en posant :

$B=\max\left\{ \left|u_{0}\right|,\cdots,\left|u_{N-1}\right|,A\right\}$

on constate que :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace\left|u_{n}\right|\leqslant B$

De la même manière, la notion de suite convergente APCR est stérile.

APPLICATION

Définition

Une application est un triplet $(E,F,\Gamma)$ , où $E,F$ sont des ensembles et $\Gamma$ une partie du produit cartésien $E\times F$ , tels que :

$\boxed{\forall x\in E,\,\exists !y\in F;\,(x,y)\in\Gamma}$

$E$ est l’ensemble de départ de l’application.

$F$ est l’ensemble d’arrivée de l’application.

$\Gamma$ est le graphe de l’application.

Pour chaque $x\in E$ , l’unique élément $y\in F$ pour lequel $(x,y)\in \Gamma$ est appelé l’image de $x$ par l’application.

Pour chaque $y\in F$ , les éventuels éléments $x\in E$ vérifiant $(x,y)\in\Gamma$ sont appelés les antécédents de $y$ par l’application. Il se peut qu’un élément ne possède :

aucun antécédent,
un seul antécédent,
plusieurs antécédents (voire une infinité).

Si l’application est notée $u$ , alors l’image de $x\in E$ est notée $u(x)$ .

On peut visualiser une application en dessinant des “patates” pour représenter les ensembles de départ et d’arrivée. Chaque couple $(x,y)$ appartenant au graphe est alors représenté par une flèche issue de $x$ et qui aboutit en $y$ :

Notation usuelle :

$u:X\to Y,x\mapsto u(x)$

Définition

Une application est un triplet $(E,F,\Gamma)$ , où $E,F$ sont des ensembles et $\Gamma$ une partie du produit cartésien $E\times F$ , tels que :

$\boxed{\forall x\in E,\,\exists !y\in F;\,(x,y)\in\Gamma}$

$E$ est l’ensemble de départ de l’application.

$F$ est l’ensemble d’arrivée de l’application.

$\Gamma$ est le graphe de l’application.

Pour chaque $x\in E$ , l’unique élément $y\in F$ pour lequel $(x,y)\in \Gamma$ est appelé l’image de $x$ par l’application.

Pour chaque $y\in F$ , les éventuels éléments $x\in E$ vérifiant $(x,y)\in\Gamma$ sont appelés les antécédents de $y$ par l’application. Il se peut qu’un élément ne possède :

aucun antécédent,
un seul antécédent,
plusieurs antécédents (voire une infinité).

Si l’application est notée $u$ , alors l’image de $x\in E$ est notée $u(x)$ .

Notation usuelle :

$u:X\to Y,x\mapsto u(x)$

Exemples

Voici quelques applications …

$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N},\,n\mapsto n^2$

$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\,x\mapsto e^x-x-1$

$h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2,\,t\mapsto(\cos(t),\sin(t))$

$\varphi:\mathcal{P}(\mathbb{N})\to[0,2],A\mapsto\sum_{n=0}^\infty\frac{\mathds{1}_A(n)}{2^n}$

Dans ce dernier exemple, $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ désigne l’ensemble des parties de $\mathbb{N}$ et $\mathds{1}_A$ désigne la fonction indicatrice de la partie $A$ .

ASSOCIATIVITÉ

Une opération $\star$ sur un ensemble $E$ est dite associative lorsque :

$\forall(a,b,c)\in E^3,\,\left(a\star b\right)\star c=a\star\left(b\star c\right)$

Il n’y a alors plus besoin de parenthèses : on peut noter $a\star b\star c$ sans que ceci ne soulève d’ambiguïté.

On peut aussi définir les itérés d’un élément $x\in E$ en posant :

$\begin{eqnarray*}x^1 & = & x\\x^{n+1} & = & x \star x^{n}\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}^\star\end{eqnarray*}$

Un ensemble muni d’une opération associative est appelé un semi-groupe. S’il existe en outre un élément neutre $e$ , on parle de monoïde et la définition ci-dessus est prolongée en posant $x^0=e$ .

Pour en savoir plus sur l’associativité, on pourra consulter cet article.

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