Lettre D

DENSE (partie)

Définition

Soient E un espace vectoriel normé et soit A\subset E. On dit que A est dense dans E lorsque tout vecteur de E est la limite d’une suite convergente à termes dans A.

Remarque

Cette définition est présentée ainsi par souci de simplicité. Une version à la fois plus générale et plus officielle serait la suivante :

Soit X un espace topologique et soit A\subset X. On dit que A est dense dans X lorsque \overline{A}=X (le symbole \overline{A} désigne l’adhérence de A dans X).

Et si la topologie de X est métrisable (c’est-à-dire : s’il existe une distance d sur X qui induit sa topologie), alors cette condition équivaut à l’existence, pour tout x\in X, d’une suite \left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} à termes dans A qui converge vers x, c’est-à-dire telle que :

    \[ \lim_{n\rightarrow\infty}d\left(x,a_{n}\right)=0\]

C’est ce qui se passe pour un espace vectoriel normé, la distance étant celle induite par la norme :

    \[\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace d\left(x,y\right)=\left\Vert x-y\right\Vert\]

Exemple 1

Dans \mathbb{R} les parties suivantes sont denses :

  • l’ensemble \mathbb{Q} des rationnels
  • l’ensemble \mathbb{R}-\mathbb{Q} des irrationnels

Exemple 2

Dans \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right) les parties suivantes sont denses :

  • l’ensemble des matrice inversibles (qui est aussi un ouvert)
  • l’ensemble des matrices diagonalisables

L’un des intérêts de la notion de densité le suivant : pour démontrer une propriété donnée pour chaque élément d’un certain espace, il suffit parfois de l’établir pour les éléments d’une partie dense, puis de passer à la limite. Voici quelques illustrations de cette idée :

  • Si f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} est continue et si f\left(r\right)=0 pour tout r\in\mathbb{Q} alors f=0.
  • Si f\in\mathcal{C}\left(\left[0,1\right],\mathbb{R}\right) vérifie \int_{0}^{1}t^{n}f\left(t\right)\thinspace dt=0 pour tout n\in\mathbb{N} alors f=0. On peut voir (par linéarité) que \int_{0}^{1}P\left(t\right)f\left(t\right)\thinspace dt=0 pour toute fonction polynomiale P, puis raisonner par densité grâce au théorème d’approximation uniforme de Weierstrass.
  • Si A,B\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right) alors \text{com}\left(AB\right)=\text{com}\left(A\right)\text{com}\left(B\right). On peut d’abord le prouver pour les couples de matrices inversibles, puis utiliser la continuité de l’application \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)^{2}\rightarrow\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right),\thinspace\left(A,B\right)\mapsto\text{com}\left(AB\right)-\text{com}\left(A\right)\text{com}\left(B\right) et le fait que GL{n}\left(\mathbb{C}\right)^{2} est une partie dense de \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)^{2}.
  • Si A\in\mathcal{M}{n}\left(\mathbb{C}\right), alors \det\left(\exp\left(A\right)\right)=e^{\text{tr}\left(A\right)}. On peut prouver cela pour les matrices diagonalisables et utiliser ensuite la continuité du déterminant, de l’exponentielle (complexe et matricielle) et de la trace.

DIAGONALISABLE

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie et soit u\in\mathcal{L}\left(E\right).

Définition 1

u est dit diagonalisable lorsqu’il existe une base de E formée de vecteurs propres pour u. Dans une telle base, u est représenté par une matrice diagonale, d’où la terminologie.

Définition 2

Une matrice M\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right) est dite diagonalisable dans \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right) (précision indispensable ! voir exemple ci-dessous) lorsque l’endomorphisme de \mathbb{K}^{n} canoniquement associé à M est diagonalisable.

Ceci revient à dire qu’il existe un couple \left(P,\Delta\right)\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)^{2} tel que :

    \[P\text{ est inversible}\qquad\Delta\text{ est diagonale}\qquad P\Delta P^{-1}=M\]

Exemple

\left[\begin{array}{cc}0 & -1\\1 & 0\end{array}\right] est diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{C}\right) mais pas dans \mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right).

On note \text{sp}(u) le spectre de u et \chi_{u} son polynôme caractéristique.

Pour chaque valeur propre \lambda, on note :

  • d\left(\lambda\right) la dimension du sous-espace propre associé
  • m\left(\lambda\right) la multiplicité de \lambda en tant que racine de \chi_{u}

Théorème 1

u est diagonalisable si, et seulement si, \chi_{u} est scindé dans \mathbb{K}\left[X\right] et de plus :

    \[ \forall\lambda\in\text{sp}\left(u\right),\thinspace d\left(\lambda\right)=m\left(\lambda\right) \]

Corollaire

Si \chi_{u} est scindé dans \mathbb{K}\left[X\right] et à racines simples, alors u est diagonalisable.

Par exemple, l’endomorphisme de \mathbb{R}^{4} canoniquement associé à la matrice triangulaire

    \[A=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 2 & 1\\0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right]\]

est diagonalisable.

Autre exemple, moins immédiat : toute matrice A\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right) est la limite d’une suite de matrices diagonalisables dans \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right). Autrement dit, l’ensemble des matrices diagonalisables dans \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right) est une partie dense de \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right).

Attention : Le corollaire ci-dessus ne donne qu’une condition suffisante (et pas du tout nécessaire) de diagonalisation. Par exemple, une homothétie est évidemment diagonalisable et possède pourtant une valeur propre multiple (en dimension n\geqslant 2).

Théorème 2

u est diagonalisable si, et seulement s’il existe P\in\mathbb{K}\left[X\right], scindé dans \mathbb{K}\left[X\right] et à racines simples, tel que P\left(u\right)=0.

Par exemple : tout projecteur de E est diagonalisable puisqu’annulé par X^{2}-X; de même (en caractéristique différente de 2) toute symétrie de E est diagonalisable puisqu’annulée par X^{2}-1.

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