Lettre D
DENSE (partie)
Définition
Soient un espace vectoriel normé et soit
On dit que
est dense dans
lorsque tout vecteur de
est la limite d’une suite convergente à termes dans
Remarque
Cette définition est présentée ainsi par souci de simplicité. Une version à la fois plus générale et plus officielle serait la suivante :
Soit un espace topologique et soit
On dit que
est dense dans
lorsque
(le symbole
désigne l’adhérence de
dans
Et si la topologie de est métrisable (c’est-à-dire : s’il existe une distance
sur
qui induit sa topologie), alors cette condition équivaut à l’existence, pour tout
d’une suite
à termes dans
qui converge vers
c’est-à-dire telle que :
Exemple 1
Dans les parties suivantes sont denses :
- l’ensemble
des rationnels
- l’ensemble
des irrationnels
Exemple 2
Dans les parties suivantes sont denses :
- l’ensemble des matrice inversibles (qui est aussi un ouvert)
- l’ensemble des matrices diagonalisables
L’un des intérêts de la notion de densité le suivant : pour démontrer une propriété donnée pour chaque élément d’un certain espace, il suffit parfois de l’établir pour les éléments d’une partie dense, puis de passer à la limite. Voici quelques illustrations de cette idée :
- Si
est continue et si
pour tout
alors
- Si
vérifie
pour tout
alors
On peut voir (par linéarité) que
pour toute fonction polynomiale
puis raisonner par densité grâce au théorème d’approximation uniforme de Weierstrass.
- Si
alors
On peut d’abord le prouver pour les couples de matrices inversibles, puis utiliser la continuité de l’application
et le fait que
est une partie dense de
- Si
alors
On peut prouver cela pour les matrices diagonalisables et utiliser ensuite la continuité du déterminant, de l’exponentielle (complexe et matricielle) et de la trace.
DIAGONALISABLE
Soit un
espace vectoriel de dimension finie et soit
Définition 1
est dit diagonalisable lorsqu’il existe une base de
formée de vecteurs propres pour
Dans une telle base,
est représenté par une matrice diagonale, d’où la terminologie.
Définition 2
Une matrice est dite diagonalisable dans
(précision indispensable ! voir exemple ci-dessous) lorsque l’endomorphisme de
canoniquement associé à
est diagonalisable.
Ceci revient à dire qu’il existe un couple tel que :
Exemple
est diagonalisable dans
mais pas dans
On note le spectre de
et
son polynôme caractéristique.
Pour chaque valeur propre on note :
la dimension du sous-espace propre associé
la multiplicité de
en tant que racine de
Théorème 1
est diagonalisable si, et seulement si,
est scindé dans
et de plus :
Corollaire
Si est scindé dans
et à racines simples, alors
est diagonalisable.
Par exemple, l’endomorphisme de canoniquement associé à la matrice triangulaire
Autre exemple, moins immédiat : toute matrice est la limite d’une suite de matrices diagonalisables dans
. Autrement dit, l’ensemble des matrices diagonalisables dans
est une partie dense de
.

Attention : Le corollaire ci-dessus ne donne qu’une condition suffisante (et pas du tout nécessaire) de diagonalisation. Par exemple, une homothétie est évidemment diagonalisable et possède pourtant une valeur propre multiple (en dimension ).
Théorème 2
est diagonalisable si, et seulement s’il existe
scindé dans
et à racines simples, tel que
Par exemple : tout projecteur de est diagonalisable puisqu’annulé par
de même (en caractéristique différente de 2) toute symétrie de
est diagonalisable puisqu’annulée par