Lettre D

DENSE (partie)

Définition

Soient $E$ un espace vectoriel normé et soit $A\subset E.$ On dit que $A$ est dense dans $E$ lorsque tout vecteur de $E$ est la limite d’une suite convergente à termes dans $A.$

Remarque

Cette définition est présentée ainsi par souci de simplicité. Une version à la fois plus générale et plus officielle serait la suivante :

Soit $X$ un espace topologique et soit $A\subset X.$ On dit que $A$ est dense dans $X$ lorsque $\overline{A}=X$ (le symbole $\overline{A}$ désigne l’adhérence de $A$ dans $X).$

Si la topologie de $X$ est métrisable (c’est-à-dire : s’il existe une distance $d$ sur $X$ qui induit sa topologie), cette condition équivaut à l’existence, pour tout $x\in X,$ d’une suite $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ à termes dans $A$ qui converge vers $x,$ c’est-à-dire telle que :

$\lim_{n\rightarrow\infty}d\left(x,a_{n}\right)=0$

C’est ce qui se passe pour un espace vectoriel normé, la distance étant celle induite par la norme :

$\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace d\left(x,y\right)=\left\Vert x-y\right\Vert$

Plus généralement encore, toujours dans le cadre d’un espace topologique $X$ , étant données deux parties $A,B$ de $X$ telles que $A \subset B,$ on dit que $A$ est dense dans $B$ lorsque $B\subset\overline{A}$ . Attention : à moins de supposer que $B$ est un fermé de $X$ , il n’y a pas de raison que l’inclusion réciproque soit vraie.

Exemple 1

Dans $\mathbb{R}$ les parties suivantes sont denses :

l’ensemble $\mathbb{Q}$ des rationnels
l’ensemble $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ des irrationnels

Exemple 2

Dans $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ les parties suivantes sont denses :

l’ensemble des matrice inversibles (qui est aussi un ouvert)
l’ensemble des matrices diagonalisables

L’un des principaux intérêts de la notion de densité le suivant : pour démontrer une propriété donnée pour chaque élément d’un certain espace, il suffit parfois de l’établir pour les éléments d’une partie dense, puis de passer à la limite.

Voici quelques illustrations de cette idée :

Si $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ est continue et si $f\left(r\right)=0$ pour tout $r\in\mathbb{Q}$ alors $f=0.$
Si $f\in\mathcal{C}\left(\left[0,1\right],\mathbb{R}\right)$ vérifie $\int_{0}^{1}t^{n}f\left(t\right)\thinspace dt=0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ alors $f=0.$ On peut voir (par linéarité) que $\int_{0}^{1}P\left(t\right)f\left(t\right)\thinspace dt=0$ pour toute fonction polynomiale $P,$ puis raisonner par densité grâce au théorème d’approximation uniforme de Weierstrass.
Si $A,B\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ alors $\text{com}\left(AB\right)=\text{com}\left(A\right)\text{com}\left(B\right).$ On peut d’abord le prouver pour les couples de matrices inversibles, puis utiliser la continuité de l’application $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)^{2}\rightarrow\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right),\thinspace\left(A,B\right)\mapsto\text{com}\left(AB\right)-\text{com}\left(A\right)\text{com}\left(B\right)$ et le fait que $GL{n}\left(\mathbb{C}\right)^{2}$ est une partie dense de $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)^{2}.$
Si $A\in\mathcal{M}{n}\left(\mathbb{C}\right),$ alors $\det\left(\exp\left(A\right)\right)=e^{\text{tr}\left(A\right)}.$ On peut prouver cela pour les matrices diagonalisables et utiliser ensuite la continuité du déterminant, de l’exponentielle (complexe et matricielle) et de la trace.

DIAGONALISABLE

Soit $E$ un $\mathbb{K}-$ espace vectoriel de dimension finie et soit $u\in\mathcal{L}\left(E\right).$

Définition 1

$u$ est dit diagonalisable lorsqu’il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres pour $u.$ Dans une telle base, $u$ est représenté par une matrice diagonale, d’où la terminologie.

Définition 2

Une matrice $M\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)$ est dite diagonalisable dans $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)$ (précision indispensable ! voir exemple ci-dessous) lorsque l’endomorphisme de $\mathbb{K}^{n}$ canoniquement associé à $M$ est diagonalisable.

Ceci revient à dire qu’il existe un couple $\left(P,\Delta\right)\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)^{2}$ tel que :

$P\text{ est inversible}\qquad\Delta\text{ est diagonale}\qquad P\Delta P^{-1}=M$

Exemple

$\left[\begin{array}{cc}0 & -1\\1 & 0\end{array}\right]$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{C}\right)$ mais pas dans $\mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right).$

On note $\text{sp}(u)$ le spectre de $u$ et $\chi_{u}$ son polynôme caractéristique.

Pour chaque valeur propre $\lambda,$ on note :

$d\left(\lambda\right)$ la dimension du sous-espace propre associé
$m\left(\lambda\right)$ la multiplicité de $\lambda$ en tant que racine de $\chi_{u}$

Théorème 1

$u$ est diagonalisable si, et seulement si, $\chi_{u}$ est scindé dans $\mathbb{K}\left[X\right]$ et de plus :

$\forall\lambda\in\text{sp}\left(u\right),\thinspace d\left(\lambda\right)=m\left(\lambda\right)$

Corollaire

Si $\chi_{u}$ est scindé dans $\mathbb{K}\left[X\right]$ et à racines simples, alors $u$ est diagonalisable.

Par exemple, l’endomorphisme de $\mathbb{R}^{4}$ canoniquement associé à la matrice triangulaire

$A=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 2 & 1\\0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right]$

est diagonalisable.

Autre exemple, moins immédiat : toute matrice $A\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ est la limite d’une suite de matrices diagonalisables dans $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ . Autrement dit, l’ensemble des matrices diagonalisables dans $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ est une partie dense de $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ .

Attention : Le corollaire ci-dessus ne donne qu’une condition suffisante (et pas du tout nécessaire) de diagonalisation. Par exemple, une homothétie est évidemment diagonalisable et possède pourtant une valeur propre multiple (en dimension $n\geqslant 2$ ).

Théorème 2

$u$ est diagonalisable si, et seulement s’il existe $P\in\mathbb{K}\left[X\right],$ scindé dans $\mathbb{K}\left[X\right]$ et à racines simples, tel que $P\left(u\right)=0.$

Par exemple : tout projecteur de $E$ est diagonalisable puisqu’annulé par $X^{2}-X;$ de même (en caractéristique différente de 2) toute symétrie de $E$ est diagonalisable puisqu’annulée par $X^{2}-1.$

DISTANCE (à une partie)

Définition

Soient un espace vectoriel normé $E$ et une partie non vide $A\subset E$ .

Pour tout $x\in E$ , on note :

$d\left(x,A\right)=\inf\left\{ \left\Vert x-a\right\Vert ;\thinspace a\in A\right\}$

Ce réel positif ou nul est appelé la distance du vecteur $x$ à la partie $A.$

Remarque

Cette définition s’étend naturellement aux espaces métriques, en remplaçant $\left\Vert x-a\right\Vert$ par la distance entre $x$ et $a.$

Exemple 1

Dans $\mathbb{R},$ si $a<b$ , alors pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$d\left(x,\left]a,b\right[\right)=\left\{ \begin{array}{cc}a-x & \text{si }x < a\\0 & \text{si }a\leqslant x \leqslant b\\x-b & \text{si }x > b\end{array}\right.$

Exemple 2

Dans $\mathbb{R}^{2}$ muni de sa norme euclidienne, considérons $\left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2}$ et $r>0$ et notons $D$ le disque fermé de centre $\left(a,b\right)$ et de rayon $r.$ Alors, pour tout $\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2}$ , en notant :

$\rho=\sqrt{\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}}$

on a :

$d\left(\left(x,y\right),D\right)=\left\{ \begin{array}{cc}0 & \text{si }\rho\leqslant r\\\sqrt{\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}}-r & \text{sinon}\end{array}\right.$

Dans l’illustration ci-dessous, $A$ est l’union de trois ellipses.

Pour certains points, la distance à $A$ est atteinte une fois, pour d’autres deux fois. Il existe même deux points pour lesquelles elle est atteinte trois fois (on pourrait qualifier ces points de points triples) : l’un d’eux a été représenté; sauriez-vous localiser l’autre ?

Voici quelques résultats de base, à connaître …

1 – Vecteurs à distance nulle. D’une manière générale :

$d\left(x,A\right)=0\Leftrightarrow x\in\overline{A}$

où $\overline{A}$ désigne l’adhérence de $A.$

En particulier, si $A$ est fermé alors les vecteurs qui sont à distance nulle de $A$ sont exactement les éléments de $A.$

Sans cette hypothèse, il reste que $x\in A\Rightarrow d\left(x,A\right)=0$ mais l’implication réciproque est fausse. Par exemple, dans $\mathbb{R}$ :

$d\left(0,\left]0,1\right]\right)=0\quad\text{bien que } 0\notin\left]0,1\right]$

2 – Continuité. On peut montrer que l’application

$d_{A}:E\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto d\left(x,A\right)$

est 1-lipschitzienne, ce qui signifie que :

$\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace\left|d\left(x,A\right)-d\left(y,A\right)\right|\leqslant\left\Vert x-y\right\Vert$

Ceci montre notamment la continuité (et même l’uniforme continuité) de $d_{A}.$

On peut s’interroger sur la différentiabilité de $d_A$ , mais c’est une question plus délicate, qui fait intervenir les propriétés géométriques et topologiques de $A.$

3 – Distance atteinte. Si $K$ est un compact de $E$ alors (propriété générale d’une application continue sur un compact et à valeurs réelles), pour tout $x\in E,$ il existe $k\in K$ tel que :

$\left\Vert x-k\right\Vert =d\left(x,K\right)$

En général, le vecteur $k$ n’est pas unique : penser à un cercle $\Gamma$ du plan euclidien et son centre $\omega$ … la distance de $\omega$ à $\Gamma,$ qui est bien sûr égale au rayon, est atteinte une infinité de fois (en tout point de $\Gamma).$

Et sans hypothèse de compacité, l’existence d’un tel $k$ n’est pas assurée : considérer cette fois un disque ouvert $D$ de centre $\omega$ et de rayon $r>0,$ ainsi qu’un point $x$ extérieur à $D.$ Alors $d\left(x,D\right)=\left\Vert x-\omega\right\Vert -r$ et cette distance n’est pas atteinte.

4 – Projection orthogonale. Dans le cadre des espaces préhilbertiens, le théorème de la projection orthogonale donne des informations sur la distance d’un vecteur à un sous-espace de dimension finie (ou, plus généralement, à une partie non vide, convexe et complète). Voir cet article.

DUPLICATION (trigonométrie)

En trigonométrie circulaire, les formules :

(1) $\boxed{\sin\left(2\theta\right)=2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)}$

(2) $\boxed{\cos\left(2\theta\right)=\cos^{2}\left(\theta\right)-\sin^{2}\left(\theta\right)}$

sont appelées formules de duplication du sinus et du cosinus, respectivement. Elles sont valables pour tout $\theta\in\mathbb{R}$ . Elles doivent leur nom au fait qu’elles permettent de relier les lignes trigonométriques d’un angle à celles de l’angle double (ou de l’angle moitié, selon le point de vue …).

Grâce à la formule fondamentale $\cos^{2}\left(\theta\right)+\sin^{2}\left(\theta\right)=1,$ la relation $\left(2\right)$ peut encore s’écrire :

$\begin{eqnarray*}\cos\left(2\theta\right) & = & 2\cos^{2}\left(\theta\right)-1\end{eqnarray*}$

ou encore :

$\begin{eqnarray*}\cos\left(2\theta\right) & = & 1-2\sin^{2}\left(\theta\right)\end{eqnarray*}$

Ces deux dernières formules, peuvent à leur tour être ré-écrites comme des formules de linéarisation :

$\cos^{2}\left(\theta\right)=\frac{1+\cos\left(2\theta\right)}{2}$

$\sin^{2}\left(\theta\right)=\frac{1-\cos\left(2\theta\right)}{2}$

Par division membre de $\left(1\right)$ et $\left(2\right)$ on obtient la formule de duplication pour la fonction tangente :

$\tan\left(2\theta\right)=\frac{2\tan\left(\theta\right)}{1-\tan^{2}\left(\theta\right)}$

valable pour tout $\theta\in \mathbb{R}-D$ avec :

$D=\left\{ \frac{k\pi}{4};\thinspace k\in\mathbb{Z}\text{ et }k\equiv1,2\text{ ou }3\pmod{4}\right\}$

On a essentiellement la même chose en trigonométrie hyperbolique. En effet, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

(1′) $\boxed{\sinh\left(2x\right)=2\sinh\left(x\right)\cosh\left(x\right)}$

(2′) $\boxed{\cosh\left(2x\right)=\cosh^{2}\left(x\right)+\sinh^{2}\left(x\right)}$

Là encore, la formule fondamentale $\cosh^{2}\left(x\right)-\sinh^{2}\left(x\right)=1$ permet de reformuler $\left(2'\right)$ :

$\cosh\left(2x\right)=2\cosh^{2}\left(x\right)-1$

ou bien :

$\cosh\left(2x\right)=1+2\sinh^{2}\left(x\right)$

puis d’en tirer les formules de linéarisation :

$\cosh^{2}\left(x\right)=\frac{1+\cosh\left(2x\right)}{2}$

$\sinh^{2}\left(x\right)=\frac{\cosh\left(2x\right)-1}{2}$

Par division membre à membre de $\left(1'\right)$ et $\left(2'\right),$ on obtient la formule de duplication pour la tangente hyperbolique :

$\tanh\left(2x\right)=\frac{2\tanh\left(x\right)}{1+\tanh^{2}\left(x\right)}$

valable pour tout $x\in\mathbb{R}.$

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