Lettre D

DENSE (partie)

Définition

Soient $E$ un espace vectoriel normé et soit $A\subset E.$ On dit que $A$ est dense dans $E$ lorsque tout vecteur de $E$ est la limite d’une suite convergente à termes dans $A.$

Remarque

Cette définition est présentée ainsi par souci de simplicité. Une version à la fois plus générale et plus officielle serait la suivante :

Soit $X$ un espace topologique et soit $A\subset X.$ On dit que $A$ est dense dans $X$ lorsque $\overline{A}=X$ (le symbole $\overline{A}$ désigne l’adhérence de $A$ dans $X).$

Et si la topologie de $X$ est métrisable (c’est-à-dire : s’il existe une distance $d$ sur $X$ qui induit sa topologie), alors cette condition équivaut à l’existence, pour tout $x\in X,$ d’une suite $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ à termes dans $A$ qui converge vers $x,$ c’est-à-dire telle que :

$\lim_{n\rightarrow\infty}d\left(x,a_{n}\right)=0$

C’est ce qui se passe pour un espace vectoriel normé, la distance étant celle induite par la norme :

$\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace d\left(x,y\right)=\left\Vert x-y\right\Vert$

Exemple 1

Dans $\mathbb{R}$ les parties suivantes sont denses :

l’ensemble $\mathbb{Q}$ des rationnels
l’ensemble $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ des irrationnels

Exemple 2

Dans $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ les parties suivantes sont denses :

l’ensemble des matrice inversibles (qui est aussi un ouvert)
l’ensemble des matrices diagonalisables

L’un des intérêts de la notion de densité le suivant : pour démontrer une propriété donnée pour chaque élément d’un certain espace, il suffit parfois de l’établir pour les éléments d’une partie dense, puis de passer à la limite. Voici quelques illustrations de cette idée :

Si $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ est continue et si $f\left(r\right)=0$ pour tout $r\in\mathbb{Q}$ alors $f=0.$
Si $f\in\mathcal{C}\left(\left[0,1\right],\mathbb{R}\right)$ vérifie $\int_{0}^{1}t^{n}f\left(t\right)\thinspace dt=0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ alors $f=0.$ On peut voir (par linéarité) que $\int_{0}^{1}P\left(t\right)f\left(t\right)\thinspace dt=0$ pour toute fonction polynomiale $P,$ puis raisonner par densité grâce au théorème d’approximation uniforme de Weierstrass.
Si $A,B\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ alors $\text{com}\left(AB\right)=\text{com}\left(A\right)\text{com}\left(B\right).$ On peut d’abord le prouver pour les couples de matrices inversibles, puis utiliser la continuité de l’application $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)^{2}\rightarrow\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right),\thinspace\left(A,B\right)\mapsto\text{com}\left(AB\right)-\text{com}\left(A\right)\text{com}\left(B\right)$ et le fait que $GL{n}\left(\mathbb{C}\right)^{2}$ est une partie dense de $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)^{2}.$
Si $A\in\mathcal{M}{n}\left(\mathbb{C}\right),$ alors $\det\left(\exp\left(A\right)\right)=e^{\text{tr}\left(A\right)}.$ On peut prouver cela pour les matrices diagonalisables et utiliser ensuite la continuité du déterminant, de l’exponentielle (complexe et matricielle) et de la trace.

DIAGONALISABLE

Soit $E$ un $\mathbb{K}-$ espace vectoriel de dimension finie et soit $u\in\mathcal{L}\left(E\right).$

Définition 1

$u$ est dit diagonalisable lorsqu’il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres pour $u.$ Dans une telle base, $u$ est représenté par une matrice diagonale, d’où la terminologie.

Définition 2

Une matrice $M\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)$ est dite diagonalisable dans $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)$ (précision indispensable ! voir exemple ci-dessous) lorsque l’endomorphisme de $\mathbb{K}^{n}$ canoniquement associé à $M$ est diagonalisable.

Ceci revient à dire qu’il existe un couple $\left(P,\Delta\right)\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)^{2}$ tel que :

$P\text{ est inversible}\qquad\Delta\text{ est diagonale}\qquad P\Delta P^{-1}=M$

Exemple

$\left[\begin{array}{cc}0 & -1\\1 & 0\end{array}\right]$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{C}\right)$ mais pas dans $\mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right).$

On note $\text{sp}(u)$ le spectre de $u$ et $\chi_{u}$ son polynôme caractéristique.

Pour chaque valeur propre $\lambda,$ on note :

$d\left(\lambda\right)$ la dimension du sous-espace propre associé
$m\left(\lambda\right)$ la multiplicité de $\lambda$ en tant que racine de $\chi_{u}$

Théorème 1

$u$ est diagonalisable si, et seulement si, $\chi_{u}$ est scindé dans $\mathbb{K}\left[X\right]$ et de plus :

$\forall\lambda\in\text{sp}\left(u\right),\thinspace d\left(\lambda\right)=m\left(\lambda\right)$

Corollaire

Si $\chi_{u}$ est scindé dans $\mathbb{K}\left[X\right]$ et à racines simples, alors $u$ est diagonalisable.

Par exemple, l’endomorphisme de $\mathbb{R}^{4}$ canoniquement associé à la matrice triangulaire

$A=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 2 & 1\\0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right]$

est diagonalisable.

Autre exemple, moins immédiat : toute matrice $A\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ est la limite d’une suite de matrices diagonalisables dans $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ . Autrement dit, l’ensemble des matrices diagonalisables dans $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ est une partie dense de $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ .

Attention : Le corollaire ci-dessus ne donne qu’une condition suffisante (et pas du tout nécessaire) de diagonalisation. Par exemple, une homothétie est évidemment diagonalisable et possède pourtant une valeur propre multiple (en dimension $n\geqslant 2$ ).

Théorème 2

$u$ est diagonalisable si, et seulement s’il existe $P\in\mathbb{K}\left[X\right],$ scindé dans $\mathbb{K}\left[X\right]$ et à racines simples, tel que $P\left(u\right)=0.$

Par exemple : tout projecteur de $E$ est diagonalisable puisqu’annulé par $X^{2}-X;$ de même (en caractéristique différente de 2) toute symétrie de $E$ est diagonalisable puisqu’annulée par $X^{2}-1.$

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