![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2018/07/icone-Math-OS-Article-Superieur-205-205.png)
Etant donnés deux nombres réels strictement positifs, il est facile de prouver que leur moyenne géométrique
est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique
En effet :
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a44d662e2fcd865f31268b1147c8a4be_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_{1},\cdots,x_{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c666ec274c9dcb0ef73ce313ff0fc731_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\geqslant2)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ba565566481953b116df9e795e3c6211_l3.png)
Remarque
Les puissances avec exposant rationnel (et, en particulier, la notion de racine ème) sont étudiées à la section 5 de cet article, auquel on pourra se reporter si nécessaire.
Il sera parfois commode de noter, pour et
:
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a44d662e2fcd865f31268b1147c8a4be_l3.png)
1 – Preuve par convexité
Ce qui suit suppose connue la notion de fonction convexe.
L’inégalité de Jensen, appliquée à la fonction exponentielle, montre que :
![Rendered by QuickLaTeX.com n\geqslant2,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-296029041208b868e66a8f6cc2c33dc7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(z_{1},\cdots,z_{n}\right)\in\mathbb{R}^{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2d5f77d963a5b370b8f91080a517920f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(t_{1},\cdots,t_{n}\right)\in\left[0,1\right]^{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-367d0412be4bf6eda63c883858d51261_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}t_{i}=1}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a206fb214512aae078c3b660c85a0460_l3.png)
Maintenant, considérons des réels et choisissons, pour tout
:
2 – Preuve par homogénéité
On procède en deux étapes …
ETAPE 1
On prouve d’abord par récurrence la :
Proposition
Pour tout entier si
sont tels que
alors :
Initialisation () – Soient
tels que
Alors :
Hérédité – Supposons la propriété vraie au rang pour un certain
Soient alors
positifs, de somme
Il s’agit de montrer que :
![Rendered by QuickLaTeX.com x_{n+1}=1,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-36f3653883fb81461ff6e0d3c2f714fb_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \forall i\in\left\llbracket 1,n\right\rrbracket ,\thinspace x_{i}=0.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9f56dee23c5ac3697cb0b47d1da6f95e_l3.png)
()
()
![Rendered by QuickLaTeX.com \varphi_{n}:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R},\,t\mapsto t\left(1-t\right)^{n},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-558695f532201779244531b68e076c23_l3.png)
()
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(1\right),](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-845e6ad7054a0a7e8048fc0a494f8cd7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(2\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19591270790337320e8a2a7bb36d8790_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(3\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5b5369f3afbc01754f888bcfc41c8b0f_l3.png)
ETAPE 2
Considérons un entier et des réels
Pour montrer que :
- Si
c’est évident.
- Si
pour au moins un indice
alors en posant
et
pour tout
on voit que
et l’étape 1 s’applique. On obtient :
èmes.
3 – Preuve par récurrence directe
Remarque
La preuve qui suit fait aussi l’objet de l’exercice n° 9 cette fiche
Pour l’inégalité
est connue pour
Supposons que, pour un certain
on ait :
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{1},\cdots,a_{n}\in\left]0,+\infty\right[.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cc259182a68e6afbc26576c4a87615cc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{1},\cdots,a_{n+1}>0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9ceb0e88542ee111243354dc0bcbab27_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{i}=A](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-33fe0de2aaa8fc8f4a48bbe1d2df4112_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com i\in\left\llbracket 1,n+1\right\rrbracket](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4a3ed59a2bc14dbdce2bfb27cb739ab7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com G=A.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c4119b5152b55f7cfcd7a83e7947f04_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{i}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-563c5f127354335d6f64aa76fc4e3f03_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2c00cacd6762188f63a6b0087f13a39_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(A-a_{i}\right)\left(a_{j}-A\right)>0,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-538f90bdcfb1644494d709a809d1b6d9_l3.png)
()
![Rendered by QuickLaTeX.com i<j](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5bf10fc0f8167985a336af226d786e39_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n-](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b759835e581b50df1eb26a0f73ca5f5a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha\leqslant\beta](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eea089559448916e1978b6497e0994a2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\spadesuit\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-923bd321ed5a0b7e23e6d6db3448f5af_l3.png)
4 – La preuve de Cauchy
Dans son cours d’analyse algébrique, publié en 1821, Cauchy explique, entre autres, quelles sont les règles usuelles de manipulation des inégalités. Pour et
il prouve que :
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a44d662e2fcd865f31268b1147c8a4be_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 2](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88cdda846d3236a9b39fa4a7f5c3c2a2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\geqslant2](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-303feb9a9f7e31434b11733996f232d3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 2,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cd180f8cff43ce605e826c500a820e7b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-42907eb1105c88299912e9f673e9a6b3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 2^{k}>n,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4d452d95c079d3b09287e1fac6a08a4b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com S](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7b7c84da040bd16a50f5ba371b2c348f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{1},\cdots,a_{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6f3fcb91065e0fba09b68c2b25136eb9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 2^{k}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ff60571cf5addfcf63b01dc97d333c8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{1}+\cdots+a_{n}=nS,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c248c2b3a68ac65e9566480ac8481aad_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{1}\cdots a_{n}\leqslant S^{n},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-30c8b40ad98193d290a33e9ccee7a4fd_l3.png)
Détail : les cas des puissances de 2
Notons l’assertion suivante. Quels que soient
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathcal{A}_{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b7ae50b7d252a87f647b095922fa86ce_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\geqslant1.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09a63f0a250afc8eb6c1afc362624557_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathcal{A}_{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b7ae50b7d252a87f647b095922fa86ce_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\geqslant1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f7b4182cdcb25662bd6fa9413f61256_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{1},\cdots,a_{2^{n+1}}>0.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96c38cc7efafa1e2068366689713e4c9_l3.png)
5 – Et la moyenne harmonique ?
En dehors des moyennes arithmétique et géométrique, on définit usuellement la moyenne harmonique de Il s’agit du nombre dont l’inverse est la moyenne arithmétique des inverses. Autrement dit :
Proposition
Les moyenne arithmétique, géométrique et harmonique de vérifient :
Soit et soient
Nous savons (et nous avons prouvé de plusieurs façons) que :
Signalons une petite amusette au sujet de la moyenne harmonique : un type effectue un trajet aller-retour entre un lieu A et un lieu B. L’aller s’effectue à la vitesse constante et le retour s’effectue à la vitesse constante
Quelle est, sur l’ensemble du trajet, la vitesse moyenne
?
Si vous posez la question autour de vous, il y a des chances pour qu’on vous réponde :
Et c’est faux ! La réponse correcte est :
Explication …
Notons et
les temps mis pour effectuer respectivement l’aller et le retour. En notant
la distance entre A et B, on voit que :
6 – Un petit exo
Etant donnés quatre nombres réels positifs tels que
on demande de montrer que :
Voici deux façons de traiter cette question …
Solution 1
On sait que, pour tout :
![Rendered by QuickLaTeX.com ab+cd\geqslant2,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c80898e1f2ded1dfe0f313e09da7b321_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com ac+bd\geqslant2](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d62aa37a36e3dc5c76373ab1cdc8267c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com ad+bc\geqslant2.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6877a587a15f49f81a17ae7cd703afcb_l3.png)
Par ailleurs, et
d’où
![Rendered by QuickLaTeX.com a=b=c=d=1.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-31d1383901f126108d3a4a63f76578f0_l3.png)
Solution 2
On applique l’IGA :
7 – Application : l’inégalité de Carleman
On doit au mathématicien suédois Torsten Carleman (1892 – 1949) le résultat suivant :
Théorème
Pour toute série convergente à termes strictement positifs , la série de terme général
converge et :
![Rendered by QuickLaTeX.com e](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e0e8cb62c037c9c092735e0d66a033be_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2023/09/Carleman-831x1024.png)
Jolie majoration ! Et il n’est même pas évident que la série apparaissant au membre de gauche soit convergente … En effet, une idée naturelle pour justifier cette convergence serait d’invoquer le principe de comparaison pour les séries à termes positifs :
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a153917802379009a93090f0c40de47_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{S}{n},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-06158d09052a6dcadb433233dc43a7bc_l3.png)
On notera Considérons une suite
à termes strictement positifs. Pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com t_{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ddc2f0057f5a744c713bc6d79fb9473_l3.png)
On peut les choisir de telle sorte que :
![Rendered by QuickLaTeX.com t_{n}={\displaystyle \frac{\left(n+1\right)^{n}}{n^{n-1}}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e782443ea386cb8fea314e673ea775b5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\geqslant1.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09a63f0a250afc8eb6c1afc362624557_l3.png)
Remarque
En fait l’inégalité de Carleman est stricte. En effet : reprenons au ralenti ce qui vient de se passer …
La majoration précédente prouve que, pour tout :
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}G_{n}}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1aee6fd1d33342f8d3e56edffd6f9dad_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle e\thinspace\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-95f9369e24cffae23b524e9010e8fb69_l3.png)
Terminons avec l’optimalité du facteur Pour cela, considérons, pour tout
la série (harmonique tronquée) de terme général :
![Rendered by QuickLaTeX.com n\geqslant1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f7b4182cdcb25662bd6fa9413f61256_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\leqslant N,\,g_{n}={\displaystyle \frac{1}{\left(n!\right)^{1/n}}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2768cf77d779e32a80e0c810901a0d83_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com g_{n}=0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-17ef0a358675514c6561e71aabf8e053_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n>N).](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-670052290177d8254af99612fc204886_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com e](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e0e8cb62c037c9c092735e0d66a033be_l3.png)
Si cet article vous a plu, merci de laisser un petit commentaire 🙂
Précisons que le sujet est très loin d’avoir été épuisé. On pourrait par exemple parler de la moyenne arithmético-géométrique de deux réels
Il s’agit de la limite commune des suites
et
définies par :
![Rendered by QuickLaTeX.com n\in\mathbb{N}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40c78fca23fcd2c6858fe61d5e522aaa_l3.png)
(En revanche pas évidente à trouver sans indication l’inégalité de Carleman 😊 !)
Bonjour Monsieur,
Merci pour ce bel article 😊
Je trouve la preuve de Cauchy agréable, car élégante et donnant l’impression qu’elle peut se trouver seul, en un temps raisonnable, même après avoir oublié beaucoup de notions !
Dans la partie 3 après « Nécessairement : » c’est peut-être ai < A < aj à la place de aiA.
Dans la partie 7, à la fin de l’encadré bleu Remarque, le strictement s’affiche dans son code latex !
Bonne soirée à vous,
Fabrice
Merci beaucoup Fabrice, une fois de plus, pour votre retour.
J’ai mis à jour le texte de l’article.