Lettre E

EMBOITÉS (intervalles)

Si l’on considère une suite $\left(I_{k}\right)_{k\geqslant0}$ d’intervalles, décroissante pour l’inclusion (c’est-à-dire vérifiant $I_{k+1}\subset I_{k}$ pour tout $k\in\mathbb{N}),$ et si l’on intersecte tous les $I_{k},$ l’ensemble obtenu est un intervalle. Mais celui-ci peut être vide :

c’est le cas si, par exemple, $I_{k}=\left[k,+\infty\right[$ pour tout $k.$
c’est aussi le cas lorsque $I_{k}=\left]0,2^{-k}\right]$ pour tout $k.$

Dans le premier cas, les intervalles sont tous fermés. Dans le second, la longueur de $I_{k}$ tend vers 0. Mais aucune de ces conditions ne suffit pour empêcher l’intersection d’être vide.

Maintenant, combinons les deux hypothèses :

Théorème (des segments emboîtés) n° 1

Si $\left(I_{k}\right)_{k\geqslant0}$ est une suite de segments (intervalles fermés et bornés, non triviaux), décroissante pour l’inclusion et si la longueur de $I_{k}$ tend vers 0 lorsque $k$ tend vers l’infini, alors il existe un réel $\lambda$ tel que :

$\bigcap_{k=0}^{\infty}I_{k}=\left\{ \lambda\right\}$

Si l’on pose $I_{k}=\left[a_{k},b_{k}\right],$ alors les suites $a$ et $b$ sont adjacentes (la suite $a$ est croissante, la suite $b$ est décroissante et leur différence tend par hypothèse vers 0). Elles ont donc une limite commune $\lambda.$ Comme $a_{k}\leqslant\lambda\leqslant b_{k}$ pour tout $k,$ alors $\lambda$ appartient à l’intersection de tous les $I_{k}.$

Et si $\mu$ appartient à cette intersection, alors en passant à la limite dans l’encadrement $a_{k}\leqslant\mu\leqslant b_{k},$ on voit que $\mu=\lambda.$

Ce résultat se généralise : dans un espace métrique complet, pour toute suite décroissante de parties fermées, non vides et dont le diamètre tend vers 0, l’intersection est un singleton. Voir cet article.

En abandonnant la condition portant sur la longueur des $I_{k},$ on obtient le résultat suivant :

Théorème (des segments emboîtés) n° 2

Si $\left(I_{k}\right)_{k\geqslant0}$ est une suite de segments (intervalles fermés et bornés non triviaux), décroissante pour l’inclusion, alors :

$\bigcap_{k=0}^{\infty}I_{k}\text{ est un intervalle fermé, borné et \textbf{non vide}}$

Seul le caractère non vide de l’intersection mérite une explication.

On peut définir une suite $a$ en choisissant un terme $a_{k}$ dans $I_{k}$ et ceci pour tout $k\in\mathbb{N}.$

Cette suite est à termes dans $I_{0}$ donc est bornée. D’après Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite convergente $\left(a_{\varphi\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}.$ Notons $\lambda$ sa limite.

Pour tout $n\in\mathbb{N},$ la suite tronquée $\left(a_{\varphi\left(k\right)}\right)_{k\geqslant n}$ est à termes (dans $I_{\varphi\left(n\right)}$ donc) dans $I_{n}$ qui est fermé. Par conséquent $\lambda\in I_{n}.$ Ceci prouve que $\lambda$ appartient à l’intersection des $I_{n},$ qui est de ce fait non vide.

Là encore, le résultat se généralise : dans un espace métrique, l’intersection d’une suite décroissante de parties compactes non vides est non vide.

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