Lettre E

EMBOITÉS (intervalles)

Si l’on considère une suite \left(I_{k}\right)_{k\geqslant0} d’intervalles, décroissante pour l’inclusion (c’est-à-dire vérifiant I_{k+1}\subset I_{k} pour tout k\in\mathbb{N}), et si l’on intersecte tous les I_{k}, l’ensemble obtenu est un intervalle. Mais celui-ci peut être vide :

  • c’est le cas si, par exemple, I_{k}=\left[k,+\infty\right[ pour tout k.
  • c’est aussi le cas lorsque I_{k}=\left]0,2^{-k}\right] pour tout k.

Dans le premier cas, les intervalles sont tous fermés. Dans le second, la longueur de I_{k} tend vers 0. Mais aucune de ces conditions ne suffit pour empêcher l’intersection d’être vide.

Maintenant, combinons les deux hypothèses :

Théorème (des segments emboîtés) n° 1

Si \left(I_{k}\right)_{k\geqslant0} est une suite de segments (intervalles fermés et bornés, non triviaux), décroissante pour l’inclusion et si la longueur de I_{k} tend vers 0 lorsque k tend vers l’infini, alors il existe un réel \lambda tel que :

    \[\bigcap_{k=0}^{\infty}I_{k}=\left\{ \lambda\right\}\]

Si l’on pose I_{k}=\left[a_{k},b_{k}\right], alors les suites a et b sont adjacentes (la suite a est croissante, la suite b est décroissante et leur différence tend par hypothèse vers 0). Elles ont donc une limite commune \lambda. Comme a_{k}\leqslant\lambda\leqslant b_{k} pour tout k, alors \lambda appartient à l’intersection de tous les I_{k}.

Et si \mu appartient à cette intersection, alors en passant à la limite dans l’encadrement a_{k}\leqslant\mu\leqslant b_{k}, on voit que \mu=\lambda.

Ce résultat se généralise : dans un espace métrique complet, pour toute suite décroissante de parties fermées, non vides et dont le diamètre tend vers 0, l’intersection est un singleton. Voir cet article.

En abandonnant la condition portant sur la longueur des I_{k}, on obtient le résultat suivant :

Théorème (des segments emboîtés) n° 2

Si \left(I_{k}\right)_{k\geqslant0} est une suite de segments (intervalles fermés et bornés non triviaux), décroissante pour l’inclusion, alors :

    \[\bigcap_{k=0}^{\infty}I_{k}\text{ est un intervalle fermé, borné et \textbf{non vide}}\]

Seul le caractère non vide de l’intersection mérite une explication.

On peut définir une suite a en choisissant un terme a_{k} dans I_{k} et ceci pour tout k\in\mathbb{N}.

Cette suite est à termes dans I_{0} donc est bornée. D’après Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite convergente \left(a_{\varphi\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}. Notons \lambda sa limite.

Pour tout n\in\mathbb{N}, la suite tronquée \left(a_{\varphi\left(k\right)}\right)_{k\geqslant n} est à termes (dans I_{\varphi\left(n\right)} donc) dans I_{n} qui est fermé. Par conséquent \lambda\in I_{n}. Ceci prouve que \lambda appartient à l’intersection des I_{n}, qui est de ce fait non vide.

Là encore, le résultat se généralise : dans un espace métrique, l’intersection d’une suite décroissante de parties compactes non vides est non vide.

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