Lettre E

EMBOITÉS (intervalles)

Si l’on considère une suite $\left(I_{k}\right)_{k\geqslant0}$ d’intervalles, décroissante pour l’inclusion (c’est-à-dire vérifiant $I_{k+1}\subset I_{k}$ pour tout $k\in\mathbb{N}),$ et si l’on intersecte tous les $I_{k},$ l’ensemble obtenu est un intervalle. Mais celui-ci peut être vide :

c’est le cas si, par exemple, $I_{k}=\left[k,+\infty\right[$ pour tout $k.$
c’est aussi le cas lorsque $I_{k}=\left]0,2^{-k}\right]$ pour tout $k.$

Dans le premier cas, les intervalles sont tous fermés. Dans le second, la longueur de $I_{k}$ tend vers 0. Mais aucune de ces conditions ne suffit pour empêcher l’intersection d’être vide.

Maintenant, combinons les deux hypothèses :

Théorème (des segments emboîtés) n° 1

Si $\left(I_{k}\right)_{k\geqslant0}$ est une suite de segments (intervalles fermés et bornés, non triviaux), décroissante pour l’inclusion et si la longueur de $I_{k}$ tend vers 0 lorsque $k$ tend vers l’infini, alors il existe un réel $\lambda$ tel que :

$\bigcap_{k=0}^{\infty}I_{k}=\left\{ \lambda\right\}$

Si l’on pose $I_{k}=\left[a_{k},b_{k}\right],$ alors les suites $a$ et $b$ sont adjacentes (la suite $a$ est croissante, la suite $b$ est décroissante et leur différence tend par hypothèse vers 0). Elles ont donc une limite commune $\lambda.$ Comme $a_{k}\leqslant\lambda\leqslant b_{k}$ pour tout $k,$ alors $\lambda$ appartient à l’intersection de tous les $I_{k}.$

Et si $\mu$ appartient à cette intersection, alors en passant à la limite dans l’encadrement $a_{k}\leqslant\mu\leqslant b_{k},$ on voit que $\mu=\lambda.$

Ce résultat permet par exemple d’établir le théorème de Bolzano-Weierstrass dans le champ réel : de toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

On peut généraliser le théorème 1 : dans un espace métrique complet, l’intersection d’une suite décroissante de parties fermées, non vides, dont le diamètre tend vers 0 est un singleton. Voir cet article.

En abandonnant la condition portant sur la longueur des $I_{k},$ on obtient le résultat suivant :

Théorème (des segments emboîtés) n° 2

Si $\left(I_{k}\right)_{k\geqslant0}$ est une suite de segments (intervalles fermés et bornés non triviaux), décroissante pour l’inclusion, alors :

$\bigcap_{k=0}^{\infty}I_{k}\text{ est un intervalle fermé, borné et \textbf{non vide}}$

Seul le caractère non vide de l’intersection mérite une explication.

On peut définir une suite $a$ en choisissant un terme $a_{k}$ dans $I_{k}$ et ceci pour tout $k\in\mathbb{N}.$

Cette suite est à termes dans $I_{0}$ donc est bornée. D’après Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite convergente $\left(a_{\varphi\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}.$ Notons $\lambda$ sa limite.

Pour tout $n\in\mathbb{N},$ la suite tronquée $\left(a_{\varphi\left(k\right)}\right)_{k\geqslant n}$ est à termes (dans $I_{\varphi\left(n\right)}$ donc) dans $I_{n}$ qui est fermé. Par conséquent $\lambda\in I_{n}.$ Ceci prouve que $\lambda$ appartient à l’intersection des $I_{n},$ qui est de ce fait non vide.

Là encore, le résultat se généralise : dans un espace métrique, l’intersection d’une suite décroissante de parties compactes non vides est non vide.

ÉQUIVALENTS (règle des)

Pour les séries

Soient deux séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ à termes positifs.

Si $u_n\sim v_n$ alors les deux séries sont de même nature.

La positivité à partir d’un certain rang suffit. En outre, on sait que l’équivalence préserve localement le signe : donc si $u_n\sim v_n$ et si $v_n>0$ APCR, alors $u_n>0$ APCR.

En pratique, il suffit donc (en plus de l’équivalent) de s’assurer que l’une des deux suites est de signe constant APCR.

Sans la condition de signe, cette règle n’est plus valide. Par exemple :

$\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\sim\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac{1}{n}$

Pourtant la série alternée $\sum_{n\geqslant 1}\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge, tandis que l’autre diverge (somme d’une série convergente et de la série harmonique, qui diverge).

Exemples

La série

$\boxed{\sum_{n\geqslant1}\frac{e-\left(1+\frac1n\right)^n}{\sqrt{n^2+n+1}}}$

converge puisque :

$\frac{e-\left(1+\frac1n\right)^n}{\sqrt{n^2+n+1}}\sim\frac{e}{2n^2}$

et la série de Riemann $\displaystyle{\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n^2}}$ converge.

La série

$\boxed{\sum_{n\geqslant1}\sin\left(\frac{1}{\sqrt n}\right)\ln\left(n+\sin(n)\right)}$

diverge puisque :

$\sin\left(\frac{1}{\sqrt n}\right)\ln\left(n+\sin(n)\right)\sim\frac{\ln(n)}{\sqrt n}$

et la série de Bertrand $\displaystyle{\sum_{n\geqslant1}\frac{\ln(n)}{\sqrt n}}$ diverge.

Pour les intégrales

Soient deux applications continues et positives $f,g:[0,+\infty[\to\mathbb{R}$ .

Si $f(t)\underset{+\infty}{\sim}g(t)$ , alors les intégrales impropres $\int_0^{+\infty}f(t)\,dt$ et $\int_0^{+\infty}g(t)\,dt$ sont de même nature.

Mêmes remarques que pour les séries – en s’adaptant, bien sûr, au contexte. Par souci de simplicité, la règle ci-dessus a été formulée pour des intégrales de fonctions continues positives sur $[0,+\infty[$ , mais on dispose d’énoncés analogues si l’intervalle d’intégration est par exemple $[a,b[$ , les intégrales étant impropres pour la borne $b$ .