Lettre E
EMBOITÉS (intervalles)
Si l’on considère une suite d’intervalles, décroissante pour l’inclusion (c’est-à-dire vérifiant
pour tout
et si l’on intersecte tous les
l’ensemble obtenu est un intervalle. Mais celui-ci peut être vide :
- c’est le cas si, par exemple,
pour tout
- c’est aussi le cas lorsque
pour tout
Dans le premier cas, les intervalles sont tous fermés. Dans le second, la longueur de tend vers 0. Mais aucune de ces conditions ne suffit pour empêcher l’intersection d’être vide.
Maintenant, combinons les deux hypothèses :
Si l’on pose alors les suites
et
sont adjacentes (la suite
est croissante, la suite
est décroissante et leur différence tend par hypothèse vers 0). Elles ont donc une limite commune
Comme
pour tout
alors
appartient à l’intersection de tous les
Et si appartient à cette intersection, alors en passant à la limite dans l’encadrement
on voit que
Ce résultat se généralise : dans un espace métrique complet, pour toute suite décroissante de parties fermées, non vides et dont le diamètre tend vers 0, l’intersection est un singleton. Voir cet article.
En abandonnant la condition portant sur la longueur des on obtient le résultat suivant :
Théorème (des segments emboîtés) n° 2
Si est une suite de segments (intervalles fermés et bornés non triviaux), décroissante pour l’inclusion, alors :
Seul le caractère non vide de l’intersection mérite une explication.
On peut définir une suite en choisissant un terme
dans
et ceci pour tout
Cette suite est à termes dans donc est bornée. D’après Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite convergente
Notons
sa limite.
Pour tout la suite tronquée
est à termes (dans
donc) dans
qui est fermé. Par conséquent
Ceci prouve que
appartient à l’intersection des
qui est de ce fait non vide.
Là encore, le résultat se généralise : dans un espace métrique, l’intersection d’une suite décroissante de parties compactes non vides est non vide.