Lettre E

EMBOITÉS (intervalles)

Si l’on considère une suite \left(I_{k}\right)_{k\geqslant0} d’intervalles, décroissante pour l’inclusion (c’est-à-dire vérifiant I_{k+1}\subset I_{k} pour tout k\in\mathbb{N}), et si l’on intersecte tous les I_{k}, l’ensemble obtenu est un intervalle. Mais celui-ci peut être vide :

  • c’est le cas si, par exemple, I_{k}=\left[k,+\infty\right[ pour tout k.
  • c’est aussi le cas lorsque I_{k}=\left]0,2^{-k}\right] pour tout k.

Dans le premier cas, les intervalles sont tous fermés. Dans le second, la longueur de I_{k} tend vers 0. Mais aucune de ces conditions ne suffit pour empêcher l’intersection d’être vide.

Maintenant, combinons les deux hypothèses :

Théorème (des segments emboîtés) n° 1

Si \left(I_{k}\right)_{k\geqslant0} est une suite de segments (intervalles fermés et bornés, non triviaux), décroissante pour l’inclusion et si la longueur de I_{k} tend vers 0 lorsque k tend vers l’infini, alors il existe un réel \lambda tel que :

    \[\bigcap_{k=0}^{\infty}I_{k}=\left\{ \lambda\right\}\]

Si l’on pose I_{k}=\left[a_{k},b_{k}\right], alors les suites a et b sont adjacentes (la suite a est croissante, la suite b est décroissante et leur différence tend par hypothèse vers 0). Elles ont donc une limite commune \lambda. Comme a_{k}\leqslant\lambda\leqslant b_{k} pour tout k, alors \lambda appartient à l’intersection de tous les I_{k}.

Et si \mu appartient à cette intersection, alors en passant à la limite dans l’encadrement a_{k}\leqslant\mu\leqslant b_{k}, on voit que \mu=\lambda.

Ce résultat permet par exemple d’établir le théorème de Bolzano-Weierstrass dans le champ réel : de toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

On peut généraliser le théorème 1 : dans un espace métrique complet, l’intersection d’une suite décroissante de parties fermées, non vides, dont le diamètre tend vers 0 est un singleton. Voir cet article.

En abandonnant la condition portant sur la longueur des I_{k}, on obtient le résultat suivant :

Théorème (des segments emboîtés) n° 2

Si \left(I_{k}\right)_{k\geqslant0} est une suite de segments (intervalles fermés et bornés non triviaux), décroissante pour l’inclusion, alors :

    \[\bigcap_{k=0}^{\infty}I_{k}\text{ est un intervalle fermé, borné et \textbf{non vide}}\]

Seul le caractère non vide de l’intersection mérite une explication.

On peut définir une suite a en choisissant un terme a_{k} dans I_{k} et ceci pour tout k\in\mathbb{N}.

Cette suite est à termes dans I_{0} donc est bornée. D’après Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite convergente \left(a_{\varphi\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}. Notons \lambda sa limite.

Pour tout n\in\mathbb{N}, la suite tronquée \left(a_{\varphi\left(k\right)}\right)_{k\geqslant n} est à termes (dans I_{\varphi\left(n\right)} donc) dans I_{n} qui est fermé. Par conséquent \lambda\in I_{n}. Ceci prouve que \lambda appartient à l’intersection des I_{n}, qui est de ce fait non vide.

Là encore, le résultat se généralise : dans un espace métrique, l’intersection d’une suite décroissante de parties compactes non vides est non vide.

ÉQUIVALENTS (règle des)

Pour les séries

Soient deux séries \sum u_n et \sum v_n à termes positifs.

Si u_n\sim v_n alors les deux séries sont de même nature.

La positivité à partir d’un certain rang suffit. En outre, on sait que l’équivalence préserve localement le signe : donc si u_n\sim v_n et si v_n>0 APCR, alors u_n>0 APCR.

En pratique, il suffit donc (en plus de l’équivalent) de s’assurer que l’une des deux suites est de signe constant APCR.

Sans la condition de signe, cette règle n’est plus valide. Par exemple :

    \[\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\sim\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac{1}{n}\]

Pourtant la série alternée \sum_{n\geqslant 1}\frac{(-1)^n}{\sqrt n} converge, tandis que l’autre diverge (somme d’une série convergente et de la série harmonique, qui diverge).

Exemples

La série

    \[\boxed{\sum_{n\geqslant1}\frac{e-\left(1+\frac1n\right)^n}{\sqrt{n^2+n+1}}}\]

converge puisque :

    \[\frac{e-\left(1+\frac1n\right)^n}{\sqrt{n^2+n+1}}\sim\frac{e}{2n^2}\]

et la série de Riemann \displaystyle{\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n^2}} converge.

La série

    \[\boxed{\sum_{n\geqslant1}\sin\left(\frac{1}{\sqrt n}\right)\ln\left(n+\sin(n)\right)}\]

diverge puisque :

    \[\sin\left(\frac{1}{\sqrt n}\right)\ln\left(n+\sin(n)\right)\sim\frac{\ln(n)}{\sqrt n}\]

et la série de Bertrand \displaystyle{\sum_{n\geqslant1}\frac{\ln(n)}{\sqrt n}} diverge.

Pour les intégrales

Soient deux applications continues et positives f,g:[0,+\infty[\to\mathbb{R}.

Si f(t)\underset{+\infty}{\sim}g(t), alors les intégrales impropres \int_0^{+\infty}f(t)\,dt et \int_0^{+\infty}g(t)\,dt sont de même nature.

Mêmes remarques que pour les séries – en s’adaptant, bien sûr, au contexte. Par souci de simplicité, la règle ci-dessus a été formulée pour des intégrales de fonctions continues positives sur [0,+\infty[, mais on dispose d’énoncés analogues si l’intervalle d’intégration est par exemple [a,b[, les intégrales étant impropres pour la borne b.

Exemples

L’intégrale

    \[\boxed{\int_0^{+\infty}\frac{t}{\sqrt{t^4+1}}\,dt}\]

diverge puisque :

    \[\frac{t}{\sqrt{t^4+1}}\underset{+\infty}{\sim}\frac{1}{t}\]

et l’intégrale impropre \displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{1}{t}\,dt} diverge.

L’intégrale

    \[\boxed{\int_0^1\frac{\ln(t)}{\left(1-t\right)^{3/2}}\,dt}\]

est doublement impropre. Elle converge car, d’une part

    \[\frac{\ln(t)}{\left(1-t\right)^{3/2}}\underset{0}{\sim}\ln(t)\]

et l’intégrale impropre

    \[\int_0^{1/2}\ln(t)\,dt\]

converge et, d’autre part :

    \[\frac{\ln(t)}{\left(1-t\right)^{3/2}}\underset{1}{\sim}-\frac{1}{\sqrt{1-t}}\]

et l’intégrale impropre

    \[\int_{1/2}^1\frac{1}{\sqrt{1-t}}\,dt\]

converge

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