Lettre O

ORDRE (relation d’)

Etant donné un ensemble $E,$ une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ est appelée une relation d’ordre lorsqu’elle est :

réflexive : $\forall x\in E,\thinspace x\mathcal{R}x$
antisymétrique : $\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace\left(x\mathcal{R}y\text{ et }y\mathcal{R}x\right)\Rightarrow x=y$
transitive : $\forall\left(x,y,z\right)\in E^{3},\thinspace\left(x\mathcal{R}y\text{ et }y\mathcal{R}z\right)\Rightarrow x\mathcal{R}z$

Quelques exemples classiques :

la relation $\leqslant$ (inférieur ou égal ) dans $\mathbb{R}$
l’ordre lexicographique associé à un alphabet
la relation ⊂ (inclusion) dans $\mathcal{P}\left(X\right)$ où $X$ est un ensemble quelconque
la relation | (divisibilité) dans $\mathbb{N}$

D’une manière générale, étant donnée une relation d’ordre $\mathcal{R}$ sur un ensemble $E,$ l’ordre est dit total lorsque les éléments de $E$ sont deux à deux comparables :

$\forall\left(a,b\right)\in E^{2},\thinspace a\mathcal{R}b\;\text{ou}\;b\mathcal{R}a$

Il dit partiel dans le cas contraire. Parmi les quatre exemples ci-dessus, l’ordre est total pour les deux premiers et partiel pour les deux suivants.

Etant donné un ensemble $E$ muni d’une relation d’ordre $\mathcal{R},$ une partie $A$ de $E$ possède un plus petit élément lorsque :

$\exists a\in A;\thinspace\forall x\in A,\thinspace a\mathcal{R}x$

L’existence d’un tel $a$ n’est pas garantie. Par exemple : dans $\mathbb{R}$ muni de $\leqslant,$ la partie $\left[0,1\right]$ admet 0 pour plus petit élément, mais la partie $\left]0,1\right]$ ne possède pas de plus petit élément. En revanche l’unicité découle aussitôt de l’antisymétrie (si $a,a'\in A$ sont des plus petits éléments de $A,$ alors $a\mathcal{R}a'$ et $a'\mathcal{R}a,$ d’où $a=a').$

L’ensemble $E$ est dit bien ordonné lorsque toute partie non vide de $E$ admet un plus petit élément. $\mathbb{N}$ est donc bien ordonné alors que $\mathbb{R}$ ne l’est pas (pour l’ordre usuel $\leqslant).$ Noter qu’un bon ordre est nécessairement un ordre total : étant donnés $x,y\in E,$ ces deux éléments sont comparables puisque la paire $\left\{ x,y\right\}$ admet un plus petit élément.

Une conséquence de l’axiome du choix est l’existence, pour tout ensemble non vide, d’un bon ordre.

OUVERT

La notion de partie ouverte est présentée ici dans $\mathbb{R}$ par souci de simplicité. Son cadre naturel est celui des espaces topologiques.

On dit d’une partie $A$ de $\mathbb{R}$ que c’est un ouvert lorsque :

$\forall a\in A,\thinspace\exists r>0;\thinspace\left]a-r,a+r\right[\subset A$

Intuitivement, cela signifie que tout réel suffisamment proche d’un élément de $A$ appartient aussi à $A.$

Les parties suivantes de $\mathbb{R}$ sont des ouverts :

$\emptyset$
$\mathbb{R}$
$\left]a,b\right[$ pour tout couple $\left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2}$ tel que $a<b$
l’union de toute famille d’ouverts
l’intersection d’une famille finie d’ouverts
l’image réciproque d’un ouvert par une application continue $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

Les parties suivantes de $\mathbb{R}$ ne sont pas des ouverts :

$\left\{ a\right\}$ pour tout $a\in\mathbb{R}$
$\left[a,b\right],$ $\left[a,b\right[$ et $\left]a,b\right]$ pour tout couple $\left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2}$ tel que $a<b$
$\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$

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