Lettre O
ORDRE (relation d’)
Etant donné un ensemble une relation binaire
sur
est appelée une relation d’ordre lorsqu’elle est :
- réflexive :
- antisymétrique :
- transitive :
Quelques exemples classiques :
- la relation
(inférieur ou égal ) dans
- l’ordre lexicographique associé à un alphabet
- la relation ⊂ (inclusion) dans
où
est un ensemble quelconque
- la relation | (divisibilité) dans
D’une manière générale, étant donnée une relation d’ordre sur un ensemble
l’ordre est dit total lorsque les éléments de
sont deux à deux comparables :
Etant donné un ensemble muni d’une relation d’ordre
une partie
de
possède un plus petit élément lorsque :
L’ensemble est dit bien ordonné lorsque toute partie non vide de
admet un plus petit élément.
est donc bien ordonné alors que
ne l’est pas (pour l’ordre usuel
Noter qu’un bon ordre est nécessairement un ordre total : étant donnés
ces deux éléments sont comparables puisque la paire
admet un plus petit élément.
Une conséquence de l’axiome du choix est l’existence, pour tout ensemble non vide, d’un bon ordre.
OUVERT
La notion de partie ouverte est présentée ici dans par souci de simplicité. Son cadre naturel est celui des espaces topologiques.
On dit d’une partie de
que c’est un ouvert lorsque :
Les parties suivantes de sont des ouverts :
pour tout couple
tel que
- l’union de toute famille d’ouverts
- l’intersection d’une famille finie d’ouverts
- l’image réciproque d’un ouvert par une application continue
Les parties suivantes de ne sont pas des ouverts :
pour tout
et
pour tout couple
tel que
et