Deux formules de moyenne pour les intégrales

Il existe deux formules de moyenne pour les intégrales.

Elles sont attribuées au mathématicien Pierre-Ossian Bonnet (1819 – 1892).

On se propose de les énoncer, de les établir et d’en donner des exemples significatifs d’utilisation.

Des versions plus fortes de ces résultats existent dans la littérature, mais on a choisi ici de privilégier la simplicité à la généralité.

Pierre-Ossian Bonnet (1819 – 1892)

Première formule de la moyenne

On suppose que \varphi et \psi sont des applications continues d’un segment \left[a,b\right] dans \mathbb{R}.

Proposition 1

Si \psi est positive, alors il existe c\in\left[a,b\right] tel que :

    \[\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\psi\left(t\right)\thinspace dt=\varphi\left(c\right)\int_{a}^{b}\psi\left(t\right)\thinspace dt\]

Notons respectivement m et M le minimum et le maximum de \varphi. Pour tout t\in\left[a,b\right] :

    \[m\leqslant\varphi\left(t\right)\leqslant M\]

donc, comme \psi est positive :

    \[m\thinspace\psi\left(t\right)\leqslant\varphi\left(t\right)\thinspace\psi\left(t\right)\leqslant M\thinspace\psi\left(t\right)\]

puis, par croissance de l’intégrale :

    \[m\thinspace\int_{a}^{b}\thinspace\psi\left(t\right)\thinspace dt\leqslant\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\psi\left(t\right)\thinspace dt\leqslant M\thinspace\int_{a}^{b}\thinspace\psi\left(t\right)\thinspace dt\]

Supposons \psi non identiquement nulle, ce qui entraîne \int_{a}^{b}\thinspace\psi\left(t\right)\thinspace dt>0, car \psi est continue et positive. Alors :

    \[m\leqslant\dfrac{\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\psi\left(t\right)\thinspace dt}{\int_{a}^{b}\psi\left(t\right)\thinspace dt}\leqslant M\]

et le TVI garantit l’existence d’un réel c\in\left[a,b\right] tel que :

    \[\dfrac{\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\psi\left(t\right)\thinspace dt}{\int_{a}^{b}\psi\left(t\right)\thinspace dt}=\varphi\left(c\right)\]

ce qui donne la conclusion. Et cette conclusion est évidente dans le cas où \psi est l’application nulle !

Remarque 1

On peut remplacer l’hypothèse \psi positive par \psi de signe constant. Si \psi est à valeurs négatives, il suffit en effet d’appliquer ce qui précède au couple \left(\varphi,-\psi\right).

En outre, la continuité de \psi n’a pas servi : on peut se contenter de supposer que \psi est continue par morceaux, ou même seulement Riemann-intégrable.

Remarque 2

En choisissant pour \psi la fonction constante égale à 1, on obtient pour toute application continue \varphi:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}, l’existence d’un réel c\in\left[a,b\right] tel que :

    \[\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\thinspace dt=\varphi\left(c\right)\]

Le membre de gauche de cette égalité est appelé la valeur moyenne de \varphi (voir la fin de cette note).

Seconde formule de la moyenne

On suppose toujours que \varphi et \psi sont des applications d’un segment \left[a,b\right] dans \mathbb{R}.

Proposition 2

Si \varphi est décroissante et positive et si \psi est continue par morceaux (ou seulement Riemann-intégrable), alors il existe c\in\left[a,b\right] tel que :

    \[\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\psi\left(t\right)\thinspace dt=\varphi\left(a\right)\int_{a}^{c}\psi\left(t\right)\thinspace dt\]

Preuve simplifiée n° 1

➡ Supposons en outre \psi\geqslant0.

L’application :

    \[J:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\varphi\left(a\right)\int_{a}^{x}\psi\left(t\right)\thinspace dt\]

est continue et de plus :

    \[J\left(a\right)=0\leqslant\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\psi\left(t\right)\thinspace dt\leqslant\varphi\left(a\right)\int_{a}^{b}\psi\left(t\right)\thinspace dt=J\left(b\right)\]

donc (TVI) :

    \[\exists c\in\left[a,b\right];\thinspace \int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\thinspace\psi\left(t\right)=J\left(c\right)\]

Remarque

Sans hypothèse de positivité pour \varphi, on peut considérer plutôt :

    \[K:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\varphi\left(a\right)\int_{a}^{x}\psi\left(t\right)\thinspace dt+\varphi\left(b\right)\int_{x}^{b}\psi\left(t\right)\thinspace dt\]

et observer (grâce à la décroissance de \varphi et à la positivité de \psi) que :

    \[K\left(a\right)=\varphi\left(b\right)\int_{a}^{b}\psi\left(t\right)\thinspace dt\leqslant\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\psi\left(t\right)\thinspace dt\leqslant\varphi\left(a\right)\int_{a}^{b}\psi\left(t\right)\thinspace dt=K\left(b\right)\]

Le TVI appliqué à K (qui est continue !) montre alors qu’il existe c\in\left[a,b\right] tel que \int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\psi\left(t\right)\thinspace dt=K\left(c\right); c’est-à-dire :

    \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\psi\left(t\right)\thinspace dt=\varphi\left(a\right)\int_{a}^{c}\psi\left(t\right)\thinspace dt+\varphi\left(b\right)\int_{c}^{b}\psi\left(t\right)\thinspace dt}$}\]

Preuve simplifiée n° 2

➡ Supposons en outre \varphi de classe C^{1} et \psi continue.

Posons \Psi\left(x\right)=\int_{a}^{x}\,\psi\left(t\right)\,dt. Comme \psi est continue, \Psi est de classe C^{1} et \Psi'=\psi. Après intégration par parties :

    \[\int_{a}^{b}\,\varphi\left(t\right)\,\psi\left(t\right)\,dt=\int_{a}^{b}\,\varphi\left(t\right)\,\Psi'\left(t\right)\,dt=\left[\varphi\left(t\right)\,\Psi\left(t\right)\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}\,\varphi'\left(t\right)\,\Psi\left(t\right)\,dt\]

Comme \varphi' est de signe constant, la première formule de la moyenne s’applique. Il existe \alpha\in\left[a,b\right] tel que :

    \[\int_{a}^{b}\,\varphi'\left(t\right)\,\Psi\left(t\right)\,dt=\Psi\left(\alpha\right)\,\int_{a}^{b}\,\varphi'\left(t\right)dt=\Psi\left(\alpha\right)\left(\varphi\left(b\right)-\varphi\left(a\right)\right)\]

et donc :

    \[\int_{a}^{b}\,\varphi\left(t\right)\,\psi\left(t\right)\,dt=\varphi\left(b\right)\,\Psi\left(b\right)+\left(\varphi\left(a\right)-\varphi\left(b\right)\right)\,\Psi\left(\alpha\right)\]

Si \varphi\left(a\right)=0, comme \varphi est décroissante et positive, alors \varphi=0 et la formule à établir est évidente.

Sinon :

    \[\int_{a}^{b}\,\varphi\left(t\right)\,\psi\left(t\right)\,dt=\varphi\left(a\right)\,\left[\frac{\varphi\left(b\right)}{\varphi\left(a\right)}\,\Psi\left(b\right)+\left(1-\frac{\varphi\left(b\right)}{\varphi\left(a\right)}\right)\,\Psi\left(\alpha\right)\right]\]

Comme \dfrac{\varphi\left(b\right)}{\varphi\left(a\right)}\in\left[0,1\right], la quantité entre crochets est comprise entre \Psi\left(b\right) et \Psi\left(\alpha\right). D’après le TVI, il existe donc c\in\left[a,b\right] tel que :

    \[\int_{a}^{b}\,\varphi\left(t\right)\,\psi\left(t\right)\,dt=\varphi\left(a\right)\,\Psi\left(c\right)\]

comme souhaité.

Preuve simplifiée n° 3

➡ Supposons en outre \varphi continue.

Etant donné n\in\mathbb{N}^{\star}, notons pour tout j\in\left\llbracket 0,n-1\right\rrbracket :

    \[t_{j}=a+\dfrac{j\left(b-a\right)}{n}\]

Les nombres t_{j}, qui forment une subdivision régulière du segment \left[a,b\right], devraient d’ailleurs être notés t_{n,j}, car ils dépendent aussi de n … mais on ne va pas alourdir les notations. Posons aussi :

    \[S_{n}=\sum_{j=0}^{n-1}\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\thinspace\varphi\left(t_{j}\right)\psi\left(t\right)\thinspace dt\]

et montrons que :

(\star)   \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}=\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\psi\left(t\right)\thinspace dt}$}\]

Pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[S_{n}-\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\psi\left(t\right)\thinspace dt=\sum_{j=0}^{n-1}\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\left(\varphi\left(t_{j}\right)-\varphi\left(t\right)\right)\thinspace\psi\left(t\right)\thinspace dt\]

donc :

    \[\left|S_{n}-\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\psi\left(t\right)\thinspace dt\right|\leqslant\sum_{j=0}^{n-1}\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\left|\varphi\left(t_{j}\right)-\varphi\left(t\right)\right|\thinspace\left|\psi\left(t\right)\right|\thinspace dt\]

Comme \varphi est uniformément continue (d’après le théorème de Heine), étant donné \epsilon>0 il existe \delta>0 tel que :

    \[\forall\left(s,t\right)\in\left[a,b\right]^{2},\thinspace\left|s-t\right|\leqslant\delta\Rightarrow\left|\varphi\left(s\right)-\varphi\left(t\right)\right|\leqslant\epsilon\]

Ainsi, dès que n\geqslant\dfrac{b-a}{\delta} :

    \[\forall j\in\left\llbracket 0,n-1\right\rrbracket ,\thinspace\forall t\in\left[t_{j},t_{j+1}\right],\thinspace\left|\varphi\left(t_{j}\right)-\varphi\left(t\right)\right|\leqslant\epsilon\]

donc :

    \[\left|S_{n}-\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\psi\left(t\right)\thinspace dt\right|\leqslant\epsilon\int_{a}^{b}\left|\psi\left(t\right)\right|\thinspace dt\]

et la relation \left(\star\right) est établie.

Par ailleurs, en notant

    \[\Psi:[a,b]\to\mathbb{R},\,x\mapsto\int_{a}^{x}\psi\left(t\right)\thinspace dt\]

une transformation d’Abel donne :

    \begin{eqnarray*}S_{n} & = & \sum_{j=0}^{n-1}\varphi\left(t_{j}\right)\left(\Psi\left(t_{j+1}\right)-\Psi\left(t_{j}\right)\right)\\& = & \varphi\left(t_{n-1}\right)\Psi\left(t_{n}\right)+\sum_{j=1}^{n-1}\left(\varphi\left(t_{j-1}\right)-\varphi\left(t_{j}\right)\right)\Psi\left(t_{j}\right)\end{eqnarray*}

Notons m et M le minimum et le maximum de \Psi. Vu que \varphi est positive :

    \[\varphi\left(t_{n-1}\right)\thinspace m\leqslant\varphi\left(t_{n-1}\right)\Psi\left(t_{n}\right)\leqslant\varphi\left(t_{n-1}\right)\thinspace M\]

et vu que \varphi est décroissante, on a pour tout j\in\left\llbracket 0,n-1\right\rrbracket :

    \[\left(\varphi\left(t_{j-1}\right)-\varphi\left(t_{j}\right)\right)m\leqslant\left(\varphi\left(t_{j-1}\right)-\varphi\left(t_{j}\right)\right)\Psi\left(t_{j}\right)\leqslant\left(\varphi\left(t_{j-1}\right)-\varphi\left(t_{j}\right)\right)M\]

donc (sommation télescopique) :

    \[m\thinspace\varphi\left(a\right)\leqslant S_{n}\leqslant M\thinspace\varphi\left(a\right)\]

En passant à la limite et d’après (\star) :

    \[m\thinspace\varphi\left(a\right)\leqslant\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\thinspace\psi\left(t\right)\thinspace dt\leqslant M\thinspace\varphi\left(a\right)\]

Si \varphi\left(a\right)=0 alors \varphi=0 et la formule à démontrer est évidente. Et sinon :

    \[m\leqslant\dfrac{\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\thinspace\psi\left(t\right)\thinspace dt}{\varphi\left(a\right)}\leqslant M\]

donc, d’après le TVI, il existe c\in\left[a,b\right] tel que

    \[\dfrac{\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\thinspace\psi\left(t\right)\thinspace dt}{\varphi\left(a\right)}=\Psi\left(c\right)\]

ce qui donne la conclusion.

Preuve du cas général

Rappel : on suppose \varphi décroissante positive et \psi continue par morceaux (ou seulement Riemann-intégrable).

Nous allons constater que la relation \left(\star\right) de la preuve simplifiée n° 3 reste vraie. En gros, on perd l’uniforme continuité de \varphi mais on a toujours celle de

    \[\Psi^{\star}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\int_{a}^{x}\left|\psi\left(t\right)\right|\thinspace dt\]

Pour tout n\geqslant1 :

    \begin{eqnarray*}\left|S_{n}-\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\psi\left(t\right)\thinspace dt\right| & \leqslant & \sum_{j=0}^{n-1}\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\left(\varphi\left(t_{j}\right)-\varphi\left(t\right)\right)\thinspace\left|\psi\left(t\right)\right|\thinspace dt\\& \leqslant & \sum_{j=0}^{n-1}\left(\varphi\left(t_{j}\right)-\varphi\left(t_{j+1}\right)\right)\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\left|\psi\left(t\right)\right|\thinspace dt\\& = & \sum_{j=0}^{n-1}\left(\varphi\left(t_{j}\right)-\varphi\left(t_{j+1}\right)\right)\left(\Psi^{\star}\left(t_{j+1}\right)-\Psi^{\star}\left(t_{j}\right)\right)\end{eqnarray*}

Notons, pour tout \delta\in\left]0,b-a\right[ :

    \[\omega\left(\delta\right)=\sup_{a\leqslant t\leqslant b-\delta}\left(\Psi^{\star}\left(t+\delta\right)-\Psi^{\star}\left(t\right)\right)\]

Comme \Psi^{\star} est uniformément continue (d’après le théorème de Heine) : {\displaystyle \lim_{\delta\rightarrow0}\omega\left(\delta\right)=0.} Or, d’après ce qui précède :

    \[\left|S_{n}-\int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\psi\left(t\right)\thinspace dt\right|\leqslant\omega\left(\dfrac{b-a}{n}\right)\thinspace\left(\varphi\left(a\right)-\varphi\left(b\right)\right)\]

On retrouve ainsi \left(\star\right) et l’on conclut ensuite comme à la preuve simplifiée n° 3.

Deux exemples d’utilisation

➡ Exemple 1

Soit T>0. On considère une application continue f:\left[0,T\right]\rightarrow\mathbb{R}, une application g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} continue et T-périodique et l’on s’intéresse au calcul de :

    \[\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{0}^{T}f\left(t\right)g\left(nt\right)\thinspace dt\]

Pour tout n\in\mathbb{N}^{\star}, posons :

    \[J_{n}=\int_{0}^{T}f\left(t\right)g\left(nt\right)\thinspace dt\]

Le changement de variable x=nt donne :

    \[J_{n}=\dfrac{1}{n}\int_{0}^{nT}f\left(\dfrac{x}{n}\right)g\left(x\right)\thinspace dx\]

puis, d’après la relation de Chasles :

    \[J_{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\int_{kT}^{\left(k+1\right)T}f\left(\dfrac{x}{n}\right)g\left(x\right)\thinspace dx\]

Nouveau changement de variable … On pose x=s+kT dans la k-ème intégrale :

    \[J_{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\int_{0}^{T}f\left(\dfrac{s+kT}{n}\right)g\left(s+kT\right)\thinspace ds\]

et comme g est T-périodique :

    \[J_{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\int_{0}^{T}f\left(\dfrac{s+kT}{n}\right)g\left(s\right)\thinspace ds\]

A présent, on suppose g de signe constant et on applique la première formule de la moyenne : pour chaque k\in\left\llbracket 0,n-1\right\rrbracket , il existe c_{k}\in\left[0,T\right] tel que

    \[\int_{0}^{T}f\left(\dfrac{s+kT}{n}\right)g\left(s\right)\thinspace ds=f\left(\dfrac{c_{k}+kT}{n}\right)\thinspace\int_{0}^{T}g\left(s\right)\thinspace ds\]

de sorte que :

    \[J_{n}=S_{n}\thinspace\int_{0}^{T}g\left(s\right)\thinspace ds\qquad\text{avec : }R_{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\dfrac{c_{k}+kT}{n}\right)\]

On reconnaît que R_{n} est une somme de Riemann attachée à f sur \left[0,T\right] et donc, d’après le théorème de convergence des sommes de Riemann :

    \[\lim_{n\rightarrow+\infty}J_{n}=\left(\int_{0}^{T}f\left(s\right)\thinspace ds\right)\left(\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}g\left(s\right)\thinspace ds\right)\]

Si g n’est pas de signe constant, on peut néanmoins trouver \lambda\in\mathbb{R} tel que \gamma:t\mapsto\lambda+g\left(t\right) soit de signe constant (il suffit de choisir \lambda\geqslant-\inf_{\left[0,T\right]}g). On voit alors que :

    \begin{eqnarray*}J_{n} & = & \int_{0}^{T}f\left(t\right)\gamma\left(nt\right)\thinspace dt-\lambda\thinspace\int_{0}^{T}f\left(t\right)\thinspace dt\\& \underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow} & \left(\int_{0}^{T}f\left(s\right)\thinspace ds\right)\left(\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}\gamma\left(s\right)\thinspace ds\right)-\lambda\thinspace\int_{0}^{T}f\left(t\right)\thinspace dt\\& = & \left(\int_{0}^{T}f\left(s\right)\thinspace ds\right)\left(\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}g\left(s\right)\thinspace ds\right)\end{eqnarray*}

Bref, il est maintenant établi que :

    \[\boxed{\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{0}^{T}f\left(t\right)g\left(nt\right)\thinspace dt=\left(\int_{0}^{T}f\left(s\right)\thinspace ds\right)\left(\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}g\left(s\right)\thinspace ds\right)}\]

Remarque

Le lecteur pourra démontrer en exercice une formule un peu plus générale, à savoir que si f est définie sur \left[a,b\right] (au lieu de \left[0,T\right]), on obtient en fin de compte :

    \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{a}^{b}f\left(t\right)g\left(nt\right)\thinspace dt=\left(\int_{a}^{b}f\left(s\right)\thinspace ds\right)\left(\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}g\left(s\right)\thinspace ds\right)}$}\]

ce qui constitue une jolie généralisation du lemme de Riemann-Lebesgue !

A titre d’exemple :

    \[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}\,\ln\left(1+t\right)\left|\sin\left(nt\right)\right|\,dt=\frac{2}{\pi}\left(2\ln\left(2\right)-1\right)\]

En effet, l’application t\mapsto\sin(nt) est \pi-périodique de valeur moyenne égale à \dfrac{2}{\pi} et par ailleurs :

    \[\int_0^1\ln(1+t)\,dt=\left[(t+1)\ln(1+t)\right]_0^1-\int_0^1dt=2\ln(2)-1\]

➡ Exemple 2

Soit f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R} continue telle que l’intégrale {\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f\left(t\right)\thinspace dt} soit semi-convergente. Pour tout x\in\left[0,+\infty\right[, posons :

    \[F\left(x\right)=\int_{0}^{+\infty}\,e^{-xt}\,f\left(t\right)\,dt\]

Montrons que F est bien définie et continue.

F\left(0\right) est bien défini par hypothèse. Et pour x>0, l’intégrale \int_{0}^{+\infty}e^{-xt}f\left(t\right)\thinspace dt existe d’après le critère de Cauchy. En effet, étant donné \epsilon>0, il existe A>0 tel que pour tout \left(a,b\right)\in\left[0,+\infty\right[^{2} :

    \[b>a\geqslant A\Rightarrow\left|\int_{a}^{b}f\left(t\right)\thinspace dt\right|\leqslant\epsilon\]

Donc, d’après la seconde formule de la moyenne (le cas simplifié n° 2 suffit), dès que b>a\geqslant A, il existe c\in\left[a,b\right] tel que :

    \[\left|\int_{a}^{b}e^{-xt}f\left(t\right)\thinspace dt\right|=e^{-xa}\left|\int_{a}^{c}f\left(t\right)\thinspace dt\right|\]

d’où :

    \[\left|\int_{a}^{b}e^{-xt}f\left(t\right)\thinspace dt\right|\leqslant\left|\int_{a}^{c}f\left(t\right)\thinspace dt\right|\leqslant\epsilon\]

Désormais, posons pour tout n\in\mathbb{N} et tout x\in\left[0,+\infty\right[ :

    \[F_{n}\left(x\right)=\int_{0}^{n}e^{-xt}f\left(t\right)\thinspace dt\]

Comme f est continue alors chaque F_{n} aussi. Si l’on montre que la suite \left(F_{n}\right)_{n\geqslant0} converge uniformément sur \left[0,+\infty\right[ vers F, il en résultera que F est continue. On utilise pour cela le critère de Cauchy uniforme. Pour tout \left(p,q\right)\in\mathbb{N}^{2} tel que q>p\geqslant A et pour tout x\in\left[0,+\infty\right[ :

    \[\left|F_{q}\left(x\right)-F_{p}\left(x\right)\right|=\left|\int_{p}^{q}e^{-xt}f\left(t\right)\thinspace dt\right|=e^{-xp}\left|\int_{p}^{c}f\left(t\right)\thinspace dt\right|\]

c\in\left[p,q\right]. Ainsi :

    \[\left|F_{q}\left(x\right)-F_{p}\left(x\right)\right|\leqslant\left|\int_{p}^{c}f\left(t\right)\thinspace dt\right|\leqslant\epsilon\]

d’où le résultat annoncé.

Un cas particulier célèbre est celui où :

    \[f:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\thinspace t\mapsto\left\{ \begin{array}{cc}\dfrac{\sin\left(t\right)}{t} & \text{si }t>0\\\\1 & \text{si }t=0\end{array}\right.\]

On sait que l’intégrale impropre \int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin\left(t\right)}{t}\thinspace dt est semi-convergente et ce qui précède montre que :

    \[\lim_{x\rightarrow0^{+}}\int_{0}^{+\infty}e^{-xt}\thinspace\dfrac{\sin\left(t\right)}{t}\thinspace dt=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin\left(t\right)}{t}\thinspace dt\]

Mais on peut aussi dériver sous le signe somme (justification à la charge du lecteur) … Pour tout x>0 :

    \begin{eqnarray*}\dfrac{d}{dx}\int_{0}^{+\infty}e^{-xt}\thinspace\dfrac{\sin\left(t\right)}{t}\thinspace dt & = & -\int_{0}^{+\infty}e^{-xt}\thinspace\sin\left(t\right)\thinspace dt\\& = & -\dfrac{1}{1+x^{2}}\end{eqnarray*}

Il en résulte qu’il existe C\in\mathbb{R} tel que :

    \[\forall x>0,\thinspace\int_{0}^{+\infty}e^{-xt}\thinspace\dfrac{\sin\left(t\right)}{t}\thinspace dt=C-\arctan\left(x\right)\]

Comme :

    \[\left|\int_{0}^{+\infty}e^{-xt}\thinspace\dfrac{\sin\left(t\right)}{t}\thinspace dt\right|\leqslant\int_{0}^{+\infty}e^{-xt}\thinspace dt=\dfrac{1}{x}\]

on voit que :

    \[\lim_{x\rightarrow+\infty}\int_{0}^{+\infty}e^{-xt}\thinspace\dfrac{\sin\left(t\right)}{t}\thinspace dt=0\]

et donc C=\dfrac{\pi}{2}. Pour finir, grâce à la continuité en 0 de x\mapsto\int_{0}^{+\infty}e^{-xt}\thinspace\dfrac{\sin\left(t\right)}{t}\thinspace dt, il vient :

    \[\boxed{\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin\left(t\right)}{t}\thinspace dt=\dfrac{\pi}{2}}\]

Remarque 1

Dans ce calcul, il était essentiel de prouver la continuité de F en 0. On aurait pu établir la continuité de F sur \left]0,+\infty\right[ à moindre frais, car il suffit de prouver la convergence uniforme de la suite \left(F_{n}\right)_{n\geqslant0} sur \left[a,+\infty\right[ pour tout a>0, ce qui s’obtient par une majoration directe. En effet, pour tout n\in\mathbb{N} et tout x\in\left[a,+\infty\right[ :

    \begin{eqnarray*}\left|F\left(x\right)-F_{n}\left(x\right)\right| & = & \left|\int_{n}^{+\infty}e^{-xt}\dfrac{\sin\left(t\right)}{t}\thinspace dt\right|\\& \leqslant & \int_{n}^{+\infty}e^{-xt}\thinspace dt\\& \leqslant & \int_{n}^{+\infty}e^{-at}\thinspace dt\\& = & \dfrac{e^{-an}}{a}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\end{eqnarray*}

Mais bien sûr, cela ne permet pas de calculer l’intégrale de Dirichlet \int_0^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}\,dt

Remarque 2

Si, dans l’énoncé de l’exemple 2, l’hypothèse de semi-convergence de l’intégrale impropre \int_{0}^{+\infty}f\left(t\right)\thinspace dt est remplacée par l’hypothèse plus forte d’absolue convergence, la continuité de F est beaucoup plus simple à établir. En effet, pour tout n\in\mathbb{N} et pour tout x\geqslant0 :

    \begin{eqnarray*}\left|F\left(x\right)-F_{n}\left(x\right)\right| & = & \left|\int_{n}^{+\infty}e^{-xt}\thinspace f\left(t\right)\thinspace dt\right|\\& \leqslant & \int_{n}^{+\infty}\left|f\left(t\right)\right|\thinspace dt\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\end{eqnarray*}

Pour toutes questions ou remarques, merci d’utiliser le formulaire de contact.

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La publication a un commentaire

  1. CAMBOU

    L’exemple 1 est une question classique mais qui est super traitée .
    Super et continuez !
    C’est un plaisir de lire vos articles

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