Lettre R

RACINE CARRÉE

Etant donné un nombre réel Y\geqslant0, on peut montrer que l’équation x^2=Y d’inconnue x\in\mathbb{R} possède deux solutions opposées (confondues si Y=0).

Celle qui est positive est la racine carrée de Y; on la note \sqrt Y ou Y^{1/2}.

Si Y<0, il n’existe aucune solution réelle à l’équation x^2=Y.

Par exemple :

    \[\sqrt{25}=5\qquad\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac43\qquad\sqrt2\in]1,41;\,1,42[\]

L’application \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+,t\mapsto\sqrt t est la bijection réciproque de \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+,t\mapsto t^2.

On peut montrer que si n\in\mathbb{N} n’est pas le carré d’un entier, alors \sqrt n\notin\mathbb{Q}.

D’une manière générale, si (A,+,\times) est un anneau et si a\in A, les racines carrées dans A de a sont les (éventuelles) solutions de l’équation x^2=a, d’inconnue x\in A.

Dans le corps (\mathbb{C},+,\times), tout z\neq0 possède deux racines carrées opposées et l’usage du symbole \sqrt z est proscrit (ou, tout au moins, pas recommandé à un niveau élémentaire, puisqu’il ne désigne pas un nombre complexe mais d’une paire de nombres complexes).

Dans l’anneau \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) des matrices carrées réelles de taille n\geqslant2, certains éléments ne possèdent aucune racine carrée, d’autres en possède un nombre fini, d’autres encore en possèdent une infinité.

Dans le corps \mathbb{F}_p (pour p premier impair), il existe \frac{p+1}2 éléments possédant une racine carrée et \frac{p-1}2 éléments n’en possédant pas.

RÉEL (nombre)

De façon naïve, les nombres réels sont tous les nombres que l’on peut associer à un point d’une droite D, après avoir choisi un repère normé pour celle-ci. En clair : on commence par choisir deux points de D; l’un est associé à 0 et l’autre à 1. Après cela, une correspondance bijective est établie entre D et \mathbb{R} : chaque point est associé à un nombre réel bien déterminé et réciproquement. L’illustration ci-dessous donne une idée de cette correspondance :

On peut aussi se représenter un nombre réel en considérant son développement décimal illimité :

    \begin{eqnarray*}1/3 & = & 0,3333333\cdots\\\sqrt{2} & = & 1,4142136\cdots\\\pi & = & 3,1415926\cdots\end{eqnarray*}


Mais il faut bien reconnaître que cette écriture, avec ses points de suspension, manque cruellement de rigueur. Pour une construction sérieuse de \mathbb{R}, voir plus bas.

Brève énumération de quelques sous-ensembles importants de \mathbb{R} :

  • l’ensemble \mathbb{N} des entiers naturels : 0, 1, 2, 3, etc …
  • l’ensemble \mathbb{Z} des entiers relatifs : …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
  • l’ensemble \mathbb{D} des nombres décimaux : ce sont les a\times10^{-p} pour a\in\mathbb{Z} et p\in\mathbb{N}
  • l’ensemble \mathbb{Q} des nombres rationnels, c’est-à-dire de la forme p/q avec p\in\mathbb{Z} et q\in\mathbb{N}^{\star}
  • l’ensemble \mathbb{R}-\mathbb{Q} des nombres irrationnels : tous les réels … qui ne sont pas rationnels ! \sqrt{2}, e, \pi et beaucoup, beaucoup d’autres …
  • l’ensemble \mathbb{A} des nombres algébriques : ce sont les solutions d’équations de la forme P\left(x\right)=0 avec P un polynôme de degré \geqslant1 à coefficients entiers.

Ces ensembles, à l’exception de \mathbb{R}-\mathbb{Q}, sont dotés d’une structure algébrique (\mathbb{Z} et \mathbb{D} sont des anneaux, \mathbb{Q} et \mathbb{A} sont des corps).

Schéma d’une construction du corps des nombres réels

En supposant connu le corps \mathbb{Q} des rationnels, on peut construire un corps totalement ordonné, archimédien et complet admettant un sous-corps isomorphe à \mathbb{Q}. En outre, un tel corps est unique à isomorphisme (de corps) près.

Voici, dans les grandes lignes, le plan d’une telle construction : on quotiente l’anneau des suites de Cauchy de rationnels par l’idéal constitué des suites de limite nulle. Comme cet idéal est maximal, le quotient est un corps, que l’on note \mathbb{R}. En associant à tout rationnel la classe de la suite constante qu’il définit, on établit un morphisme injectif de corps, qui permet d’identifier \mathbb{Q} à un sous-corps de \mathbb{R}. Il reste à prouver le caractère archimédien et la complétude de \mathbb{R}.

Cette construction, attribuée à Charles Meray ainsi qu’à Georg Cantor n’est qu’une parmi d’autres. Le mathématicien allemand Richard Dedekind en a proposé une autre, reposant sur la notion de coupures de rationnels.

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