Lettre O

ORDRE (relation d’)

Etant donné un ensemble $E,$ une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ est appelée une relation d’ordre lorsqu’elle est :

réflexive : $\forall x\in E,\thinspace x\mathcal{R}x$
antisymétrique : $\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace\left(x\mathcal{R}y\text{ et }y\mathcal{R}x\right)\Rightarrow x=y$
transitive : $\forall\left(x,y,z\right)\in E^{3},\thinspace\left(x\mathcal{R}y\text{ et }y\mathcal{R}z\right)\Rightarrow x\mathcal{R}z$

Quelques exemples classiques :

la relation $\leqslant$ (inférieur ou égal ) dans $\mathbb{R}$
l’ordre lexicographique associé à un alphabet
la relation ⊂ (inclusion) dans $\mathcal{P}\left(X\right)$ où $X$ est un ensemble quelconque
la relation | (divisibilité) dans $\mathbb{N}$

D’une manière générale, étant donnée une relation d’ordre $\mathcal{R}$ sur un ensemble $E,$ l’ordre est dit total lorsque les éléments de $E$ sont deux à deux comparables :

$\forall\left(a,b\right)\in E^{2},\thinspace a\mathcal{R}b\;\text{ou}\;b\mathcal{R}a$

Il dit partiel dans le cas contraire. Parmi les quatre exemples ci-dessus, l’ordre est total pour les deux premiers et partiel pour les deux suivants.

Etant donné un ensemble $E$ muni d’une relation d’ordre $\mathcal{R},$ une partie $A$ de $E$ possède un plus petit élément lorsque :

$\exists a\in A;\thinspace\forall x\in A,\thinspace a\mathcal{R}x$

L’existence d’un tel $a$ n’est pas garantie. Par exemple : dans $\mathbb{R}$ muni de $\leqslant,$ la partie $\left[0,1\right]$ admet 0 pour plus petit élément, mais la partie $\left]0,1\right]$ ne possède pas de plus petit élément. En revanche l’unicité découle aussitôt de l’antisymétrie (si $a,a'\in A$ sont des plus petits éléments de $A,$ alors $a\mathcal{R}a'$ et $a'\mathcal{R}a,$ d’où $a=a').$

L’ensemble $E$ est dit bien ordonné lorsque toute partie non vide de $E$ admet un plus petit élément. $\mathbb{N}$ est donc bien ordonné alors que $\mathbb{R}$ ne l’est pas (pour l’ordre usuel $\leqslant).$ Noter qu’un bon ordre est nécessairement un ordre total : étant donnés $x,y\in E,$ ces deux éléments sont comparables puisque la paire $\left\{ x,y\right\}$ admet un plus petit élément.

Une conséquence de l’axiome du choix est l’existence, pour tout ensemble non vide, d’un bon ordre.

ORTHOCENTRE

Etant donné une triangle $T=ABC$ du plan affine euclidien, on définit la hauteur issue de $A$ comme étant la droite passant par le sommet $A$ et perpendiculaire à la droite $\left(BC\right).$

On définit pareillement les hauteurs issues de $B$ et de $C.$

Comme le suggère l’illustration dynamique ci-dessous, les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes : elles passent toutes les trois par un même point, appelé orthocentre de $T.$

Illustration dynamique

Mode d’emploi

Lorsqu’on déplace le curseur, le sommet le plus proche est activé (si toutefois il est assez proche). En pressant simultanément sur SHIFT, on déplace ce point.

Sous la figure, sont disposés 5 boutons :

Bouton H : active / désactive l’affichage des hauteurs et de l’orthocentre H
Bouton G : active / désactive l’affichage de l’isobarycentre G
Bouton O : active / désactive l’affichage du cercle circonscrit et de son centre O
Bouton E : active / désactive l’affichage de la droite d’Euler, du cercle d’Euler et de son centre E
Bouton 9 : active / désactive l’affichage des neufs points d’Euler (à savoir : les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux des segments joignant chaque sommet à l’orthocentre). Ces 9 points sont cocycliques : le cercle qui les porte est appelé cercle d’Euler du triangle.

Voici comment prouver que les trois hauteurs sont concourantes.

Les hauteurs issues de $A$ et de $B$ sont sécantes en un point $H$ (elles ne sont pas paralèlles, sans quoi les droites $\left(BC\right)$ et $\left(AC\right)$ seraient parallèles, donc confondues et $ABC$ ne serait pas un vrai triangle …). Il s’agit de voir que $H$ appartient à la hauteur issue de $C.$ Pour cela, on s’appuie sur la relation :

( $\star$ ) $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB}=0$

qui valable pour tout point $M$ du plan et dont la preuve est détaillée ci-dessous.

Choisissons $M=H$ . Par hypothèse, les produits scalaires $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}$ sont nuls. Il en résulte que $\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0,$ ce qui prouve que $H$ appartient à la hauteur issue de $C.$

Preuve de la relation $(\star)$ (cliquer pour déplier / replier)

D’après la relation de Chasles :

$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}$

donc :

$\begin{eqnarray*}& & \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB}\\& = & \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}+\left(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}\right).\overrightarrow{CA}+\left(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{AB}\\& = & -\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=0\end{eqnarray*}$

OSCILLANTE (suite)

Une suite réelle $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant0}$ est dite oscillante lorsque son sens de variation est « en zig-zag » : une alternance de montées et de descentes …

De manière précise, cela signifie que l’expression $\left(-1\right)^{n}\left(u_{n+1}-u_{n}\right)$ est de signe constant.

Si ce signe est positif, alors :

$u_{1}\geqslant u_{0},\;u_{2}\leqslant u_{1},\;u_{3}\geqslant u_{2},\;u_{4}\leqslant u_{3},\;\text{etc …}$

et s’il est négatif, alors :

$u_{1}\leqslant u_{0},\;u_{2}\geqslant u_{1},\;u_{3}\leqslant u_{3},\;u_{4}\geqslant u_{3},\;\text{etc …}$

Exemple 1

La suite de terme général $u_{n}=\left(-1\right)^{n}$ est oscillante.

Exemple 2

Si $s>0$ alors la suite définie par :

$u_{0}=s\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n+1}=\frac{1}{1+u_{n}}$

est oscillante.

Plus généralement, si $I$ est un intervalle (non trivial) de $\mathbb{R}$ et si $f:I\rightarrow I$ est décroissante, alors pour tout $s\in I,$ la suite définie par les relations :

$u_{0}=s\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$

est oscillante.

Remarque

On notera que si $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant0}$ est oscillante, alors les suites extraites $\left(u_{2n}\right)_{n\geqslant0}$ et $\left(u_{2n+1}\right)_{n\geqslant0}$ sont monotones et de sens de variation contraires. Dans certains cas, on peut montrer avec le théorème de la limite monotone que ces deux suites convergent vers une même limite $\ell.$

On peut alors conclure que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant0}$ converge vers $\ell.$

OUVERT

La notion de partie ouverte est présentée ici dans $\mathbb{R}$ par souci de simplicité. Son cadre naturel est celui des espaces topologiques.

On dit d’une partie $A$ de $\mathbb{R}$ que c’est un ouvert lorsque :

$\forall a\in A,\thinspace\exists r>0;\thinspace\left]a-r,a+r\right[\subset A$

Intuitivement, cela signifie que tout réel suffisamment proche d’un élément de $A$ appartient aussi à $A.$

Les parties suivantes de $\mathbb{R}$ sont des ouverts :

$\emptyset$
$\mathbb{R}$
$\left]a,b\right[$ pour tout couple $\left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2}$ tel que $a<b$
l’union de toute famille d’ouverts
l’intersection d’une famille finie d’ouverts
l’image réciproque d’un ouvert par une application continue $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

Les parties suivantes de $\mathbb{R}$ ne sont pas des ouverts :

$\left\{ a\right\}$ pour tout $a\in\mathbb{R}$
$\left[a,b\right],$ $\left[a,b\right[$ et $\left]a,b\right]$ pour tout couple $\left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2}$ tel que $a<b$
$\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$

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