Lettre K

KRONECKER (symbole de)

Si $I$ est un ensemble quelconque et $(i,j)$ un couple d’éléments de $I$ , on note :

$\delta_{i,j}=\left\{\begin{matrix}1 & \text{si }i=j\\0 & \text{sinon}\end{matrix}\right.$

Cette notation est d’usage fréquent, notamment en algèbre linéaire.

Exemples

Dans ce qui suit, $\mathbb{K}$ désigne un corps ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ généralement).

Soit $\beta=(e_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ une base d’un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $E$ . Pour $j\in\llbracket1,n\rrbracket$ , on note $e_j^\star$ l’unique forme linéaire vérifiant :
$\boxed{\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\,e_j^\star(e_i)=\delta_{i,j}}$
C’est la j-ème forme coordonnée relativement à cette base. On peut montrer que la famille $(e_j^\star)_{1\leqslant j\leqslant n}$ est une base de $\mathcal{L}(E,\mathbb{K})$ ; on l’appelle la base duale de $\beta$ .
Etant donnés un entier $n\geqslant2$ et un couple $(p,q)\in\llbracket1,n\rrbracket^2$ , on note $E_{p,q}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ la matrice dont les termes sont tous nuls, à l’exception de celui situé à l’intersection de la ligne $p$ et de la colonne $q$ , qui vaut 1. On peut donc écrire :
$\boxed{E_{p,q}=\left[\delta_{p,i}\delta_{q,j}\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n}}$
Les matrices $E_{p,q}$ forment la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .

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