Lettre K

KRONECKER (symbole de)

Si I est un ensemble quelconque et (i,j) un couple d’éléments de I, on note :

    \[\delta_{i,j}=\left\{\begin{matrix}1 & \text{si }i=j\\0 & \text{sinon}\end{matrix}\right.\]

Cette notation est d’usage fréquent, notamment en algèbre linéaire.

Exemples

Dans ce qui suit, \mathbb{K} désigne un corps (\mathbb{R} ou \mathbb{C} généralement).

  1. Soit \beta=(e_i)_{1\leqslant i\leqslant n} une base d’un \mathbb{K}-espace vectoriel E. Pour j\in\llbracket1,n\rrbracket, on note e_j^\star l’unique forme linéaire vérifiant :

        \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\,e_j^\star(e_i)=\delta_{i,j}}$}\]

    C’est la j-ème forme coordonnée relativement à cette base. On peut montrer que la famille (e_j^\star)_{1\leqslant j\leqslant n} est une base de \mathcal{L}(E,\mathbb{K}); on l’appelle la base duale de \beta.
  2. Etant donnés un entier n\geqslant2 et un couple (p,q)\in\llbracket1,n\rrbracket^2, on note E_{p,q}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) la matrice dont les termes sont tous nuls, à l’exception de celui situé à l’intersection de la ligne p et de la colonne q, qui vaut 1. On peut donc écrire :

        \[\boxed{E_{p,q}=\left[\delta_{p,i}\delta_{q,j}\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n}}\]

    Les matrices E_{p,q} forment la base canonique de \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). La formule suivante est utile :

        \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{\forall(p,q,r,s)\in\llbracket1,n\rrbracket^4,\,E_{p,q}E_{r,s}=\delta_{q,r}E_{p,s}}$}\]

  3. Etant donnés un entier n\geqslant1, des scalaires a_0,\cdots,a_{n-1} tous distincts et des scalaires b_0,\cdots,b_{n-1} quelconques, il existe un unique polynôme P\in\mathbb{K}_{n-1}[X] tel que \forall i\in\llbracket0,n-1\rrbracket,\,P(a_i)=b_i.
    Si l’on pose, pour tout i\in\llbracket0,n-1\rrbracket :

        \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{L_i=\prod_{0\leqslant k\leqslant n-1\atop k\neq i}\frac{X-a_k}{a_i-a_k}}$}\]

    alors

        \[\forall(i,j)\in\llbracket0,n-1\rrbracket^2,\,L_i(a_j)=\delta_{i,j}\]

    et le polynôme P ci-dessus se décompose sous la forme :

        \[P=\sum_{i=0}^{n-1}b_iL_i\]

    Pour plus d’information sur ces polynômes, on pourra se reporter à cette vidéo.
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