Lettre K

(symbole de) KRONECKER

Si I est un ensemble quelconque et (i,j) un couple d’éléments de I, on note :

    \[\delta_{i,j}=\left\{\begin{matrix}1 & \text{si }i=j\\0 & \text{sinon}\end{matrix}\right.\]

Cette notation est d’usage fréquent, notamment en algèbre linéaire.

Exemples

Dans ce qui suit, \mathbb{K} désigne un corps (\mathbb{R} ou \mathbb{C} généralement).

  1. Soit \beta=(e_i)_{1\leqslant i\leqslant n} une base d’un \mathbb{K}-espace vectoriel E. Pour tout j\in\llbracket1,n\rrbracket, on note e_j^\star la j-ème forme coordonnée relativement à cette base. C’est l’unique forme linéaire vérifiant :

        \[\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\,e_j^\star(e_i)=\delta_{i,j}\]

    On peut montrer que la famille (e_j^\star)_{1\leqslant j\leqslant n} est une base de \mathcal{L}(E,\mathbb{K}) (c’est la base duale de \beta).
  2. Etant donnés un entier n\geqslant2 et un couple (p,q)\in\llbracket1,n\rrbracket^2, on note E_{p,q}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) la matrice dont les termes sont tous nuls, à l’exception de celui situé à l’intersection de la ligne p et de la colonne q, qui vaut 1. On peut donc écrire :

        \[E_{p,q}=\left[\delta_{p,i}\delta_{q,j}\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n}\]

    Noter que les matrices E_{p,q} forment la base canonique de \mathcal{M}_n(\mathbb{K}).

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