Lettre Q
QUANTIFICATEUR
En mathématiques, on utilise de façon permanente les symboles :
- d’égalité =
- d’appartenance ∈
- d’inclusion ⊂
- d’implication ⇒
- d’équivalence logique ⇔
A ceux-là s’ajoutent et
qu’on appelle les quantificateurs.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2021/02/illustration-quantificateur-universel.png)
Quantificateur Existentiel →
← Quantificateur Universel
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2021/02/illustration-quantificateur-existentiel.png)
Exemple 1
L’assertion
![Rendered by QuickLaTeX.com x,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6a014c6186d0d54ac300f7a3c477dc2e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f47c0ca630daa11f8093aacc5791a58d_l3.png)
Elle est vraie, c’est bien connu 🙂
Exemple 2
L’assertion
Elle est bien entendu fausse …
Lorsque deux quantificateurs distincts se suivent, l’ordre importe !
Ainsi, dans l’exemple ci-dessus, on obtient après interversion la nouvelle assertion :
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f47c0ca630daa11f8093aacc5791a58d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com y](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c508cbb49f0d79a33861472c00cdf54d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f47c0ca630daa11f8093aacc5791a58d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com y=x+1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c0a2be02d69742cc6aba355da50fbd96_l3.png)
Pour en savoir davantage sur l’interversion de quantificateurs, voir cet article.
Exemple 3
L’assertion
En effet :
Mais cet entier n’est pas unique, puisque
Exemple 4
Pour exprimer l’existence et l’unicité d’un objet possédant une propriété donnée, on place un point d’exclamation juste après le quantificateur existentiel. Ainsi, l’assertion :
![Rendered by QuickLaTeX.com y](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c508cbb49f0d79a33861472c00cdf54d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x+e^{x}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e644ec485f5d23c6bdd815b37b546c59_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3b7e89ad205c99867c514e1c0757d27_l3.png)
Elle exprime donc le caractère bijectif de l’application
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2021/02/illustration-quantificateur-1.png)
Exemple 5
L’assertion
Nul ne sait, à ce jour (février 2021), si elle est vraie… c’est la célèbre conjecture de Goldbach.