Lettre I

IDENTITÉ (application)

Etant donné un ensemble non vide X, on appelle identité de X (ou application identique de X) l’application

    \[id_{X}:X\rightarrow X,\thinspace x\mapsto x\]

Chaque élément a donc simplement pour image lui-même.

Le graphe de id_{X} est la diagonale de X, c’est-à-dire l’ensemble \left\{ \left(x,x\right);\thinspace x\in X\right\} \subset X^{2}.

D’évidence, id_{X} est une bijection qui coïncide avec sa bijection réciproque. Plus généralement, toute application f:X\rightarrow X telle que f\circ f=id_{X} est bijective et coïncide avec sa réciproque (une telle application est appelée une involution).

Si X,Y sont deux ensembles non vides, alors pour toute application f:X\rightarrow Y :

    \[f\circ id_{X}=f\]

et pour toute application g:Y\rightarrow X :

    \[id_{X}\circ g=g\]

En particulier, id_{X} est neutre dans l’ensemble X^{X} des applications de X dans lui-même muni de l’opération \circ. Comme cette opération est associative, on voit que \left(X^{X},\circ\right) est un monoïde.

En algèbre linéaire : si E est un espace vectoriel sur un corps \mathbb{K}, les endomorphismes de la forme \lambda\:id_{E} (pour \lambda\in\mathbb{K}) sont appelés homothéties. Ils constituent le centre de la \mathbb{K}-algèbre \left(\mathcal{L}\left(E\right),+,\circ,\cdot\right).

IDENTITÉ REMARQUABLE

On entend généralement par identité remarquable une égalité faisant intervenir une ou plusieurs variable(s), qui est vraie pour toute(s) valeur(s) de la (des) variable(s).

Les exemples les plus célèbres sont certainement :

(1)   \[\boxed{\forall\left(a,b\right)\in\mathbb{C}^{2},\thinspace\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}\]

et

(2)   \[\boxed{\forall\left(a,b\right)\in\mathbb{C}^{2},\thinspace a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\]

Cette vidéo aborde de manière élémentaire la question des identités remarquables.

La relation (1) se généralise en la formule du binôme :

    \[\forall n\in\mathbb{N},\forall\left(a,b\right)\in\mathbb{C}^{2},\thinspace\left(a+b\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}\]

La relation (2) se généralise sous la forme :

    \[\forall n\in\mathbb{N}-\left\{ 0,1\right\} ,\forall\left(a,b\right)\in\mathbb{C}^{2},\thinspace a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\sum_{k=1}^{n}a^{n-k}b^{k-1}\]

On peut d’ailleurs généraliser davantage en remplaçant le corps des nombres complexes par un anneau A et en considérant que a,b sont deux éléments de A, qui commutent.

Voici quelques identités remarquables, plus “exotiques” :

Exemple 1

Pour tout \left(a,b,c,d\right)\in\mathbb{C}^{2} :

    \[\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ad-bc\right)^{2}+\left(ac+bd\right)^{2}\]

Il s’agit d’un cas particulier de l’identité de Lagrange. Cette identité montre par exemple que l’ensemble des entiers naturels pouvant s’écrire comme la somme de deux carrés parfaits est stable par produit.

Exemple 2

Pour tout \left(a,b,c\right)\in\mathbb{C}^{3} :

    \[\left(a+b+c\right)\left(a+bj+cj^{2}\right)\left(a+bj^{2}+cj\right)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\]

Cette identité est attribuée à Gauss. Elle permet par exemple d’élaborer une preuve courte de l’inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique pour trois réels positifs a,b,c :

    \[\sqrt[3]{abc}\leqslant\frac{a+b+c}{3}\]

En effet, si a,b,c sont réels alors :

    \begin{eqnarray*} \left(a+bj+cj^{2}\right)\left(a+bj^{2}+cj\right) & = & a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc\\ & = & \frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^{2}+\left(b-c\right)^{2}+\left(c-a\right)^{2}\right]\\ & \geqslant & 0\end{eqnarray*}

Exemple 3

Pour tout \left(a,b,c\right)\in\mathbb{C}^{3}, l’on pose :

    \[X=\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)\]

et

    \[Y=a^{4}+b^{4}+c^{4}-2\left(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}\right)\]

alors X=Y.

Ceci montre notamment que, pour a,b,c réels :
\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)\leqslant a^{4}+b^{4}+c^{4} avec égalité si, et seulement si, deux au moins des trois nombres a,b,c sont nuls.

On entend généralement par identité remarquable une égalité faisant intervenir une ou plusieurs variable(s), qui est vraie pour toute(s) valeur(s) de la (des) variable(s).

Les exemples les plus célèbres sont certainement :

(1)   \[\boxed{\forall\left(a,b\right)\in\mathbb{C}^{2},\thinspace\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}\]

et

(2)   \[\boxed{\forall\left(a,b\right)\in\mathbb{C}^{2},\thinspace a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\]

Cette vidéo aborde de manière élémentaire la question des identités remarquables.

La relation (1) se généralise en la formule du binôme :

    \[\forall n\in\mathbb{N},\forall\left(a,b\right)\in\mathbb{C}^{2},\thinspace\left(a+b\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}\]

La relation (2) se généralise sous la forme :

    \[\forall n\in\mathbb{N}-\left\{ 0,1\right\} ,\forall\left(a,b\right)\in\mathbb{C}^{2},\thinspace a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\sum_{k=1}^{n}a^{n-k}b^{k-1}\]

On peut d’ailleurs généraliser davantage en remplaçant le corps des nombres complexes par un anneau A et en considérant que a,b sont deux éléments de A, qui commutent.

Voici quelques identités remarquables, plus “exotiques” :

Exemple 1

Pour tout \left(a,b,c,d\right)\in\mathbb{C}^{2} :

    \[\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ad-bc\right)^{2}+\left(ac+bd\right)^{2}\]

Il s’agit d’un cas particulier de l’identité de Lagrange. Cette identité montre par exemple que l’ensemble des entiers naturels pouvant s’écrire comme la somme de deux carrés parfaits est stable par produit.

Exemple 2

Pour tout \left(a,b,c\right)\in\mathbb{C}^{3} :

    \[\left(a+b+c\right)\left(a+bj+cj^{2}\right)\left(a+bj^{2}+cj\right)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\]

Cette identité est attribuée à Gauss. Elle permet par exemple d’élaborer une preuve courte de l’inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique pour trois réels positifs a,b,c :

    \[\sqrt[3]{abc}\leqslant\frac{a+b+c}{3}\]

En effet, si a,b,c sont réels alors :

    \begin{eqnarray*} \left(a+bj+cj^{2}\right)\left(a+bj^{2}+cj\right) & = & a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc\\ & = & \frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^{2}+\left(b-c\right)^{2}+\left(c-a\right)^{2}\right]\\ & \geqslant & 0\end{eqnarray*}

Exemple 3

Pour tout \left(a,b,c\right)\in\mathbb{C}^{3}, l’on pose :

    \[X=\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)\]

et

    \[Y=a^{4}+b^{4}+c^{4}-2\left(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}\right)\]

alors X=Y.

Ceci montre notamment que, pour a,b,c réels :
\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)\leqslant a^{4}+b^{4}+c^{4} avec égalité si, et seulement si, deux au moins des trois nombres a,b,c sont nuls.

Exemple 4

Pour tout couple \left(x,y\right) de réels positifs :

    \[\left(x+y-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{2}=2\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-y\right)\]

Cette identité apparaît dans les carnets de Ramanujan.

Elle fait aussi l’objet du challenge n° 67

INDICATRICE (fonction)

Etant donnés un ensemble E et une partie A de E, la fonction indicatrice de A est l’application :

    \[\mathds{1}_A:E\to\{0,1\},\,e\mapsto\left\{\begin{matrix}1 & \text{si }e\in A\\0 & \text{sinon}\end{matrix}\right.\]

Exemples

Si A est une partie finie d’un ensemble E, alors

    \[\text{card}(A)=\sum_{e\in E}\mathds{1}_A(e)\]

La fonction indicatrice de \mathbb{Q} est une application discontinue en tout point.

Si J est un intervalle de \mathbb{R}, de longueur \ell>0, alors \frac1{\ell}\mathds{1}_J est une densité de probabilité pour la loi uniforme sur J.

Si (\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P}) est un espace probabilisé et A\in\mathcal{T} un événement, la variable aléatoire indicatrice de A vérifie \mathbb{E}(\mathds{1}_A)=\mathbb{P}(A).

INTÈGRE (anneau)

Définition

Un anneau (A,+,\times) est dit intègre s’il est non nul, commutatif et si de plus :

    \[\forall(x,y)\in A^2,\,xy=0\Rightarrow x=0\text{ ou }y=0\]

Cette célèbre phrase, entendue dans les cours d’enseignement secondaire, exprime l’intégrité de l’anneau des nombres réels.

En fait, les nombres réels forment un corps et tout corps est un anneau intègre (mais la réciproque est fausse, comme on le voit avec l’anneau (\mathbb{Z},+,\times) par exemple).

Comme exemples d’anneaux non intègres, citons :

  • les anneaux quotients (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times) pour n\geqslant 2, non premier.
  • l’anneau (\mathcal{M}_2(\mathbb{R}),+,\times).
  • l’anneau des applications continues de \mathbb{R} dans \mathbb{R}.

On peut montrer que tout anneau intègre fini est un corps.

Pour un anneau commutatif A, l’intégrité de A équivaut à celle de l’anneau de polynômes A[ X ].

Pour finir, signalons l’important :

Théorème

Pour tout anneau intègre (A,+,\times), la relation \sim définie sur A\times(A-\{0\}) par :

    \[\boxed{(a,b)\sim(c,d)\Leftrightarrow ad=bc}\]

est une relation d’équivalence.

On note \overline{(x,y)} la classe d’équivalence de (x,y)\in A\times(A-\{0\}).

En posant :

    \[\begin{matrix}\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)} & = & \overline{(ad+bc,bd)}\\\overline{(a,b)}\times\overline{(c,d)} & = & \overline{(ac,bd)}\end{matrix}\]

on définit une structure de corps sur l’ensemble K des classes d’équivalence.

En outre l’application A\to K,a\mapsto\overline{(a,1)} est un morphisme injectif d’anneaux, ce qui permet d’identifier A à un sous-anneau de K.

K est appelé le corps des fractions de A. C’est ainsi que l’on construit \mathbb{Q} (corps des nombres rationnels) à partir de \mathbb{Z} (anneau des entiers) ou encore \mathbb{K}(X) (corps des fractions rationnelles) à partir de \mathbb{K}[X] (anneau des polynômes).

INTERVALLE

Définition

Un intervalle de \mathbb{R} est une partie I de \mathbb{R} vérifiant la condition :

    \[\forall\left(x,y\right)\in I^{2},\thinspace\forall t\in\left[0,1\right],\thinspace\left(1-t\right)x+ty\in I\]

Autrement dit, un intervalle est une partie convexe de \mathbb{R}.

On classe les intervalles en sous-catégories (ci-dessous, a,b\in\mathbb{R} sont tels que a<b) :

  • la partie vide :

        \[\emptyset\]

  • les singletons :

        \[\left\{ a\right\}\]

  • les segments non triviaux :

        \[\left[a,b\right]\]

  • les intervalles semi-ouverts bornés :

        \[\left]a,b\right]\quad\text{ou bien}\quad\left[a,b\right[\]

  • les intervalles ouverts bornés :

        \[\left]a,b\right[\]

  • les intervalles ouverts non bornés autres que \mathbb{R} :

        \[\left]-\infty,a\right[\quad\text{ou bien}\quad\left]a,+\infty\right[\]

  • les intervalles fermés non bornés autres que \mathbb{R} :

        \[\left]-\infty,a\right]\quad\text{ou bien}\quad\left[a,+\infty\right[\]

  • \mathbb{R}

La longueur d’un intervalle borné non vide I est : \ell\left(I\right)=\sup\left(I\right)-\inf\left(I\right).
Par convention \ell\left(\emptyset\right)=0 et \ell\left(I\right)=+\infty si I est non borné.

Un intervalle est qualifié de trivial s’il est vide ou réduit à un singleton. Cela revient à dire qu’il est de longueur nulle.

Les intervalles sont présents dans les énoncés d’importants théorèmes d’analyse réelle. Par exemple :

  1. Si I est un intervalle non trivial et f:I\rightarrow\mathbb{R} est continue et prend des valeurs positives et des valeurs négatives, alors f s’annule.
  2. Si I est un intervalle non trivial et si f:I\rightarrow\mathbb{R} est continue et injective, alors f est strictement monotone.
  3. Si S est un segment (non trivial) et f:S\rightarrow\mathbb{R} continue, alors f est bornée et atteint ses bornes.

Remarque

La notion de segment peut-être étendue à un quelconque \mathbb{R}-espace vectoriel E. Etant donnés deux vecteurs a,b\in E :

    \[\left[a,b\right]=\left\{ \left(1-t\right)a+tb;\thinspace t\in\left[0,1\right]\right\}\]

Noter que, dans cette généralisation, \left[a,b\right]=\left[b,a\right] et que a,b peuvent être éventuellement égaux.

INVOLUTION

Définition

Etant donné un ensemble non vide X, on appelle involution de X toute application f:X\rightarrow X vérifiant f\circ f=id_{X}.

Une telle application est nécessairement bijective.

Une involution est parfois appelée une symétrie (notamment en algèbre linéaire, lorsqu’il s’agit d’un endomorphisme involutif).

Exemple 1

Parmi les applications affines \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto ax+b, les involutions sont :

  • d’une part id_{\mathbb{R}} (qui correspond à a=1 et b=0)
  • et d’autre part celles associées à a=-1 (et b quelconque)

Exemple 2

L’application \left[0,1\right]\rightarrow\left[0,1\right],\thinspace x\mapsto\sqrt{1-x^{2}} est une involution.

Exemple 3

La seule involution croissante de \mathbb{R} est id_{\mathbb{R}}.

Exemple 4

Si E est un \mathbb{R}-espace vectoriel de dimension finie et si f est un endomorphisme involutif de E, alors f est diagonalisable et \frac{1}{2}\left(id_{E}+f\right) est un projecteur.

Exemple 5

Dans le groupe symétrique \mathfrak{S}_{n}, les transpositions sont des involutions mais ce ne sont pas les seules. Si l’on note I_{n} le nombre d’involutions dans \mathfrak{S}_{n}, alors pour tout n\geqslant2 :

    \[I_{n}=I_{n-1}+\left(n-1\right)I_{n-2}\]

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