Lettre C
CANONIQUE (base)
Commençons par un point important, souvent mal compris : étant donné un espace vectoriel E abstrait, de dimension finie, l’expression base canonique de E n’a AUCUN sens !
En revanche, cette expression est bien définie lorsque est
où bien
(espace des polynômes de degré inférieur où égal
ou encore
(espace des matrices rectangulaires à
lignes et
colonnes) :
La base canonique de est :
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{K}_{n}\left[X\right]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32ea0dfa8b6dd19ff6309a8689335b00_l3.png)






Par exemple, la base canonique de

![Rendered by QuickLaTeX.com M=\left[m_{i,j}\right]_{1\leqslant i\leqslant p,\thinspace1\leqslant j\leqslant q}\in\mathcal{M}_{p,q}\left(\mathbb{K}\right),](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e33b39a25ca7b9780b027d2317e38936_l3.png)





CARDINAL
Le cardinal d’un ensemble fini est simplement le nombre d’éléments de
.
On le note : .
Par exemple, si , alors
.
Pour être plus précis, on peut définir cette notion comme suit :
- l’ensemble vide est de cardinal 0
- si
, un ensemble est dit de cardinal
lorsqu’il est en bijection avec
La validité de cette définition résulte du fait que si sont deux entiers naturels non nuls tels que
et
sont en bijection, alors
.
Si sont deux ensembles finis et disjoints, alors :

On peut encore généraliser … pour obtenir la formule du crible, qui donne le cardinal d’une union finie d’ensembles finis.
La notion de cardinal s’étend aux cas des ensembles infinis, mais cette notion est plus délicate. Disons, sans rentrer dans les détails, que le cardinal d’un ensemble peut être défini comme la classe (propre) des ensembles équipotents à
(c’est-à-dire : des ensembles qui sont en bijection avec
).
CAUCHY-SCHWARZ (inégalité de)
Définition
Etant donné un espace vectoriel
on appelle forme bilinéaire symétrique positive (FBSP) sur
toute application
telle que, pour tout
:

On note classiquement l’application partielle
Notation analogue pour
désigne l’espace des formes linéaires sur
Théorème (inégalité de Cauchy-Schwarz)
Etant donnés un espace vectoriel
et une FBSP sur
:
(CS)
Bien entendu, ce résultat est aussi valable :
- si
est une forme bilinéaire symétrique négative.
- si
est un produit scalaire (FBS définie positive).
On peut montrer que les FBS qui satisfont (CS) sont exactement les FBSP et leurs opposées.
Voici trois versions particulières usuelles de (CS) :
Exemple 1
Pour tout et pour tous
et
:
Exemple 2
Pour tout couple d’applications continues par morceaux de
dans
:
Exemple 3
Si est un espace probabilisé et si
est un couple de variables aléatoires réelles possédant une variance, alors :
A toute FBSP est associée une semi-norme, définie par :
Bien sûr, cette semi-norme devient une norme à part entière si est un produit scalaire.
Définition
Etant donné un espace vectoriel
on appelle forme bilinéaire symétrique positive (FBSP) sur
toute application
telle que, pour tout
:

On note classiquement l’application partielle
Notation analogue pour
désigne l’espace des formes linéaires sur
Théorème (inégalité de Cauchy-Schwarz)
Etant donnés un espace vectoriel
et une FBSP sur
:
(CS)
Bien entendu, ce résultat est aussi valable :
- si
est une forme bilinéaire symétrique négative.
- si
est un produit scalaire (FBS définie positive).
On peut montrer que les FBS qui satisfont (CS) sont exactement les FBSP et leurs opposées.
Voici trois versions particulières usuelles de (CS) :
Exemple 1
Pour tout et pour tous
et
:
Exemple 2
Pour tout couple d’applications continues par morceaux de
dans
:
Exemple 3
Si est un espace probabilisé et si
est un couple de variables aléatoires réelles possédant une variance, alors :
A toute FBSP est associée une semi-norme, définie par :
Bien sûr, cette semi-norme devient une norme à part entière si est un produit scalaire.
Remarque
Dans le cas particulier d’un espace préhilbertien réel (espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire), on peut ajouter :
- que le cas d’égalité dans l’inégalité (CS) est celui ou la famille
est liée,
- que (CS) entraîne la continuité du produit scalaire. En conséquence, si
est une partie quelconque de
son orthogonal est fermé (comme intersection d’une famille d’hyperplans fermés).
CESÀRO (lemme de)
Lemme de Cesàro discret
Si une suite réelle possède une limite (finie ou infinie), alors la suite de terme général
On montre ce résultat en revenant à la définition de la convergence (ou de la divergence vers l’infini) d’une suite réelle. Une preuve détaillée est disponible dans cet article.
Sa réciproque est fausse, comme on peut le voir avec la suite de terme général En effet, la suite
converge vers 0, mais la suite
diverge.
On dispose toutefois d’une réciproque partielle :
Si la suite converge et si la suite
est monotone, alors la suite
converge aussi (et les limites sont fatalement égales). Davantage de détails à lire ici.
Le théorème de sommation des équivalents apporte une généralisation au lemme de Cesàro :
Si les suites à termes positifs et
sont équivalentes, alors les séries
et
sont de même nature; en outre :
- En cas de convergence :
- En cas de divergence :
En supposant la convergence de la suite vers une limite
et en choisissant
on retrouve le lemme de Cesàro énoncé au début.
Signalons aussi le :
Lemme de Cesàro, version continue
Etant donnée une application continue si
admet en
une limite
(finie ou non) alors :
Là encore, la réciproque est fausse. Par exemple :
mais la fonction cosinus ne possède pas de limite en
Un article dédié à l’histoire du lemme de Cesàro est consultable ici.
COMMUTATIVITÉ
Une opération définie sur un ensemble
est dite commutative lorsque
Par exemple, sont commutatives les opérations suivantes :
- addition et multiplication dans
- union et intersection dans
(ensemble des parties de
)
- pgcd et ppcm dans
En revanche, les opérations ci-dessous ne sont pas commutatives :
- soustraction dans
- division dans
En effet : et
Un groupe dont l’opération est commutative est dit abélien.
COMPACT
Un espace topologique est dit compact s’il est séparé (pour tout couple
de points distincts de
on peut trouver deux ouverts
disjoints, tels que
et
) et si l’on peut extraire de tout recouvrement ouvert de
un sous-recouvrement fini.
Cette dernière condition signifie que pour toute famille d’ouverts vérifiant
il existe
tel que
est fini et
On peut montrer que, pour un espace métrique (et, en particulier pour un espace vectoriel normé), cette définition équivaut à la suivante (appelée compacité séquentielle) : de toute suite à termes dans
on peut extraire une sous-suite convergente.
Etant donné d’un espace métrique :
- toute partie compacte de
est fermée.
- si
est compact, alors toute partie fermée de
est compacte.
- si
est une suite décroissante de parties compactes non vides, alors
Etant donnés deux espaces métriques :
- si
est une partie compacte de
et si
est une partie compacte de
alors
est une partie compacte de
- si
est compact et si
est continue, alors
est une partie compacte de
(énoncé
).
Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, les parties compactes sont celles qui sont fermées et bornées.
Cas particulier de l’énoncé : toute application continue d’un métrique compact dans
est bornée et atteint ses bornes. Ceci généralise le théorème selon lequel toute application continue
est bornée et atteint ses bornes (en effet : un segment est une partie fermée et bornée de
, donc un espace compact).
Exemple 1
Etant donné un evn
notons
sa boule unité fermée et
sa sphère unité. Alors la compacité de
et celle de
sont équivalentes. En effet, si la sphère
est compacte, alors comme l’application :
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Exemple 2
Dans étant donné un triangle
(enveloppe convexe de trois points
non alignés), il existe un point
en lequel le produit
est maximum. Il suffit de voir que
est compact (fermé et borné) et que l’application :
Un espace topologique est dit compact s’il est séparé (pour tout couple
de points distincts de
on peut trouver deux ouverts
disjoints, tels que
et
) et si l’on peut extraire de tout recouvrement ouvert de
un sous-recouvrement fini.
Cette dernière condition signifie que pour toute famille d’ouverts vérifiant
il existe
tel que
est fini et
On peut montrer que, pour un espace métrique (et, en particulier pour un espace vectoriel normé), cette définition équivaut à la suivante (appelée compacité séquentielle) : de toute suite à termes dans
on peut extraire une sous-suite convergente.
Etant donné d’un espace métrique :
- toute partie compacte de
est fermée.
- si
est compact, alors toute partie fermée de
est compacte.
- si
est une suite décroissante de parties compactes non vides, alors
Etant donnés deux espaces métriques :
- si
est une partie compacte de
et si
est une partie compacte de
alors
est une partie compacte de
- si
est compact et si
est continue, alors
est une partie compacte de
(énoncé
).
Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, les parties compactes sont celles qui sont fermées et bornées.
Cas particulier de l’énoncé : toute application continue d’un métrique compact dans
est bornée et atteint ses bornes. Ceci généralise le théorème selon lequel toute application continue
est bornée et atteint ses bornes (en effet : un segment est une partie fermée et bornée de
, donc un espace compact).
Exemple 1
Etant donné un evn
notons
sa boule unité fermée et
sa sphère unité. Alors la compacité de
et celle de
sont équivalentes. En effet, si la sphère
est compacte, alors comme l’application :
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Exemple 2
Dans étant donné un triangle
(enveloppe convexe de trois points
non alignés), il existe un point
en lequel le produit
est maximum. Il suffit de voir que
est compact (fermé et borné) et que l’application :
Exemple 3
Soit est un
evn et soient
deux parties de
.
Si est fermé et si
est compact, alors
est fermé. En effet, étant donnée une suite convergente
à termes dans
on peut poser, pour tout
:
avec
et
Comme
est compact, la suite
possède une suite extraite
qui converge vers un vecteur
La suite est alors convergente (différence de deux suites convergentes) et, en notant
sa limite :
car
est fermé. En notant
la limite de
qui est aussi celle de
on voit que :
COMPOSITION (loi o)
Etant donnés trois ensembles et deux applications
et
, on note
l’application
On dit que est la composée de
par
.
On peut étendre la définition au cas où avec
. Cette condition garantit en effet que l’on peut appliquer
à
, pour tout
.
Exemple
Si et
sont les applications suivantes :

Une propriété à la fois simple et fondamentale de la composition des applications est son associativité. Cela signifie que s’il est possible de composer par
et
par
, alors
Signalons pour finir que si sont deux applications d’un ensemble
dans lui-même, alors il se peut que
(mais ce n’est pas vrai en général).
On dit alors que et
commutent.
Etant donnés trois ensembles et deux applications
et
, on note
l’application
On dit que est la composée de
par
.
On peut étendre la définition au cas où avec
. Cette condition garantit en effet que l’on peut appliquer
à
, pour tout
.
Exemple
Si et
sont les applications suivantes :

Une propriété à la fois simple et fondamentale de la composition des applications est son associativité. Cela signifie que s’il est possible de composer par
et
par
, alors
Signalons pour finir que si sont deux applications d’un ensemble
dans lui-même, alors il se peut que
(mais ce n’est pas vrai en général).
On dit alors que et
commutent.
Exemple
Si , alors les polynômes de Tchebytchev de première espèce
et
commutent. En effet, pour tout
:
Ceci prouve que les polynômes et
sont égaux puisqu’ils coïncident sur l’ensemble
qui est infini.
CONVERGENCE (d’une suite)
Une suite réelle est dite convergente lorsqu’il existe un réel
tel que :




Le réel est alors unique. C’est la limite de
notée
ou bien
Une suite non convergente est dite divergente.
Tout ce qui précède se généralise sans aucune difficulté à un espace vectoriel normé, en remplaçant valeur absolue par norme …
Exemple 1
La suite de terme général :


Etant donné posons :
Alors et la condition
entraîne
Exemple 2
La suite de terme général :
En effet, supposons le contraire, notons sa limite et fixons un réel
Il existerait tel que :




➡ On peut montrer que toute suite réelle convergente est bornée. Cet exemple montre que la réciproque est fausse.
Exemple 3
La suite de terme général :





L’inégalité équivaut à
qui se prouve aisément par récurrence.
➡ Cet exemple montre qu’une suite peut converger, sans être monotone (et même : en n’étant monotone à partir d’aucun rang). Cependant :
Théorème (limite monotone)
Toute suite réelle, croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge.
Toutes les opérations raisonnables entre suites réelles convergentes produisent de nouvelles suites convergentes. Notamment :
- la somme de deux suites convergentes converge vers la somme de leurs limites.
- le produit de deux suites convergentes converge vers le produit de leurs limites.
- si
converge vers
alors il existe
tel que
pour tout
et, de plus, la suite
converge vers
- si
converge vers
alors la suite de terme général :
(c’est le lemme de Cesàro).
On dit que la suite réelle est de Cauchy lorsque :
CONVEXE (fonction)
Soit un intervalle non trivial. Une application
est dite convexe lorsque :




On dit que est concave lorsque
est convexe, ce qui revient à renverser l’inégalité de définition.
Les applications affines sont, si l’on peut dire, à l’interface entre l’ensemble des applications convexes et celui des applications concaves (elles en forment l’intersection).
On peut montrer que si est convexe, alors
est continue en tout point intérieur à
Mieux,
est en fait dérivable à gauche et à droite en un tel point.
Si est dérivable, alors :







Exemples
Les applications pour
ainsi que
pour
sont convexes.
Le logarithme népérien est concave sur
Pour tout , l’application
est convexe sur chaque
et concave sur chaque
Si est dérivable est convexe, alors :



Comme l’exponentielle est convexe, alors :
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Soit un intervalle non trivial. Une application
est dite convexe lorsque :




On dit que est concave lorsque
est convexe, ce qui revient à renverser l’inégalité de définition.
Les applications affines sont, si l’on peut dire, à l’interface entre l’ensemble des applications convexes et celui des applications concaves (elles en forment l’intersection).
On peut montrer que si est convexe, alors
est continue en tout point intérieur à
Mieux,
est en fait dérivable à gauche et à droite en un tel point.
Si est dérivable, alors :







Exemples
Les applications pour
ainsi que
pour
sont convexes.
Le logarithme népérien est concave sur
Pour tout , l’application
est convexe sur chaque
et concave sur chaque
Si est dérivable est convexe, alors :



Comme l’exponentielle est convexe, alors :
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Pour aller plus loin …
La notion d’application convexe se généralise.
Soit un
espace vectoriel et
une partie convexe de
Une application
est dite convexe lorsque :
CONVEXE (partie)
Etant donné un espace vectoriel
une partie
de
est dite convexe lorsque :






Par définition, le segment joignant deux vecteurs est l’ensemble

Les parties convexes de sont les intervalles.
Tout sous espace affine (et, en particulier, tout sous-espace vectoriel) de est convexe, de même que l’image directe ou réciproque d’une partie convexe par une application affine.
L’intersection d’une famille quelconque de parties convexes de est encore convexe. Ceci permet d’ailleurs de définir l’enveloppe convexe d’une partie quelconque
de
comme l’intersection de la famille des parties convexes qui contiennent
➡ On suppose maintenant que est muni d’une norme.
- Toute boule (ouverte ou fermée), pour une quelconque norme sur
est une partie convexe (ceci généralise ce qui a été dit plus haut au sujet des intervalles de
- L’adhérence et l’intérieur d’une partie convexe sont encore convexes.
- La distance à une partie non vide
est définie par :
est convexe, alors l’application
est convexe.
CORPS
Un corps est un anneau commutatif non nul, dont les éléments non nuls sont tous inversibles.
Autrement dit, un corps est un triplet où
est un ensemble comportant au moins deux éléments, muni de deux opérations
et
vérifiant les conditions suivantes :
est un groupe (donc l’élément neutre est noté 0)
est associative, commutative et distributive sur
- il existe un élément neutre pour
, noté 1
- tout élément de
est inversible pour
Les exemples les plus courants de corps sont :
- le corps
des nombres rationnels
- le corps
des nombres réels
- le corps
des nombres complexes
Tout corps est un anneau intègre, mais la réciproque est fausse. Par exemple est un anneau intègre, mais ses seuls éléments inversibles sont -1 et 1. Cependant, tout anneau intègre fini est un corps.
Etant donné un entier l’anneau quotient
est un corps lorsque
est un nombre premier.
Le cardinal d’un corps fini est de la forme où
est premier et
Réciproquement, pour tout nombre premier
et pour tout entier
il existe un corps de cardinal
et deux tels corps sont isomorphes.
La caractéristique d’un corps est l’unique entier
tel que
soit le noyau de l’unique morphisme d’anneaux
Cet entier est 0 ou bien un nombre premier.
Les seuls idéaux d’un corps sont l’idéal nul et
Réciproquement, si les seuls idéaux d’un anneau commutatif (non nul)
sont
et
alors
est un corps.
Tout anneau intègre peut être plongé dans un corps, appelé son corps de fractions. Le corps des fractions de est
Le corps des fractions de l’anneau
des polynômes à coefficients dans
est le corps
des fractions rationnelles.
Etant donnés un corps un sous-corps
de
et une partie
de
on note
le sous-corps de
engendré par
Par exemple :
Le sous-anneau de engendré par
et
est noté
Par exemple :
est l’anneau des entiers de Gauss.
CROISSANCES COMPAREES
En gros, la propriété dite des « croissances comparées » exprime la domination, à l’infini, de la fonction exponentielle sur toute fonction puissance (d’exposant fixe !).
De manière précise, il s’agit du résultat suivant :
Proposition
Pour tout :
Si l’on suppose connu le fait que :
()


Avec un ordinateur, il convient d’être prudent lorsqu’on trace le graphe de pour un exposant
« assez grand » .
Par exemple, voici ce qu’on obtient pour et un tracé sur l’intervalle
:

On n’a pas l’impression de voir le graphe d’une fonction qui tend vers 0 en l’infini … ce qui est pourtant le cas ! Mais voici ce que donne le tracé de la même fonction sur :

Cette fois, le dessin correspond mieux à ce qu’on attend. Et il ne faut pas s’étonner, sur ce second dessin, de ne pas voir le maximum : il ne peut pas être visible à cette échelle ! En effet la dérivée de est
et le maximum est donc atteint pour
Il vaut