Lettre H

HARMONIQUE (série)

La série $\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n}$ est appelée série harmonique. Cette appellation provient d’une analogie avec la musique : pour une corde vibrante (corde de guitare, par exemple), les harmoniques sont obtenues en pinçant la corde à la moitié, au tiers, au quart, etc … de sa longueur.

Il s’agit d’une série de Riemann divergente. Sa $n-$ ème somme partielle est habituellement notée :

$H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$

On peut établir la divergence vers $+\infty$ de la suite $\left(H_{n}\right)_{n\geqslant1}$ en minorant simplement son terme général. En effet, pour tout $k\geqslant1$ :

$\frac{1}{k}\geqslant\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln\left(k+1\right)-\ln\left(k\right)$

d’où, après sommation télescopique :

$H_{n}\geqslant\ln\left(n+1\right)$

ce qui entraîne que $\lim_{n\rightarrow\infty}H_{n}=+\infty.$ On peut aussi voir que, pour tout $n\geqslant1$ :

$H_{2n}-H_{n}=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\geqslant n\times\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$

Si la suite $\left(H_{n}\right)_{n\geqslant1}$ était majorée, elle convergerait (puisqu’elle est croissante). En passant à la limite dans l’inégalité ci-dessus, on obtiendrait $0\geqslant\frac{1}{2},$ ce qui est absurde. La suite $\left(H_{n}\right)_{n\geqslant1}$ est donc croissante et non majorée : elle diverge vers $+\infty.$

Quant à la suite de terme général $H_{n}-\ln\left(n\right),$ elle est convergente (elle est décroissante et minorée par 0). Sa limite est la constante d’Euler $\gamma\simeq0,577\cdots$ dont personne ne sait, à l’heure actuelle, s’il s’agit d’un nombre rationnel ou irrationnel (il est conjecturé qu’il s’agit d’un irrationnel).

On peut montrer que les sommes partielles $H_{n},$ pour $n\geqslant2,$ ne sont jamais entières (voir cet article)

A la série harmonique est habituellement associée la série $\sum_{n\geqslant1}\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{n},$ appelée série harmonique alternée. Cette dernière est convergente et sa somme est :

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{n}=\ln\left(2\right)$

HEINE (théorème de)

Dans sa forme la plus élémentaire, le théorème de Heine dit que $a<b$ et si $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ est continue, alors $f$ est uniformément continue : pour rendre l’écart $\left|f\left(x\right)-f\left(x'\right)\right|$ arbitrairement petit (càd : moindre qu’un certain $\epsilon>0$ donné), il suffit que $x$ et $x'$ soient suffisamment proches (c’est-à-dire que $\left|x-x'\right|\leqslant\delta$ pour un certain $\delta>0$ convenable).

Ce théorème est un puissant outil en analyse réelle. Il permet par exemple d’établir :

1°) le théorème de convergence des sommes de Riemann dans le cas d’une application continue — voir cette vidéo :

2°) le lemme de Riemann-Lebesgue — voir cette vidéo :

3°) le théorème de Weierstrass, selon lequel toute application continue sur un segment, à valeurs réelles, est limite uniforme sur ce segment d’une suite de polynômes.

… et mille autres choses !

Un énoncé plus puissant est le suivant :

Théorème (HEINE)

Etant donnés $\left(X,d\right)$ un espace métrique compact et $\left(Y,\delta\right)$ un espace métrique quelconque, toute application continue de $X$ vers $Y$ est uniformément continue.

Il est bien connu que si un espace métrique $\left(E,d\right)$ est compact, alors il est complet. Mais cet énoncé a quelque chose de surprenant : la compacité est une propriété topologique, donc invariante si la distance $d$ en vigueur est remplacée par une distance $\delta$ topologiquement équivalente, c’est-à-dire si $id:\left(E,d\right)\rightarrow\left(E,\delta\right)$ est bicontinue [condition 1] (ie : continue, ainsi que sa réciproque). En revanche, la complétude est préservée dès que $id:\left(E,d\right)\rightarrow\left(E,\delta\right)$ est bi-uniformément continue [condition 2]. La clef est que, grâce au théorème de Heine, la condition 1 implique la condition 2.

HYPERPLAN

Etant donné un $\mathbb{K}-$ espace vectoriel $E$ et un sous-espace vectoriel $H$ de $E,$ on dit que $H$ est un hyperplan de $E$ lorsque $H$ possède une droite vectorielle supplémentaire :

$\exists a\in E-\left\{ 0_{E}\right\} ;\thinspace E=H\oplus\mathbb{K}a$

Cette condition équivaut à l’existence d’une forme linéaire non nulle de noyau $H.$

Si $E$ est de dimension finie, alors $H$ est un hyperplan si, et seulement si :

$\dim\left(H\right)=\dim\left(E\right)-1$

On peut montrer que :

Exemple 1

Les hyperplans de $\mathbb{K}^{n}$ sont les sous-espaces de la forme :

$\left\{ \left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in\mathbb{K}^{n};\thinspace\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=0\right\}$

où $a_{1},\cdots,a_{n}\in\mathbb{K}$ sont non tous nuls.

Exemple 2

Si $E$ désigne le $\mathbb{R}-$ espace vectoriel des applications continues de $\left[0,1\right]$ dans $\mathbb{R}$ :

$H_{\alpha}=\left\{ u\in E;\thinspace u\left(\alpha\right)=0\right\}$

est un hyperplan de $E,$ quel que soit $\alpha\in\left[0,1\right].$

Même chose pour :

$K=\left\{ u\in E;\thinspace\int_{0}^{1}u\left(t\right)\thinspace dt=0\right\}$

si $E$ est dimension $n,$ alors tout sous-espace de dimension $p$ (avec $0\leqslant p\leqslant n)$ peut être décrit comme l’intersection de $n-p$ hyperplans de $E.$
si $E$ est de dimension infinie, alors $E$ est isomorphe à l’un quelconque de ses hyperplans.
Si $E$ est un $\mathbb{R}-$ espace vectoriel muni d’un produit scalaire et si $H$ est un hyperplan de $E$ , alors l’orthogonal de $H$ est soit une droite vectorielle (qui est alors le supplémentaire orthogonal de $H$ ) soit réduit à $\{0_E\}$ . Voir cet article pour les détails.
Si $E$ est un $\mathbb{R}-$ espace vectoriel normé et si $H$ est un hyperplan de $E$ , alors $H$ est soit fermé, soit dense dans $E$ .

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