Lettre H

HYPERPLAN

Etant donné un $\mathbb{K}-$ espace vectoriel $E$ et un sous-espace vectoriel $H$ de $E,$ on dit que $H$ est un hyperplan de $E$ lorsque $H$ possède une droite vectorielle supplémentaire :

$\exists a\in E-\left\{ 0_{E}\right\} ;\thinspace E=H\oplus\mathbb{K}a$

Cette condition équivaut à l’existence d’une forme linéaire non nulle de noyau $H.$

Si $E$ est de dimension finie, alors $H$ est un hyperplan si, et seulement si :

$\dim\left(H\right)=\dim\left(E\right)-1$

Exemple 1

Les hyperplans de $\mathbb{K}^{n}$ sont les sous-espaces de la forme :

$\left\{ \left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in\mathbb{K}^{n};\thinspace\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=0\right\}$

où $a_{1},\cdots,a_{n}\in\mathbb{K}$ sont non tous nuls.

Exemple 2

Si $E$ désigne le $\mathbb{R}-$ espace vectoriel des applications continues de $\left[0,1\right]$ dans $\mathbb{R}$ :

$H_{\alpha}=\left\{ u\in E;\thinspace u\left(\alpha\right)=0\right\}$

est un hyperplan de $E,$ quel que soit $\alpha\in\left[0,1\right].$

Même chose pour :

$K=\left\{ u\in E;\thinspace\int_{0}^{1}u\left(t\right)\thinspace dt=0\right\}$

On peut montrer que :

si $E$ est dimension $n,$ alors tout sous-espace de dimension $p$ (avec $0\leqslant p\leqslant n)$ peut être décrit comme l’intersection de $n-p$ hyperplans de $E.$
si $E$ est de dimension infinie, alors $E$ est isomorphe à l’un quelconque de ses hyperplans.
Si $E$ est un $\mathbb{R}-$ espace vectoriel muni d’un produit scalaire et si $H$ est un hyperplan de $E$ , alors l’orthogonal de $H$ est soit une droite vectorielle (qui est alors le supplémentaire orthogonal de $H$ ) soit réduit à $\{0_E\}$ . Voir cet article pour les détails.

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