Lettre H

HARMONIQUE (série)

La série {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n}} est appelée série harmonique. Cette appellation provient d’une analogie avec la musique : pour une corde vibrante (corde de guitare, par exemple), les harmoniques sont obtenues en pinçant la corde à la moitié, au tiers, au quart, etc … de sa longueur.

Il s’agit d’une série de Riemann divergente. Sa n-ème somme partielle est habituellement notée :

    \[H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\]

On peut établir la divergence vers +\infty de la suite \left(H_{n}\right)_{n\geqslant1} en minorant simplement son terme général. En effet, pour tout k\geqslant1 :

    \[ \frac{1}{k}\geqslant\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln\left(k+1\right)-\ln\left(k\right) \]

d’où, après sommation télescopique :

    \[ H_{n}\geqslant\ln\left(n+1\right)\]

ce qui entraîne que {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}H_{n}=+\infty.} On peut aussi voir que, pour tout n\geqslant1 :

    \[H_{2n}-H_{n}=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\geqslant n\times\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\]

Si la suite \left(H_{n}\right)_{n\geqslant1} était majorée, elle convergerait (puisqu’elle est croissante). En passant à la limite dans l’inégalité ci-dessus, on obtiendrait 0\geqslant\frac{1}{2}, ce qui est absurde. La suite \left(H_{n}\right)_{n\geqslant1} est donc croissante et non majorée : elle diverge vers +\infty.

Quant à la suite de terme général H_{n}-\ln\left(n\right), elle est convergente (elle est décroissante et minorée par 0). Sa limite est la constante d’Euler \gamma\simeq0,577\cdots dont personne ne sait, à l’heure actuelle, s’il s’agit d’un nombre rationnel ou irrationnel (il est conjecturé qu’il s’agit d’un irrationnel).

On peut montrer que les sommes partielles H_{n}, pour n\geqslant2, ne sont jamais entières (voir cet article)

A la série harmonique est habituellement associée la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{n},} appelée série harmonique alternée. Cette dernière est convergente et sa somme est :

    \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{n}=\ln\left(2\right)\]

HYPERPLAN

Etant donné un \mathbb{K}-espace vectoriel E et un sous-espace vectoriel H de E, on dit que H est un hyperplan de E lorsque H possède une droite vectorielle supplémentaire :

    \[\exists a\in E-\left\{ 0_{E}\right\} ;\thinspace E=H\oplus\mathbb{K}a\]

Cette condition équivaut à l’existence d’une forme linéaire non nulle de noyau H.

Si E est de dimension finie, alors H est un hyperplan si, et seulement si :

    \[\dim\left(H\right)=\dim\left(E\right)-1\]

Exemple 1

Les hyperplans de \mathbb{K}^{n} sont les sous-espaces de la forme :

    \[\left\{ \left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in\mathbb{K}^{n};\thinspace\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=0\right\}\]

où a_{1},\cdots,a_{n}\in\mathbb{K} sont non tous nuls.

Exemple 2

Si E désigne le \mathbb{R}-espace vectoriel des applications continues de \left[0,1\right] dans \mathbb{R} :

    \[H_{\alpha}=\left\{ u\in E;\thinspace u\left(\alpha\right)=0\right\}\]

est un hyperplan de E, quel que soit \alpha\in\left[0,1\right].

Même chose pour :

    \[K=\left\{ u\in E;\thinspace\int_{0}^{1}u\left(t\right)\thinspace dt=0\right\}\]

Etant donné un \mathbb{K}-espace vectoriel E et un sous-espace vectoriel H de E, on dit que H est un hyperplan de E lorsque H possède une droite vectorielle supplémentaire :

    \[\exists a\in E-\left\{ 0_{E}\right\} ;\thinspace E=H\oplus\mathbb{K}a\]

Cette condition équivaut à l’existence d’une forme linéaire non nulle de noyau H.

Si E est de dimension finie, alors H est un hyperplan si, et seulement si :

    \[\dim\left(H\right)=\dim\left(E\right)-1\]

Exemple 1

Les hyperplans de \mathbb{K}^{n} sont les sous-espaces de la forme :

    \[\left\{ \left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in\mathbb{K}^{n};\thinspace\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=0\right\}\]

où a_{1},\cdots,a_{n}\in\mathbb{K} sont non tous nuls.

Exemple 2

Si E désigne le \mathbb{R}-espace vectoriel des applications continues de \left[0,1\right] dans \mathbb{R} :

    \[H_{\alpha}=\left\{ u\in E;\thinspace u\left(\alpha\right)=0\right\}\]

est un hyperplan de E, quel que soit \alpha\in\left[0,1\right].

Même chose pour :

    \[K=\left\{ u\in E;\thinspace\int_{0}^{1}u\left(t\right)\thinspace dt=0\right\}\]

On peut montrer que :

  • si E est dimension n, alors tout sous-espace de dimension p (avec 0\leqslant p\leqslant n) peut être décrit comme l’intersection de n-p hyperplans de E.
  • si E est de dimension infinie, alors E est isomorphe à l’un quelconque de ses hyperplans.
  • Si E est un \mathbb{R}-espace vectoriel muni d’un produit scalaire et si H est un hyperplan de E, alors l’orthogonal de H est soit une droite vectorielle (qui est alors le supplémentaire orthogonal de H) soit réduit à \{0_E\}. Voir cet article pour les détails.
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