Lettre H

HYPERPLAN

Etant donné un \mathbb{K}-espace vectoriel E et un sous-espace vectoriel H de E, on dit que H est un hyperplan de E lorsque H possède une droite vectorielle supplémentaire :

    \[\exists a\in E-\left\{ 0_{E}\right\} ;\thinspace E=H\oplus\mathbb{K}a\]

Cette condition équivaut à l’existence d’une forme linéaire non nulle de noyau H.

Si E est de dimension finie, alors H est un hyperplan si, et seulement si :

    \[\dim\left(H\right)=\dim\left(E\right)-1\]

Exemple 1

Les hyperplans de \mathbb{K}^{n} sont les sous-espaces de la forme :

    \[\left\{ \left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in\mathbb{K}^{n};\thinspace\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=0\right\}\]

a_{1},\cdots,a_{n}\in\mathbb{K} sont non tous nuls.

Exemple 2

Si E désigne le \mathbb{R}-espace vectoriel des applications continues de \left[0,1\right] dans \mathbb{R} :

    \[H_{\alpha}=\left\{ u\in E;\thinspace u\left(\alpha\right)=0\right\}\]

est un hyperplan de E, quel que soit \alpha\in\left[0,1\right].

Même chose pour :

    \[K=\left\{ u\in E;\thinspace\int_{0}^{1}u\left(t\right)\thinspace dt=0\right\}\]

On peut montrer que :

  • si E est dimension n, alors tout sous-espace de dimension p (avec 0\leqslant p\leqslant n) peut être décrit comme l’intersection de n-p hyperplans de E.
  • si E est de dimension infinie, alors E est isomorphe à l’un quelconque de ses hyperplans.
  • Si E est un \mathbb{R}-espace vectoriel muni d’un produit scalaire et si H est un hyperplan de E, alors l’orthogonal de H est soit une droite vectorielle (qui est alors le supplémentaire orthogonal de H) soit réduit à \{0_E\}. Voir cet article pour les détails.
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