Lettre H
HYPERPLAN
Etant donné un espace vectoriel
et un sous-espace vectoriel
de
on dit que
est un hyperplan de
lorsque
possède une droite vectorielle supplémentaire :
Cette condition équivaut à l’existence d’une forme linéaire non nulle de noyau
Si est de dimension finie, alors
est un hyperplan si, et seulement si :
Exemple 1
Les hyperplans de sont les sous-espaces de la forme :
Exemple 2
Si désigne le
espace vectoriel des applications continues de
dans
:
Même chose pour :
On peut montrer que :
- si
est dimension
alors tout sous-espace de dimension
(avec
peut être décrit comme l’intersection de
hyperplans de
- si
est de dimension infinie, alors
est isomorphe à l’un quelconque de ses hyperplans.
- Si
est un
espace vectoriel muni d’un produit scalaire et si
est un hyperplan de
, alors l’orthogonal de
est soit une droite vectorielle (qui est alors le supplémentaire orthogonal de
) soit réduit à
. Voir cet article pour les détails.
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