Lettre N
(élément) NEUTRE
Etant donnée une opération sur un ensemble
, un élément
est dit neutre à gauche pour cette opération lorsque :
On définit de même la notion d’élément neutre à droite. Un élément neutre (tout court) est un élément à la fois neutre à gauche et neutre à droite. Ces trois notions se confondent si est commutative.
L’existence d’un élément neutre n’est pas garantie (voir exemple plus bas).
En revanche, il y a unicité puisque si et
sont neutres pour
, alors :
Quelques exemples usuels :
- Le neutre pour l’addition dans
est 0.
- Le neutre pour la multiplication dans
est 1.
- Le neutre pour la composition (loi
) dans
(ensemble des applications de
dans lui-même) est l’application identité
.
- Les neutres des opérations d’union et d’intersection dans
(ensemble des parties de
) sont respectivement
et
.
- Le neutre de la multiplication dans
est la matrice unité
.
Pour la soustraction dans , il n’existe pas d’élément neutre (toutefois, 0 est neutre à droite).
NORME
Etant donné un espace vectoriel
une norme sur
est une application
vérifiant les trois conditions suivantes :
- Homogénéité :
- Inégalité triangulaire :
- Condition de séparation :
On peut définir de la même façon une norme sur un espace vectoriel, en considérant bien sûr que
désigne cette fois le module du nombre complexe
Un ev muni d’une norme est un espace vectoriel normé (evn en abrégé).
On définit, pour et
la boule ouverte de centre
et de rayon
:
L’application :
Exemples fondamentaux
Dans les trois normes standard sont définies par :
On notera que si , ces trois normes se confondent : on retrouve la valeur absolue (qui est la norme usuelle sur
).
Dans l’espace des applications continues de
dans
les trois normes standard sont définies par :
Si un espace vectoriel
est muni d’un produit scalaire, alors l’application :
Dans les exemples ci-dessus :
est une norme euclidienne sur
Elle est issue du produit scalaire défini par :
est une norme euclidienne sur
Elle est issue du produit scalaire défini par :
Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une norme sur un
espace vectoriel
soit euclidienne est qu’elle vérifie la formule du parallélogramme :
Encore un résultat important (parmi tant d’autres) : un espace vectoriel est de dimension finie si, et seulement si, sa boule unité fermée est compacte (théorème de F. Riesz).