Lettre N

(élément) NEUTRE

Etant donnée une opération \star sur un ensemble E, un élément e\in E est dit neutre à gauche pour cette opération lorsque :

    \[\forall x\in E,\,e\star x=x\]

On définit de même la notion d’élément neutre à droite. Un élément neutre (tout court) est un élément à la fois neutre à gauche et neutre à droite. Ces trois notions se confondent si \star est commutative.

L’existence d’un élément neutre n’est pas garantie (voir exemple plus bas).

En revanche, il y a unicité puisque si e et e' sont neutres pour \star, alors :

    \[e'=e\star e'=e\]

l’égalité de gauche résultant du fait que e est neutre et celle de droite résultant du fait que e' est neutre.

Quelques exemples usuels :

  • Le neutre pour l’addition dans \mathbb{R} est 0.
  • Le neutre pour la multiplication dans \mathbb{R} est 1.
  • Le neutre pour la composition (loi \circ) dans A^A (ensemble des applications de A dans lui-même) est l’application identité id_A.
  • Les neutres des opérations d’union et d’intersection dans \mathcal{P}(A) (ensemble des parties de A) sont respectivement \emptyset et A.
  • Le neutre de la multiplication dans M_n(\mathbb{R}) est la matrice unité I_n.

Pour la soustraction dans \mathbb{R}, il n’existe pas d’élément neutre (toutefois, 0 est neutre à droite).

NORME

Etant donné un \mathbb{R}-espace vectoriel E, une norme sur E est une application N:E\rightarrow\mathbb{R}^{+} vérifiant les trois conditions suivantes :

  • Homogénéité :

        \[\forall\left(\lambda,x\right)\in\mathbb{R}\times E,\thinspace N\left(\lambda x\right)=\left|\lambda\right|\thinspace N\left(x\right)\]

  • Inégalité triangulaire :

        \[\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace N\left(x+y\right)\leqslant N\left(x\right)+N\left(y\right)\]

  • Condition de séparation :

        \[\forall x\in E,\thinspace N\left(x\right)=0\Rightarrow x=0_{E}\]

On peut définir de la même façon une norme sur un \mathbb{C}-espace vectoriel, en considérant bien sûr que \left|\lambda\right| désigne cette fois le module du nombre complexe \lambda.

Un \mathbb{R}\text{ ou }\mathbb{C}-ev muni d’une norme est un espace vectoriel normé (evn en abrégé).

On définit, pour x\in E et r>0, la boule ouverte de centre x et de rayon r :

    \[B_{o}\left(x,r\right)=\left\{ y\in E;\thinspace N\left(y-x\right)<r\right\}\]

Si l’on note \mathcal{T} l’ensemble des unions de familles de boules ouvertes, alors \mathcal{T} est une topologie sur E, appelée topologie induite par la norme N. La condition n° 3 assure que cette topologie est séparée (pour tout couple \left(x,y\right) de vecteurs distincts, il existe un couple d’ouverts disjoints, l’un contenant x et l’autre y), ce qui justifie la terminologie.

L’application :

    \[E^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{+},\thinspace\left(x,y\right)\mapsto N\left(x-y\right)\]

est une distance, appelée distance induite par la norme. Il s’agit d’une distance invariante par translation et non bornée (en supposant E non réduit à son vecteur nul). Tout evn est donc, en particulier, un espace métrique.

Exemples fondamentaux

Dans \mathbb{R}^{n}, les trois normes standard sont définies par :

    \[ \forall x\in\mathbb{R}^{n},\thinspace\left\{ \begin{array}{ccc} N_{1}\left(x\right) & = & {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|}\\ \\ N_{2}\left(x\right) & = & {\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{1/2}}\\ \\ N_{\infty}\left(x\right) & = & {\displaystyle \max_{1\leqslant i\leqslant n}\left|x_{i}\right|} \end{array}\right. \]

On notera que si n=1, ces trois normes se confondent : on retrouve la valeur absolue (qui est la norme usuelle sur \mathbb{R}).

Dans l’espace \mathcal{C}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right) des applications continues de \left[a,b\right] dans \mathbb{R}, les trois normes standard sont définies par :

    \[\forall f\in\mathcal{C}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right),\thinspace\left\{ \begin{array}{ccc} \left\Vert f\right\Vert_{1} & = & {\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f\left(t\right)\right|\thinspace dt}\\\\\left\Vert f\right\Vert_{2} & = & {\displaystyle \left(\int_{a}^{b}f\left(t\right)^{2}\thinspace dt\right)^{1/2}}\\\\\left\Vert f\right\Vert_{\infty} & = & {\displaystyle \sup_{t\in\left[a,b\right]}\left|f\left(t\right)\right|}\end{array}\right.\]

Si un \mathbb{R}-espace vectoriel E est muni d’un produit scalaire, alors l’application :

    \[E\rightarrow\mathbb{R}^{+},\thinspace x\mapsto\left(x\mid x\right)^{1/2}\]

est une norme, appelée norme euclidienne sur E. L’inégalité pour cette norme triangulaire découle de l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire dont elle est issue.

Dans les exemples ci-dessus :

  • N_{2} est une norme euclidienne sur \mathbb{R}^{n}. Elle est issue du produit scalaire défini par :

        \[\left(x\mid y\right)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\]

  • \left\Vert \:\right\Vert_{2} est une norme euclidienne sur \mathcal{C}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right). Elle est issue du produit scalaire défini par :

        \[\left(f\mid g\right)=\int_{a}^{b}f\left(t\right)\thinspace g\left(t\right)\thinspace dt\]

Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une norme N sur un \mathbb{R}-espace vectoriel E soit euclidienne est qu’elle vérifie la formule du parallélogramme :

    \[\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace N\left(x+y\right)^2+N\left(x-y\right)^2=2\left[N\left(x\right)^2+N\left(y\right)^2\right]\]

Ce résultat est connu sous le nom de théorème de JordanVon Neumann.

Encore un résultat important (parmi tant d’autres) : un \mathbb{R}-espace vectoriel est de dimension finie si, et seulement si, sa boule unité fermée est compacte (théorème de F. Riesz).

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