Lettre N

(élément) NEUTRE

Etant donnée une opération $\star$ sur un ensemble $E$ , un élément $e\in E$ est dit neutre à gauche pour cette opération lorsque :

$\forall x\in E,\,e\star x=x$

On définit de même la notion d’élément neutre à droite. Un élément neutre (tout court) est un élément à la fois neutre à gauche et neutre à droite. Ces trois notions se confondent si $\star$ est commutative.

L’existence d’un élément neutre n’est pas garantie (voir exemple plus bas).

En revanche, il y a unicité puisque si $e$ et $e'$ sont neutres pour $\star$ , alors :

$e'=e\star e'=e$

l’égalité de gauche résultant du fait que $e$ est neutre et celle de droite résultant du fait que $e'$ est neutre.

Quelques exemples usuels :

Le neutre pour l’addition dans $\mathbb{R}$ est 0.
Le neutre pour la multiplication dans $\mathbb{R}$ est 1.
Le neutre pour la composition (loi $\circ$ ) dans $A^A$ (ensemble des applications de $A$ dans lui-même) est l’application identité $id_A$ .
Les neutres des opérations d’union et d’intersection dans $\mathcal{P}(A)$ (ensemble des parties de $A$ ) sont respectivement $\emptyset$ et $A$ .
Le neutre de la multiplication dans $M_n(\mathbb{R})$ est la matrice unité $I_n$ .

Pour la soustraction dans $\mathbb{R}$ , il n’existe pas d’élément neutre (toutefois, 0 est neutre à droite).

NORME

Etant donné un $\mathbb{R}-$ espace vectoriel $E,$ une norme sur $E$ est une application $N:E\rightarrow\mathbb{R}^{+}$ vérifiant les trois conditions suivantes :

Homogénéité :
$\forall\left(\lambda,x\right)\in\mathbb{R}\times E,\thinspace N\left(\lambda x\right)=\left|\lambda\right|\thinspace N\left(x\right)$
Inégalité triangulaire :
$\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace N\left(x+y\right)\leqslant N\left(x\right)+N\left(y\right)$
Condition de séparation :
$\forall x\in E,\thinspace N\left(x\right)=0\Rightarrow x=0_{E}$

On peut définir de la même façon une norme sur un $\mathbb{C}-$ espace vectoriel, en considérant bien sûr que $\left|\lambda\right|$ désigne cette fois le module du nombre complexe $\lambda.$

Un $\mathbb{R}\text{ ou }\mathbb{C}-$ ev muni d’une norme est un espace vectoriel normé (evn en abrégé).

On définit, pour $x\in E$ et $r>0,$ la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$ :

$B_{o}\left(x,r\right)=\left\{ y\in E;\thinspace N\left(y-x\right)<r\right\}$

Si l’on note $\mathcal{T}$ l’ensemble des unions de familles de boules ouvertes, alors $\mathcal{T}$ est une topologie sur $E,$ appelée topologie induite par la norme $N.$ La condition n° 3 assure que cette topologie est séparée (pour tout couple $\left(x,y\right)$ de vecteurs distincts, il existe un couple d’ouverts disjoints, l’un contenant $x$ et l’autre $y),$ ce qui justifie la terminologie.

L’application :

$E^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{+},\thinspace\left(x,y\right)\mapsto N\left(x-y\right)$

est une distance, appelée distance induite par la norme. Il s’agit d’une distance invariante par translation et non bornée (en supposant $E$ non réduit à son vecteur nul). Tout evn est donc, en particulier, un espace métrique.

Exemples fondamentaux

Dans $\mathbb{R}^{n},$ les trois normes standard sont définies par :

$\forall x\in\mathbb{R}^{n},\thinspace\left\{ \begin{array}{ccc} N_{1}\left(x\right) & = & {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|}\\ \\ N_{2}\left(x\right) & = & {\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{1/2}}\\ \\ N_{\infty}\left(x\right) & = & {\displaystyle \max_{1\leqslant i\leqslant n}\left|x_{i}\right|} \end{array}\right.$

On notera que si $n=1$ , ces trois normes se confondent : on retrouve la valeur absolue (qui est la norme usuelle sur $\mathbb{R}$ ).

Dans l’espace $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$ des applications continues de $\left[a,b\right]$ dans $\mathbb{R},$ les trois normes standard sont définies par :

$\forall f\in\mathcal{C}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right),\thinspace\left\{ \begin{array}{ccc} \left\Vert f\right\Vert_{1} & = & {\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f\left(t\right)\right|\thinspace dt}\\\\\left\Vert f\right\Vert_{2} & = & {\displaystyle \left(\int_{a}^{b}f\left(t\right)^{2}\thinspace dt\right)^{1/2}}\\\\\left\Vert f\right\Vert_{\infty} & = & {\displaystyle \sup_{t\in\left[a,b\right]}\left|f\left(t\right)\right|}\end{array}\right.$

Si un $\mathbb{R}-$ espace vectoriel $E$ est muni d’un produit scalaire, alors l’application :

$E\rightarrow\mathbb{R}^{+},\thinspace x\mapsto\left(x\mid x\right)^{1/2}$

est une norme, appelée norme euclidienne sur $E.$ L’inégalité pour cette norme triangulaire découle de l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire dont elle est issue.

Dans les exemples ci-dessus :

$N_{2}$ est une norme euclidienne sur $\mathbb{R}^{n}.$ Elle est issue du produit scalaire défini par :
$\left(x\mid y\right)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$
$\left\Vert \:\right\Vert_{2}$ est une norme euclidienne sur $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right).$ Elle est issue du produit scalaire défini par :
$\left(f\mid g\right)=\int_{a}^{b}f\left(t\right)\thinspace g\left(t\right)\thinspace dt$

Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une norme $N$ sur un $\mathbb{R}-$ espace vectoriel $E$ soit euclidienne est qu’elle vérifie la formule du parallélogramme :

$\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace N\left(x+y\right)^2+N\left(x-y\right)^2=2\left[N\left(x\right)^2+N\left(y\right)^2\right]$

Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Jordan – Von Neumann.

Encore un résultat important (parmi tant d’autres) : un $\mathbb{R}-$ espace vectoriel est de dimension finie si, et seulement si, sa boule unité fermée est compacte (théorème de F. Riesz).

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