Neuf énoncés d’exercices sur la notion de produit scalaire (fiche 02).
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
Soit un
espace vectoriel muni d’un produit scalaire et soit
Montrer que
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
Soit un espace vectoriel euclidien et soient
des endomorphismes symétriques de
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que l’endomorphisme
soit symétrique.
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
Soit un espace vectoriel euclidien. On note comme d’habitude
sont dual : c’est l’espace
On sait que l’application :
![Rendered by QuickLaTeX.com J](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5178dff2cfb161f57b181ee13e30755a_l3.png)
On demande ici d’établir la surjectivité de de façon directe.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Etant donné on munit l’espace vectoriel
du produit scalaire défini, pour tout
, par :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Etant donné un espace vectoriel euclidien on demande de déterminer tous les endomorphismes
qui préservent l’orthogonalité, c’est-à-dire qui sont tels que :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-6-small.png)
On munit l’espace des applications continues de
dans
du produit scalaire défini, pour tout
, par :
![Rendered by QuickLaTeX.com L](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e63141d3215cbc15ee94caf532ad216d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left[0,1\right]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-beb10f64e7f6b1b271629e3a8291d2e5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{R}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4ff2d456228c4068404b54cb06066c5e_l3.png)
Vérifier que est sous-espace vectoriel de
puis déterminer
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
Soit Pour
on pose :
![Rendered by QuickLaTeX.com N](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3921a514e67a140a0706eee1ad310757_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com E.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e234eda45b1092461a23c3b7e9ce1d8e_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Soit un espace vectoriel euclidien de dimension
et soit
une famille de vecteurs de
On suppose que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(e_{1},\cdots,e_{n}\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-61ecc8a0f2fe5ce48e4cee36eb2635f5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com E.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e234eda45b1092461a23c3b7e9ce1d8e_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
L’espace des applications continues de
dans
est muni du produit scalaire défini par :
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace t\mapsto1.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5ff248246b12707a4e2fd017efd939e5_l3.png)
On considère les endomorphismes :
![Rendered by QuickLaTeX.com \varphi](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-16671bf72d97106a34b0680eebd2ffe0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \psi](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c5a80625177ba20ba5092bb7fdca6f3_l3.png)
Cliquer ici pour accéder aux indications
Cliquer ici pour accéder aux solutions