Indications pour démarrer les exercices sur le produit scalaire (fiche 02).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.
![icone-math-OS-Exos](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/icone-Math-OS-Exos-205x205.png)
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
Réviser d’abord la preuve de la propriété :
Montrer ensuite chacune des inclusions et
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
Rappel : un endomorphisme est dit symétrique lorsque
![Rendered by QuickLaTeX.com u^{\star}=u,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-94a124923b84fbb5f77d2e067e2b3bb8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com u](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cb72f69723b4beb1544f9ddf4dc77b2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com u.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-13ffbc2e47d21f6f7bbf9a7fc4c36ade_l3.png)
Conseil : réviser la formule donnant l’adjoint de , où
sont deux endomorphismes.
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
Se donner une forme linéaire et utiliser une base orthonormale de
pour exprimer l’image par
d’un vecteur quelconque de
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Penser aux polynômes de Tchebytchev de 1ère espèce. On rappelle qu’il existe, pour tout un unique polynôme
tel que :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Observer que si sont deux vecteurs unitaires, alors
et
sont orthogonaux. Que dire alors des images des vecteurs d’une base orthonormale ?
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-6-small.png)
Simple routine pour le premier point : on applique le critère de sous-espace vectoriel et ça marche. Pour le second point, on pourra montrer qu’étant donnée orthogonale à toutes les applications de classe
la primitive de
qui s’annule en
s’annule aussi en
et en déduire que
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
Si est un
espace vectoriel et si
est une norme sur
issue d’un produit scalaire, alors cette norme vérifie l’identité du parallélogramme :
![Rendered by QuickLaTeX.com N](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3921a514e67a140a0706eee1ad310757_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Considérer et montrer que
en s’intéressant à
Qu’est-ce que cela prouve déjà concernant la famille
et que reste-t-il à vérifier ?
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
S’il existe d’un endomorphisme adjoint alors pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(f,g\right),](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1f769176256aaa5c5e903d0d16b9b521_l3.png)