Indications pour démarrer les exercices sur le produit scalaire (fiche 02).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.

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exercice 1 facile

Réviser d’abord la preuve de la propriété : \forall A\subset E,\thinspace A\subset A^{\bot\bot}.

Montrer ensuite chacune des inclusions A^{\bot\bot\bot}\subset A^{\bot} et A^{\bot\bot\bot}\supset A^{\bot}.

exercice 2 facile

Rappel : un endomorphisme u\in\mathcal{L}\left(E\right) est dit symétrique lorsque

    \[\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace\left(u\left(x\right)\mid y\right)=\left(x\mid u\left(y\right)\right)\]

Cette condition équivaut à u^{\star}=u,u désigne l’endomorphisme adjoint de u.

Conseil : réviser la formule donnant l’adjoint de g\circ f, où f,g sont deux endomorphismes.

exercice 3 facile

Se donner une forme linéaire \varphi\in E^{\star} et utiliser une base orthonormale de E pour exprimer l’image par \varphi d’un vecteur quelconque de E.

Penser aux polynômes de Tchebytchev de 1ère espèce. On rappelle qu’il existe, pour tout n\in\mathbb{N}, un unique polynôme T_{n}\in\mathbb{R}\left[X\right] tel que :

    \[\forall\theta\in\mathbb{R},\thinspace T_{n}\left(\cos\left(\theta\right)\right)=\cos\left(n\theta\right)\]

Observer que si a,b sont deux vecteurs unitaires, alors a+b et a-b sont orthogonaux. Que dire alors des images des vecteurs d’une base orthonormale ?

Simple routine pour le premier point : on applique le critère de sous-espace vectoriel et ça marche. Pour le second point, on pourra montrer qu’étant donnée \varphi:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R} orthogonale à toutes les applications de classe C^{1}, la primitive de \varphi qui s’annule en 0 s’annule aussi en 1, et en déduire que \varphi=0.

Si E est un \mathbb{R}-espace vectoriel et si \left\Vert \;\right\Vert est une norme sur E, issue d’un produit scalaire, alors cette norme vérifie l’identité du parallélogramme :

    \[\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace\left\Vert x+y\right\Vert ^{2}+\left\Vert x-y\right\Vert ^{2}=2\left[\left\Vert x\right\Vert ^{2}+\left\Vert y\right\Vert ^{2}\right]\]

Par conséquent, si l’on prouve que la norme N ne vérifie pas cette condition, c’est gagné 🙂

Considérer F=\text{vect}\left\{ e_{1},\cdots,e_{n}\right\} et montrer que F=E, en s’intéressant à F^{\bot}. Qu’est-ce que cela prouve déjà concernant la famille \left(e_{1},\cdots,e_{n}\right) et que reste-t-il à vérifier ?

exercice 9 difficile

S’il existe d’un endomorphisme adjoint \varphi^{\star}, alors pour tout \left(f,g\right)\in E^{2} :

    \[f\left(0\right)\int_{0}^{1}g\left(t\right)\thinspace dt=\int_{0}^{1}f\left(t\right)\thinspace\left[\varphi^{\star}\left(g\right)\right]\left(t\right)\thinspace dt\]

En choisissant bien le couple \left(f,g\right), ceci doit mener à une contradiction.


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