Exercices sur les polynômes – 01

Neuf énoncés d’exercices sur les polynômes (fiche 01).

icone-math-OS-Exos
exercice 1 facile

Pour tout entier n\geqslant2, on pose :

    \[P_{n}=\left(X^{2}+1\right)^{n}-2X^{2n}+\left(X^{2}-1\right)^{n}\]

Calculer le degré du polynôme P_{n}.

exercice 2 facile

Pour tout entier n\geqslant1, on pose :

    \[A_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(X-j\right)\]

Calculer A_{n}\left(i\right) pour tout i\in\left\llbracket 1,n\right\rrbracket .

En déduire la factorisation de A_{n} en produit de facteurs du premier degré.

Montrer, pour tout Q\in\mathbb{R}\left[X\right], l’existence et l’unicité de P\in\mathbb{R}\left[X\right] tel que P-P'=Q.

Exprimer P en fonction de Q.

Montrer que le polynôme X^{4}+X^{2}+1 peut s’écrire comme produit de deux polynômes de degré 2, à coefficients rationnels. Peut-on en dire autant de X^{4}+1 ?

Montrer que pour tout entier naturel impair n, il existe un unique polynôme P_{n} tel que :

    \[\forall x\in\mathbb{R},\:\sin\left(nx\right)=P_{n}\left(\sin\left(x\right)\right)\]

On donnera une formule explicite pour P_n. Pourquoi l’hypothèse d’imparité est-elle nécessaire ?

Trouver les P\in\mathbb{R}\left[X\right] tels que :

    \[\forall x\in\mathbb{R},\thinspace\sin\left(P\left(x\right)\right)=P\left(\sin\left(x\right)\right)\]

Soient a,b,c trois nombres réels tels que a<b<c et soit f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} une application deux fois dérivable. Montrer qu’il existe \theta\in\mathbb{R} tel que :

    \[\frac{f\left(a\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{f\left(b\right)}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{f\left(c\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{1}{2}f''\left(\theta\right)\]

\mathbb{P} désigne l’ensemble des nombres premiers.

Quels sont les polynômes P\in\mathbb{Z}\left[X\right] vérifiant P\left(n\right)\in\mathbb{P} pour tout n\in\mathbb{N} ?

exercice 9 difficile

Soient \mathbb{L} un corps, \mathbb{K} un sous-corps de \mathbb{L} et A\subset\mathbb{K}. On suppose A infini.

Montrer que si P\in\mathbb{L}\left[X\right] vérifie P\left(t\right)\in\mathbb{K} pour tout t\in A, alors P\in\mathbb{K}\left[X\right].


Cliquer ici pour accéder aux indications
Cliquer ici pour accéder aux solutions

Partager cet article
  •  
  •  
  •  
  •  

Laisser un commentaire