Exercices sur les suites numériques – 03

Neuf énoncés d’exercices sur les suites numériques (fiche 03).

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exercice 1 facile

Soit s\in\left]0,1\right[ et soit \left(x_{n}\right)_{n\geqslant0} la suite définie par :

    \[ x_{0}=s\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace x_{n+1}=\sqrt{1-x_{n}^{2}}\]

Que peut-on dire de cette suite ?

exercice 2 facile

Pour tout n\in\mathbb{N}^{\star}, on note c_{n} le n-ème chiffre du développement décimal de \pi (chiffres « après la virgule »). Ainsi :

    \[c_{1}=1,\quad c_{2}=4,\quad c_{3}=1,\quad c_{4}=5,\quad\text{etc …}\]

Montrer que la suite de terme général

    \[S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{c_{k}}{2^{k}}\]

est convergente.

Etant donnés a,b>0, on définit une suite \left(x_{n}\right)_{n\geqslant0} par x_{0}=a, x_{1}=b et, pour tout n\geqslant1 :

    \[x_{n+1}=\sqrt{\frac{x_{n}}{\sqrt{x_{n-1}}}}\]

Calculer explicitement x_n pour tout n\in\mathbb{N}^\star.

Prouver que, pour tout entier n\geqslant2, l’équation :

    \[\sin\left(x\right)=\left(1-\frac{1}{n}\right)x\]

possède une solution unique dans \left]0,\pi\right[, qu’on notera x_{n}.

Trouver un équivalent simple de x_{n} lorsque n\rightarrow+\infty.

Etant donné s\in\mathbb{N}^{\star}, on définit une suite d’entiers naturels en posant :

    \[u_{0}=s\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\,u_{n+1}=\left\{ \begin{array}{cc}u_{n}\thinspace/\thinspace2 & \textrm{si }u_{n}\textrm{ est pair}\\\\u_{n}+5 & \textrm{sinon}\end{array}\right.\]

Ecrire en Python un programme de calcul et d’affichage des premiers termes de cette suite. Que peut-on conjecturer ?

Etudier le sens de variation de la suite de terme général :

    \[S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{nk}}\]

Pour tout entier n\geqslant2, on note :

    \[D_{n}=\frac1{n-1}\sum_{k=1}^{n-1}\left|1-e^{2ik\pi/n}\right|\]

c’est-à-dire la moyenne (arithmétique) des distances de 1 aux autres racines n-èmes de l’unité. Calculer {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}D_{n}.}

Une suite réelle majorée possède-t-elle nécessairement une valeur d’adhérence ?

On suppose que \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} est une suite réelle bornée et l’on pose, pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[ \omega_{n}=\sup\left\{ x_{k};\thinspace k\geqslant n\right\}\]

Montrer que la suite \left(\omega_{n}\right)_{n\geqslant0} converge et que sa limite est la plus grande valeur d’adhérence de \left(x_{n}\right)_{n\geqslant0}.

Soit r\in\left]0,1\right[ et soit \left(a,b\right)\in\mathbb{C}^{2}.
On définit une suite complexe \left(z_{n}\right)_{n\geqslant0} en posant :

    \[ z_{0}=a,\quad z_{1}=b\quad\text{et}\quad\forall n\geqslant1,\thinspace z_{n+1}=z_{n}+r^{n}z_{n-1}\]

Montrer que cette suite est convergente.

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