Exercices sur les opérations – 01

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Quels sont les triplets \left(\alpha,\beta,\gamma\right) de réels pour lesquels l’opération \star dans \mathbb{R} par :

    \[\forall\left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2},\thinspace a\star b=\alpha a+\beta b+\gamma ab\]

est associative ?

On note \mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right) l’ensemble des matrices carrées de taille 2, à coefficients entiers. On munit \mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right) du produit matriciel usuel.

Préciser quels sont les éléments inversibles, c’est-à-dire les matrices A\in\mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right) pour lesquelles il existe B\in\mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right) vérifiant AB=BA=I_{2},I_{2} désigne la matrice unité : I_{2}=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right].

Soit E un espace vectoriel euclidien orienté. Comme signalé à la fin de la section 1 de cet article, le produit vectoriel n’est pas associatif dans E.

Sauriez-vous caractériser les triplets \left(u,v,w\right)\in E^{3} tels que \left(u\wedge v\right)\wedge w=u\wedge\left(v\wedge w\right) ?

Etant donné un ensemble non vide E, on munit E^{E} de la loi \circ (composition des applications). Quels sont les éléments inversibles à droite ? Quels sont ceux inversibles à gauche ?

Etant données deux suites réelles a=\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} et b=\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}, on pose :

    \[a\star b=\left(c_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\quad\text{avec : }\forall n\in\mathbb{N},\thinspace c_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\]

Montrer que l’opération \star est associative, qu’elle admet un élément neutre puis déterminer les éléments inversibles.

Soient A,B deux parties d’un ensemble E. Résoudre dans \mathcal{P}\left(E\right) chacune des équations :

    \[A\cap X=B\]


    \[A\cup X=B\]

On suppose que \star est une opération sur un ensemble E, qu’il existe un élément neutre e et que A est une partie de E, stable pour \star (ce qui signifie que \forall\left(x,y\right)\in A^{2},\thinspace x\star y\in A).

Est-ce que l’opération induite admet nécessairement un élément neutre ?

Est-il possible qu’elle admette un élément neutre distinct de e ?

Soit G un ensemble muni d’une opération associative. On suppose qu’il existe un élément neutre à droite, noté e :

    \[\forall x\in G,\,x\star e=x\]

On suppose aussi que tout élément de G est inversible à droite :

    \[\forall x\in G,\exists x'\in G,\,x\star x'=e\]

Montrer que \left(G,\star\right) est un groupe.

exercice 9 difficile

Soit E un ensemble fini muni d’une opération associative, notée multiplicativement.

Montrer qu’il existe u\in E tel que u^{2}=u.


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