Comment étudier une suite numérique ?

Qu’est-ce qu’une suite de nombres réels ?…

L’illustration dynamique ci-dessous peut en donner une première idée.

Une suite de rebonds …

Une balle est lâchée sans vitesse initiale et rebondit indéfiniment.
A chaque rebond, elle perd un peu d’énergie par dissipation : friction avec le sol, déformation et échauffement de la balle et du support, émission d’ondes sonores, resistance de l’air, …

Notons :

$H_{0}$ la hauteur de laquelle la balle est lâchée,
$H_{n}$ la hauteur atteinte à l’issue du n-ème rebond, pour $n\geqslant1.$

Les nombres $H_{0},$ $H_{1},$ $H_{2},$ etc … forment une suite de nombres positifs.

Dans le monde réel, la balle finira bien sûr par s’immobiliser, ce qui suggère de ne considérer qu’une liste (une suite finie). Mais on peut aussi considérer que $H_n$ est défini pour tout n, et que $H_n=0$ dès que n est assez grand.

L’objet de cet article est de montrer comment on étudie une suite numérique, sur le plan qualitatif : sens de variation, caractère borné ou non, convergence ou divergence, périodicité éventuelle … tout en se limitant à des outils accessibles en fin de lycée.

Dans un premier temps, les notions utiles sont introduites (sections 1 à 5). En fin d’article, des exemples variés sont examinés en détail.

1 – Quel est le terme suivant ?

L’un des tests de logique les plus connus consiste, après avoir énuméré quelques nombres, à demander quel doit être le suivant. Connaissant les premiers termes $u_{0},\cdots,u_{q}$ d’une certaine suite numérique, il faut donc tâcher de trouver $u_{q+1}.$

Dans certains cas, une réponse s’impose plus que toute autre … Par exemple, en démarrant avec :

1, 2, 4, 8, 16, 32

on reconnaît les premières puissances de 2; il est donc raisonnable de proposer 64 pour le terme suivant.

De même, l’énumération :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23

doit faire penser aux nombres premiers. C’est donc 29 qui est probablement attendu ensuite.

Dans certains cas, si aucune règle supplémentaire n’est fixée, alors plusieurs réponses sont envisageables, toutes aussi acceptables les unes que les autres. On peut consulter l’exemple du nombre de régions limités par les cordes joignant $n$ points d’un cercle, qui est présenté dans cet article et le comparer avec celui des puissances de 2.

Voici un troisième exemple, plus original …

Quel serait, selon vous, le terme suivant pour la séquence ci-dessous ?

2, 5, 4, 3, 4, 3, 7, 5, 10, 9, 8, 9, …

Réponse (cliquer pour déplier / replier)

Vous cherchiez sans doute une astuce arithmétique ou une formule ?

En fait, cette suite a été construite selon un procédé non mathématique. On a simplement énuméré, dans l’ordre croissant, les entiers positifs dont l’écriture en toutes lettres (et en français) ne comporte pas la lettre ‘e’, en comptant à chaque fois le nombre de lettres (et sans compter le tiret éventuel) :

$\begin{eqnarray*}\text{un} & \rightarrow & 2\\\text{trois} & \rightarrow & 5\\\text{cinq} & \rightarrow & 4\\\text{six} & \rightarrow & 3\\\text{huit} & \rightarrow & 4\\\text{dix} & \rightarrow & 3\\\text{dix-huit} & \rightarrow & 7\\& \text{etc …}\end{eqnarray*}$

🙂

Bref, la donnée des premiers termes d’une suite numérique ne suffit pas pour connaître les suivants ! Il faut s’y prendre autrement pour définir une suite sans ambiguïté. De quelle manière ?

2 – Définir une suite … oui, mais comment ?

Les modalités les plus courantes sont :

une formule explicite,
une formule de récurrence.

➣ Une formule explicite permet le calcul direct d’un terme, dès que son indice (c’est-à-dire son numéro d’ordre) est connu. On peut faire démarrer les indices à zéro, ou bien à une autre valeur; c’est sans importance.

Par exemple, la formule explicite :

$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n}=n^{2}+1}$

signifie que chaque terme s’obtient en élevant son indice au carré, puis en ajoutant 1. Les 8 premiers termes sont donc :

1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50

La formule suivante :

$\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace t_{n}=\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)^{2}\prod_{k=1}^{n}\left(1-\frac{1}{2k^2}\right)$

est certes plus compliquée, mais le principe reste le même : connaissant $n,$ on peut directement calculer le terme d’indice $n.$ Par exemple :

$t_{3}=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)^{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{8}\right)\left(1-\frac{1}{18}\right)=\frac{14\thinspace399}{10\thinspace368}$

➣ Une formule de récurrence du premier ordre donne accès à n’importe quel terme, dès qu’on connaît celui qui le précède. Un exemple :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace v_{n+1}=\left(v_{n}\right)^{2}+1$

Cette formule dit que chaque terme est obtenu en élevant le précédent au carré, puis en ajoutant 1. Mais elle est incomplète, car il faut connaître $v_{0}$ pour pouvoir démarrer (c’est ce qu’on appelle une condition initiale). Complétons de la manière suivante :

$\boxed{v_{0}=0\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace v_{n+1}=\left(v_{n}\right)^{2}+1}$

Cette fois, le calcul est faisable. Voici les 8 premiers termes :

0, 1, 2, 5, 26, 677, 458330, 210066388901

Cette suite et la précédente sont distinctes, mais elles ont quelque chose en commun : les termes de la seconde sont tous présents dans la première (ce qui est normal, vu que ce sont des carrés d’entiers auxquels on a ajouté 1). En outre, l’ordre d’apparition des termes est le même : on dit que la seconde suite est extraite de la première.

➣ Une formule de récurrence du second ordre permet le calcul de chaque terme, dès que les deux précédents sont connus. Bien entendu, on a besoin des deux premiers termes pour amorcer le
processus. Exemple :

$\boxed{L_{0}=2,\;L_{1}=1\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace L_{n+1}=L_{n}+L_{n-1}}$

Les 8 premiers termes de cette suite sont :

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29

Cette suite est connu sous le nom de suite de Lucas, c’est un peu la sœur jumelle de la suite de Fibonacci, quoique sans doute moins célèbre.

Les deux suites obéissent à la même formule de récurrence, mais avec des conditions initiales différentes. La suite de Fibonacci est définie par :

$\boxed{F_{0}=0,\;F_{1}=1\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}}$

En raisonnant par récurrence (consulter au besoin cet article), on peut établir les relations suivantes :

$\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\:\left\{ \begin{array}{ccc}F_{n+1}+F_{n-1} & = & L_{n}\\L_{n+1}+L_{n-1} & = & 5F_{n}\end{array}\right.$

➣ On peut généraliser … Voici une suite définie par une relation de récurrence d’ordre 4 :

$x_{0}=0,\:x_{1}=1,\:x_{2}=-3,\:x_{3}=\frac{1}{2}$

$\forall n\geqslant3,\thinspace x_{n+1}=\frac{x_{n}-2\thinspace x_{n-1}}{x_{n-2}^{2}+x_{n-3}^{2}+1}$

Rien de spécial à dire au sujet de cet exemple farfelu (si ce n’est que tous les termes sont des nombres rationnels, mais bon …). Il s’agit surtout de bien voir que chaque terme, à partir de celui d’indice 4, est parfaitement déterminé par la donnée des quatre précédents.

➣ Il faut également signaler le cas des suites définies par une formule de récurrence forte : on donne le premier terme ainsi qu’une formule permettant de calculer chaque terme en fonction de tous les précédents. Exemple :

$\boxed{y_{0}=1\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace y_{n+1}=1+\prod_{k=0}^{n}y_{k}}$

Le symbole $\Pi$ (lettre $\pi$ majuscule) signifie qu’on effectue un produit. Chaque terme, d’indice 1 ou plus, est obtenu est multipliant tous les précédents, puis en ajoutant 1. Ainsi :

$\begin{array}{ccccc}y_{0} & = & 1\\y_{1} & = & 1+1 & = & 2\\y_{2} & = & 1+1\times2 & = & 3\\y_{3} & = & 1+1\times2\times3 & = & 7\\y_{4} & = & 1+1\times2\times3\times7 & = & 43\\y_{5} & = & 1+1\times2\times3\times7\times43 & = & 1807\\y_{6} & = & 1+1\times2\times3\times7\times43\times1807 & = & 3263443\end{array}$

Curieusement, il existe une formule de récurrence du 1er ordre pour cette suite (en démarrant à $y_1$ ) !

En effet, si l’on pose :

$z_{0}=2\qquad\forall n\geqslant2,\thinspace z_{n+1}=z_{n}^{2}-z_{n}+1$

alors :

$\begin{array}{ccccc}z_{1} & = & 2^{2}-2+1 & = & 3\\z_{2} & = & 3^{2}-3+1 & = & 7\\z_{3} & = & 7^{2}-7+1 & = & 43\\z_{4} & = & 43^{2}-43+1 & = & 1807\\z_{5} & = & 1807^{2}-1807+1 & = & 3263443\end{array}$

Amusant, n’est-ce pas ? Sauriez prouver que $z_{n}=y_{n+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ ?

La suite $\left(z_{n}\right)_{n\geqslant0}$ est connue sous le nom de suite de Sylvester.

Elle possède des propriétés remarquables. Par exemple, si l’on calcule la somme des inverses des premiers termes :

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3},\quad\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7},\quad\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43},\quad\cdots$

il se passe quelque chose … Voyez-vous précisément de quoi il s’agit ? Je vous invite à consulter à ce sujet l’exercice n° 3 de cette fiche.

3 – Divers attributs pour une suite

L’illustration dynamique ci-dessous doit aider à rendre intuitives les notions de suite croissante, décroissante, stationnaire, oscillante, majorée, minorée, bornée, périodique, convergente … Des définitions précises sont données juste après (la convergence est définie à la section 4).

Cliquer sur l’image pour faire défiler les différents exemples :

Considérons une suite numérique $u$ (on peut noter $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant0}$ mais il est plus commode de noter simplement $u)$ .

$u$ est dite croissante lorsque :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n+1}\geqslant u_{n}$

et décroissante lorsque :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n+1}\leqslant u_{n}$

$u$ est dite monotone si elle est croissante ou décroissante.

Si la condition

$\exists N\in\mathbb{N};\thinspace\forall n\geqslant N,\thinspace u_{n}=u_{N}$

est remplie, la suite est dite constante APCR (à partir d’un certain rang), ou encore stationnaire.

Parmi les suites non monotones, on distingue les suites oscillantes. Ce sont celles qui varient « en zig-zag », c’est-à-dire que la différence $u_{n+1}-u_{n}$ est de signe alterné (positif ou négatif, selon la parité de $n).$

$u$ est dite périodique s’il existe un entier $q\geqslant1$ tel que :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n+q}=u_{n}$

le plus petit tel entier est appelé la période de $u.$

$u$ est dite majorée si :

$\exists M\in\mathbb{R};\thinspace\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n}\leqslant M$

et minorée si :

$\exists m\in\mathbb{R};\thinspace\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n}\geqslant m$

ce qui revient à dire que la suite $-u=\left(-u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est majorée.

Une suite simultanément majorée et minorée est dite bornée. Ceci équivaut à :

$\exists A\in\mathbb{R}^{+};\thinspace\forall n\in\mathbb{N},\thinspace\left|u_{n}\right|\leqslant A$

Pour la notion de convergence, voir la section 4, plus bas.

Examinons maintenant quelques exemples, en détaillant les calculs …

Exemple 1

La suite définie par :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace A_{n}=\sqrt{n^{2}+n+1}$

est croissante.

Plus généralement, si $f:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R}$ est une application croissante, alors la suite définie par la formule explicite :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n}=f\left(n\right)$

est aussi croissante. Tout simplement parce que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $n<n+1$ et donc $f\left(n\right)\leqslant f\left(n+1\right),$ c’est-à-dire $u_{n}\leqslant u_{n+1}.$

Dans le cas présent, $f$ est l’application

$\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\sqrt{x^{2}+x+1}$

qui est croissante, car sa dérivée est positive. En effet, pour tout réel $x\geqslant0$ :

$f'\left(x\right)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x+1}}$

Exemple 2

Considérons la suite définie par :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace B_{n}=\frac{n^{10}}{2^{n}}$

Ses premiers termes sont :

$B_{0}=0,\;B_{1}=0.5,\;B_{2}=256,\;B_{3}=7381.125$

A première vue, cette suite semble être strictement croissante.

Mais méfions-nous des apparences et calculons le quotient $\frac{B_{n+1}}{B_{n}},$ pour le comparer ensuite à 1. Pour tout $n\geqslant1$ :

$\begin{eqnarray*}\frac{B_{n+1}}{B_{n}} & = & \frac{\left(n+1\right)^{10}}{2^{n+1}}\:\frac{2^{n}}{n^{10}}\\& = & \frac{\left(n+1\right)^{10}}{2\thinspace n^{10}}\end{eqnarray*}$

Cette quantité devient inférieure à 1 dès que :

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{10}<2$

c’est-à-dire dès que :

$n>\frac{1}{\sqrt[10]{2}-1}$

soit finalement $n\geqslant14.$ La suite $\left(B_{n}\right)_{n\geqslant0}$ est donc décroissante à partir d’un certain rang.

L’étude générale des suites dont le terme général est de la forme :

$u_{n}=n^{\alpha}q^{n}\qquad\text{avec }\left\{ \begin{array}{c}\alpha\in\mathbb{R}\\q\in\left]0,1\right[\end{array}\right.$

sera traitée à la section 6. Dans cet exemple, nous avons choisi $\alpha=10$ et $q=\frac{1}{2}.$ Ce qui est remarquable, c’est que la suite géométrique $\left(q^{n}\right)_{n\geqslant0}$ « l’emporte » au sens où elle finit par imposer sa décroissance. Comme on l’a vu, ce phénomène n’est pas numériquement évident si, $q$ étant fixé dans $\left]0,1\right[,$ $\alpha$ est choisi suffisamment grand : les premiers termes paraissent littéralement s’envoler, alors que tôt ou tard, la suite finit par « dégringoler » vers 0.

Exemple 3

La suite définie par :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace C_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{2^{-k}}{k+1}$

est croissante. D’une manière générale, si $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant0}$ est une suite à termes positifs, alors la suite définie par :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace S_{n}=\sum_{k=0}^{n}u_{k}$

est croissante, puisque pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$S_{n+1}-S_{n}=\left(\sum_{k=0}^{n+1}u_{k}\right)-\left(\sum_{k=0}^{n}u_{k}\right)=u_{n+1}\geqslant0$

Parfois, cet argument s’applique mais pas de manière directe, car il faut d’abord transformer l’écriture du terme général. Par exemple, si l’on pose pour tout $n\geqslant1$ :

$S_n=\sum_{k=0}^{2n-1}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k+1}$

alors le fait que la suite $\left(S_n\right)_{n\geqslant0}$ soit croissante ne saute pas aux yeux. Mais si l’on regroupe les termes deux par deux, il vient :

$S_n=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\left(2k-1\right)}$

et là, cette propriété de croissance est tout à fait visible.

Exemple 4

Considérons la suite définie par :

$\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace D_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}$

Le passage de $n$ à $n+1$ ne consiste pas simplement à rajouter un terme positifs : on change tous les termes et on en ajoute un de plus ! La situation est donc bien différente de celle rencontrée à l’exemple 3.

Pour comprendre ce qui se passe, il sera plus simple d’effectuer un
petit changement d’indice. En posant $j=n+k,$ on voit que :

$\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace D_{n}=\sum_{j=n+1}^{2n}\frac{1}{j}$

Par conséquent :

$\begin{eqnarray*}D_{n+1}-D_{n} & = & \sum_{j=n+2}^{2n+3}\frac{1}{j}-\sum_{j=n+1}^{2n+1}\frac{1}{j}\\& = & \frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{n+1}\\& = & \frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+2}\\& = & -\frac{1}{\left(2n+2\right)\left(2n+3\right)}\\& < & 0\end{eqnarray*}$

Cette fois, c’est sûr : la suite $\left(D_{n}\right)_{n\geqslant0}$ est décroissante.

Exemple 5

Considérons la suite définie par :

$u_{0}=1\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n+1}=1+\frac{1}{u_{n}}$

Quel que soit l’entier $n\geqslant1$ :

$\begin{eqnarray*}u_{n+1}-u_{n} & = & \left(1+\frac{1}{u_{n}}\right)-\left(1+\frac{1}{u_{n-1}}\right)\\& = & \frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n-1}}\\& = & \frac{u_{n-1}-u_{n}}{u_{n-1}u_{n}}\end{eqnarray*}$

Cette dernière quantité est du signe contraire à $u_{n}-u_{n-1}.$ Il en résulte, par récurrence, que $u_{n+1}-u_{n}$ est du même signe que $\left(-1\right)^{n}\left(u_{1}-u_{0}\right)=\left(-1\right)^{n}.$

On a donc affaire à une suite oscillante.

L’étude de cette suite sera poursuivie à la section 6

Exemple 6

Considérons la suite définie par :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n}=\frac{n}{3}-\left\lfloor \frac{n}{3}\right\rfloor +\sin\left(\frac{2\pi n}{5}\right)$

et vérifions qu’il s’agit d’une suite périodique.

La fonction « partie fractionnaire », définie par $f\left(t\right)=t-\left\lfloor t\right\rfloor$ pour tout $t\in\mathbb{R}$ est 1-périodique. La suite de terme général :

$x_{n}=\frac{n}{3}-\left\lfloor \frac{n}{3}\right\rfloor$

est donc 3-périodique. Par ailleurs, la fonction sinus est $2\pi-$ périodique et donc, la suite de terme général :

$y_{n}=\sin\left(\frac{2\pi n}{5}\right)$

est 5-périodique. Or si une suite est $q-$ périodique, alors tout multiple de $q$ est une période pour cette suite. Donc $15$ est une période commune pour les suites $\left(x_{n}\right)_{n\geqslant0}$ et $\left(y_{n}\right)_{n\geqslant0},$ ce qui entraîne que la suite proposée est $15-$ périodique.

4 – Qu’est ce qu’une suite convergente ?

La notion de convergence pour une suite numérique est moins simple à définir (et à cerner …) que les notions de monotonie, périodicité et autres, vues plus haut.

Il serait incorrect de la définir en disant qu’une suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant0}$ converge vers un nombre réel $L$ à condition que l’écart $\left|u_n-L\right|$ diminue et s’approche indéfiniment de 0. On a en effet envie de considérer que la suite de terme général :

$u_{n}=\left\{ \begin{array}{cc}0 & \text{si }n\text{ est pair}\\\\{\displaystyle \frac{1}{n}} & \text{sinon}\end{array}\right.$

converge vers 0. Pourtant, l’écart entre $u_{n}$ et 0 (c’est-à-dire … $u_{n})$ ne décroît pas (et ne décroît d’ailleurs à partir d’aucun rang).

La bonne définition remonte au milieu du XIXème siècle. Elle est attribuée à A-L. Cauchy (même s’il y a eu des précurseurs, comme le portugais José Anastácio da Cunha) :

Définition

On dit qu’une suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant0}$ de nombres réels converge vers $L\in\mathbb{R}$ lorsque, pour tout $\epsilon>0,$ il existe un entier $N\geqslant0$ tel que :

$\forall n\geqslant N,\thinspace\left|u_{n}-L\right|\leqslant\epsilon$

En d’autres termes, on doit pouvoir rendre l’écart entre $u_{n}$ et $L$ arbitrairement petit, à partir d’un certain rang.

Exemple

Considérons la suite de terme général :

$u_{n}=\frac{2n^{2}+\left(-1\right)^{n}n}{n^{2}+5n+1}$

et montrons qu’elle converge. Le numérateur de cette fraction comporte deux termes : il est intuitivement clair que, lorsque $n$ est grand, le terme $\left(-1\right)^{n}n$ devient négligeable devant le terme $2n^{2}.$ Pour des raisons similaires, le dénominateur se comporte, lorsque $n$ est grand, comme $n^{2}.$ Ceci permet de deviner que la suite converge vers $2$ et il ne reste plus qu’à le prouver en exploitant la définition.

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$\begin{eqnarray*}2-u_{n} & = & \frac{2\left(n^{2}+5n+1\right)-\left(2n^{2}+\left(-1\right)^{n}n\right)}{n^{2}+5n+1}\\& = & \frac{\left(10-\left(-1\right)^{n}\right)n+2}{n^{2}+5n+1}\end{eqnarray*}$

d’où, d’après l’inégalité triangulaire :

$\begin{eqnarray*}\left|u_{n}-2\right| & \leqslant & \frac{11n+2}{n^{2}+5n+1}\\& \leqslant & \frac{11\left(n+1\right)}{n^{2}+2n+1}\\& = & \frac{11}{n+1}\end{eqnarray*}$

Retenons que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}$ :

$\left|u_{n}-2\right|\leqslant\frac{11}{n}$

Par conséquent, étant donné $\epsilon>0,$ il suffit pour que $\left|u_{n}-2\right|\leqslant\epsilon$ que l’on ait :

$n\geqslant N=\left\lceil \frac{11}{\epsilon}\right\rceil$

La convergence de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant0}$ vers 2 est établie.

On peut prouver les résultats suivants, qui sont fondamentaux :

Théorème 1

Etant données deux suites convergentes $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant0}$ et $\left(v_{n}\right)_{n\geqslant0}$ de limites respectives $\alpha$ et $\beta$ :

la suite $\left(u_{n}+v_{n}\right)_{n\geqslant0}$ converge vers $\alpha+\beta$
la suite $\left(u_{n}v_{n}\right)_{n\geqslant0}$ converge vers $\alpha\beta$

Théorème 2

Etant donnée une suite convergente $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant0}$ de limite $\alpha\neq0,$ il existe $N\in\mathbb{N}$ tel que $u_{n}\neq0$ dès que $n\geqslant N$ et la suite $\left(\frac{1}{u_{n}}\right)_{n\geqslant N}$ converge vers $\frac{1}{\alpha}.$

En combinant le second théorème avec la deuxième partie du premier, on obtient la :

Proposition

Etant données deux suites convergentes $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant0}$ et $\left(v_{n}\right)_{n\geqslant0}$ de limites respectives $\alpha$ et $\beta,$ avec $\beta\neq0$ , la suite $\left(u_{n}/v_{n}\right)_{n\geqslant N}$ est bien définie pour $N$ assez grand et converge vers $\alpha/\beta.$

Signalons encore un résultat important :

Lemme de Cesàro

Etant donnée une suite convergente $\left(x_{n}\right)_{n\geqslant0}$ de limite $L,$ la suite de terme général :

$M_{n}=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}x_{k}$

converge aussi vers $L.$

La preuve du lemme de Cesàro constitue une excellente occasion de se frotter à la définition de la convergence, en manipulant des $\epsilon$ et des $N$ …

On veut montrer que l’écart $\left|M_{n}-L\right|$ peut être rendu arbitrairement petit, pourvu que $n$ soit assez grand.

Etant donné $\epsilon>0$ arbitraire, on sait qu’il existe un entier $N$ tel que :

$\forall k>N,\thinspace\left|x_{k}-L\right|\leqslant\epsilon$

On commence par observer que la différence $M_{n}-L$ peut s’écrire sous la forme suivante :

$M_{n}-L=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\left(x_{k}-L\right)$

On a intérêt à séparer, dans ce dernier $\Sigma,$ les termes d’indices supérieurs à $N$ des autres. On écrit donc, pour tout $n>N$ :

$M_{n}-L=\boxed{\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{N}\left(x_{k}-L\right)}+\frac{1}{n+1}\sum_{k=N+1}^{n}\left(x_{k}-L\right)$

Allègeons l’écriture en notant simplement $A$ la quantité encadrée, qui est constante (elle ne dépend pas de $n)$ :

$M_{n}-L=\frac{A}{n+1}+\frac{1}{n+1}\sum_{k=N+1}^{n}\left(x_{k}-L\right)$

D’après l’inégalité triangulaire :

$\left|M_{n}-L\right|\leqslant\frac{\left|A\right|}{n+1}+\frac{1}{n+1}\sum_{k=N+1}^{n}\left|x_{k}-L\right|$

et donc, puisque cette dernière somme comporte exactement $n-N$ termes, tous majorés par $\epsilon$ , on voit que :

$\left|M_{n}-L\right|\leqslant\frac{\left|A\right|}{n+1}+\frac{n-N}{n+1}\thinspace\epsilon$

On peut maintenant majorer généreusement le quotient $\frac{n-N}{n+1}$ par $1$ et il nous reste que :

$\left|M_{n}-L\right|\leqslant\frac{\left|A\right|}{n+1}+\epsilon$

pour tout $n>N.$

Pour finir, il existe certainement un entier $N'$ tel que :

$n>N'\Rightarrow\frac{\left|A\right|}{n+1}\leqslant\epsilon$

et donc, l’écart $\left|M_{n}-L\right|$ est majoré par $2\epsilon$ dès que $n>\max\left\{N,N'\right\}.$

Remarque : le cas $L=\infty$

Ce résultat reste valable dans le cas d’une suite qui diverge vers $+\infty$ ou vers $-\infty.$ Autrement dit, si $\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=+\infty$ alors $\lim_{n\rightarrow\infty}M_{n}=+\infty$ et même chose avec $-\infty.$ La démonstration est à peine différente, mais détaillons-la tout de
même, dans le cas où $\left(x_{n}\right)$ diverge vers $+\infty.$

Etant donné un réel $B>0$ arbitraire, il existe un entier $N$ tel que :

$n>N\Rightarrow x_{n}\geqslant B$

Pour tout $n>N,$ on procède comme précédemment, on coupe la somme en deux :

$M_{n}=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{N}x_{k}+\frac{1}{n+1}\sum_{k=N+1}^{n}x_{k}$

puis on minore chaque terme de cette somme par $B,$ ce qui donne :

$M_{n}\geqslant\frac{C}{n+1}+\frac{n-N}{n+1}\thinspace B$

c’est-à-dire :

$M_{n}\geqslant\frac{C-\left(N+1\right)B}{n+1}+B$

Comme ce terme converge vers 0 lorsque $n\rightarrow\infty,$ on peut certainement le minorer par $-\frac{B}{2}$ dès que $n$ dépasse en entier $N'$ convenable.

Ainsi, pour tout $n>\max\left\{N,N'\right\}$ :

$M_{n}\geqslant\frac{B}{2}$

Un article intégralement dédié au lemme de Cesàro et à son histoire est consultable ici.

5 – Convergence monotone

En théorie, la convergence d’une suite peut être établie en se servant de la définition rappelée au début de la section précédente.

Toutefois, dans bon nombre de cas, cette stratégie n’est pas envisageable, pour la simple raison qu’elle exige que la valeur de la limite soit connue à l’avance (voir l’exemple traité à la section 4, ainsi que la preuve du lemme de Cesàro).

Par exemple, il se trouve la suite de terme général :

$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\cos\left(k\right)}{k^{2}}$

converge, mais il n’est guère possible de le prouver de cette manière. Cet obstacle peut être contourné au moyen du critère de Cauchy, qui donne une condition nécessaire et suffisante de convergence et qui est présenté dans cet article plus avancé.

Voici un résultat d’usage courant, qui fournit une condition suffisante de convergence :

Théorème de la limite monotone

Toute suite réelle, croissante et majorée ou bien décroissante et minorée, est convergente.

Il est essentiel de bien voir que l’hypothèse ne constitue qu’une condition SUFFISANTE, et pas du tout nécessaire ! Par exemple, la suite de terme général :

$u_{n}=\frac{\left(-1\right)^{n}}{n}\qquad\left(n\geqslant1\right)$

converge vers 0, mais elle n’est monotone à partir d’aucun rang.

Le théorème de la limite monotone sera admis dans le présent article. Toutefois, le lecteur intéressé pourra consulter ici une preuve. Contentons-nous d’examiner des exemples qui en soulignent l’intérêt.

Exemple 1

Notons, pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}$ :

$S_{n}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}$

quantité qu’on note habituellement ainsi :

$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}}$

Il est facile de voir que la suite $S$ est (strictement) croissante. En effet, pour tout entier $n\geqslant1$ :

$S_{n+1}-S_{n}=\frac{1}{\left(n+1\right)^{2}}>0$

Pour prouver que cette suite converge, il suffit donc de montrer qu’elle est majorée. A cet effet, on observe que, pour tout entier $k\geqslant2$ :

$\frac{1}{k^{2}}<\frac{1}{k\left(k-1\right)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$

et donc, en sommant entre elles ces inégalités pour $k=2$ à $n$ :

$\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^{2}}<\sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=1-\frac{1}{n}<1$

d’où, pour tout $n\geqslant2$ :

$S_{n}<2$

Et voilà !

La convergence de la suite $S$ est établie, mais cette méthode nous laisse dans l’ignorance quant à la valeur de sa limite, qu’on peut noter $L.$

La question du calcul explicite de $L$ constitue le célèbre problème de Bâle, posé en $\boxed{1644}$ par le mathématicien italien Pietro Mengoli, et résolu environ un siècle plus tard par Leonhard Euler, qui prouva que :

$L=\frac{\pi^{2}}{6}$

Il est amusant de constater que :

$\frac{\pi^{2}}{6}\simeq\boxed{1,644}$

Les numérologues en herbe apprécieront 🙂

Exemple 2

La suite définie par :

$\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace u_{n}=\frac{n!\thinspace e^{n}}{n^{n}\sqrt{n}}$

est convergente. On peut en effet prouver sa décroissance, en vérifiant que :

$\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right)\leqslant0$

Le détail des calculs est consultable dans cet article de niveau un peu plus avancé, consacré aux propriétés de la factorielle.

Comme on le voit d’ailleurs dans l’article en question, on peut prouver (en faisant intervenir les intégrales de Wallis) que :

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!\thinspace e^{n}}{n^{n}\sqrt{n}}=\sqrt{2\pi}$

Ce résultat remarquable (qui réunit les constantes $e$ et $\pi$ dans une même égalité) constitue la célèbre formule de Stirling.

6 – Exemples variés d’études de suites

Commençons par deux « incontournables ».

Exemple 1

Donnons-nous un réel $\alpha$ quelconque et un réel $q$ tel que $0<q<1.$

Etudions la suite de terme général :

$x_{n}=n^{\alpha}q^{n}\qquad\left(n\geqslant1\right)$

Pour tout $n\geqslant1$ :

$\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\alpha}q$

Comme ${\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=q},$ on voit en particulier qu’il existe $N\geqslant1$ tel que :

$\forall n\geqslant N,\thinspace x_{n+1}<x_{n}$

Ceci prouve que la suite $x$ est décroissante APCR. Comme elle est d’évidence minorée par 0, elle converge (attention de ne pas affirmer trop vite qu’elle converge vers 0, ce n’est pas encore établi !).

Notons ${\displaystyle L=\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}}.$ En passant à la limite dans l’égalité :

$x_{n+1}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\alpha}q\thinspace x_{n}$

on obtient $L=qL,$ c’est-à-dire $\left(1-q\right)L=0.$ Vu que $q\neq1,$ ceci impose $\boxed{L=0}$

Remarque

Ce qui précède inclut le cas particulier de la suite géométrique $\left(q^{n}\right)_{n\geqslant0}$ (en choisissant $\alpha=0).$ Bien entendu, une telle suite est (strictement) décroissante, tout court (la mention APCR n’a pas lieu d’être).

Exemple 2

A présent, fixons un réel $a>0$ et posons, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$y_{n}=\frac{a^{n}}{n!}$

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$\frac{y_{n+1}}{y_{n}}=\frac{a}{n+1}$

Ceci entraîne $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{y_{n+1}}{y_{n}}=0$ et il existe donc un entier naturel $N$ tel que :

$\forall n\geqslant N,\thinspace y_{n+1}<y_{n}$

La suite $y$ est donc décroissante APCR. Etant minorée par 0, elle converge. Si l’on note $\lambda$ sa limite, alors un passage à la limite dans l’égalité :

$y_{n+1}=\frac{a}{n+1}\thinspace y_{n}$

donc $\lambda=0\times\lambda.$ Bref, la suite proposée converge vers 0.

On notera que les deux exemples précédents ont été traités essentiellement de la même façon. Passons à l’étude d’une suite définie par itération d’une fonction.

Exemple 3

Reprenons la suite définie par :

$u_{0}=1\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n+1}=1+\frac{1}{u_{n}}$

qui a été en partie étudiée à la section 3 et tâchons de prouver qu’elle converge.

Nous savons qu’elle est oscillante et le théorème de la limite monotone ne peut donc pas lui être appliqué directement.

Une première chose à faire consiste à déterminer sa limite EVENTUELLE.

Supposons un instant que cette suite converge et notons $\lambda$ sa limite. Comme $u_{n}\geqslant1$ pour tout $n,$ alors $\lambda\geqslant1$ et, en particulier : $\lambda\neq0.$ Ceci nous autorise à effectuer un passage à la limite dans l’égalité :

$u_{n+1}=1+\frac{1}{u_{n}}$

ce qui donne :

$\lambda=1+\frac{1}{\lambda}$

autrement dit :

$\lambda^{2}-\lambda-1=0$

et donc :

$\lambda\in\left\{ \frac{1-\sqrt{5}}{2},\thinspace\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}$

Et comme $\lambda>0,$ il ne reste qu’une possibilité, à savoir :

$\lambda=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Attention, ceci ne prouve absolument pas que la suite $u$ converge vers cette valeur, mais seulement que SI ELLE CONVERGE, alors c’est nécessairement vers ce nombre (que le lecteur averti aura reconnu : il s’agit du nombre d’or).

En utilisant le logiciel en ligne live-itération, on peut facilement obtenir le graphique ci-dessous. On y voit les premières étapes de l’itération de la fonction $x\mapsto1+\frac{1}{x}.$

Bien qu’il n’ait évidemment pas valeur de preuve, ce dessin suggère fortement que la suite $u$ converge en oscillant vers une limite plus grande que 1.

Il nous reste à établir rigoureusement cette convergence. Pour cela, l’idée va être de majorer convenablement l’écart $\vert u_n-\lambda\vert$ . Etant donné que :

$\lambda=1+\frac1\lambda$

on peut écrire, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$\begin{eqnarray*}u_{n+1}-\lambda & = & \left(1+\frac1{u_n}\right)-\left(1+\frac1\lambda\right)\\& = & \frac{\lambda-u_n}{\lambda\,u_n}\end{eqnarray*}$

Comme $u_n\geqslant1$ , il en résulte que pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$\vert u_{n+1}-\lambda\vert\leqslant\frac1\lambda\vert u_n-\lambda\vert$

Par une récurrence immédiate, on en déduit que :

$\vert u_n-\lambda\vert\leqslant\frac1{\lambda^n}\vert u_0-\lambda\vert$

Ceci montre que la suite $u$ converge vers $\lambda$ .

Exemple 4

Petit changement d’ambiance … posons, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$J_{n}=\int_{0}^{1}\ln\left(1+t^{n}\right)\thinspace dt$

Que peut-on dire de la suite $J$ ? Est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?

L’intérêt de ce genre d’exercice tient notamment au fait que l’intégrale n’est pas calculable explicitement (sauf pour $n=1$ et $n=2$ … exercice pour le lecteur 🙂 ). On doit donc abandonner l’idée de se débarrasser du symbole $\int.$

Avec un peu d’habitude, on pense à faire intervenir ici la majoration suivante :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$\forall x\in\left]-1,+\infty\right[,\thinspace\ln\left(1+x\right)\leqslant x$}$

qui se prouve simplement en étudiant les variations de la fonction $x\mapsto x-\ln\left(1+x\right).$

On voit ainsi que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$J_{n}\leqslant\int_{0}^{1}t^{n}\thinspace dt=\left[\frac{t^{n+1}}{n+1}\right]_{t=0}^{1}=\frac{1}{n+1}$

Par ailleurs $J_{n}\geqslant0$ (intégrale d’une fonction positive). On peut donc appliquer le théorème d’encadrement, dont l’énoncé est rappelé ci-dessous et que certains appellent le « théorème des gendarmes », allez savoir pourquoi …

Théorème d’encadrement

Soient $a,b,c$ sont trois suites réelles. On suppose que $\forall n\in\mathbb{N},\thinspace a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}$ et, de plus, que les suites $a$ et $c$ convergent vers une même limite $\lambda.$
Dans ces conditions, la suite $b$ converge aussi vers $\lambda.$

En conclusion, la suite $\left(J_n\right)_{n\geqslant0}$ converge vers 0.

Dans les exemples qui précèdent, les suites étudiées étaient convergentes. Terminons avec deux exemples de suites divergentes …

Exemple 5

Posons, pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}$ :

$H_{n}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}$

De toute évidence la suite $H$ est (strictement) croissante, puisque :

$\forall n\geqslant1,\thinspace H_{n+1}-H_{n}=\frac{1}{n+1}>0$

L’observation-clef est la suivante :

( $\star$ ) $\boxed{\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace H_{2n}-H_{n}\geqslant\frac{1}{2}}$

En effet :

$H_{2n}-H_{n}=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}$

or cette somme comporte $n$ termes et le plus petit d’entre-eux est ${\displaystyle \frac{1}{2n}},$ ce qui donne $\left(\star\right).$

Si la suite $H$ était majorée, elle convergerait vers une limite $\ell>0.$ En passant à la limite dans l’inégalité $\left(\star\right),$ on obtiendrait :

$\ell-\ell\geqslant\frac{1}{2}$

ce qui est absurde ! La suite $H$ est donc croissante et non majorée; ce qui entraîne (cf. détail ci-dessous) qu’elle diverge vers $+\infty.$

Détail (cliquer pour déplier / replier)

On dit d’une suite réelle $x$ qu’elle diverge vers $+\infty$ lorsque :

$\forall A\in\mathbb{R},\thinspace\exists N\in\mathbb{N};\thinspace\forall n\geqslant N,\thinspace x_{n}\geqslant A$

Il est alors facile de prouver que toute suite croissante et non majorée diverge vers $+\infty.$

En effet, soit $x$ une telle suite. Le fait qu’elle ne soit pas majorée se traduit par :

$\forall A\in\mathbb{R},\thinspace\exists N\in\mathbb{N};\thinspace x_{N}\geqslant A$

puis, vue l’hypothèse de croissance :

$\forall n\geqslant N,\thinspace x_{n}\geqslant x_{N}$

ce qui permet de conclure.

Exemple 6

Fixons un réel $\theta$ non multiple de $\pi$ et posons, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$c_{n}=\cos\left(n\theta\right)\qquad\text{et}\qquad s_{n}=\sin\left(n\theta\right)$

Nous allons montrer par l’absurde que les suites $c$ et $s$ sont toutes les deux divergentes.

On fait donc l’hypothèse que l’une au moins des deux suites converge et l’on cherche une contradiction.

Il sera utile de noter que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$\left\{ \begin{array}{ccccc}s_{n+1} & = & s_{n}c_{1}+c_{n}s_{1} & \qquad & \left(1\right)\\c_{n+1} & = & c_{n}c_{1}-s_{n}s_{1} & \qquad & \left(2\right)\end{array}\right.$

ce qui résulte aussitôt des formules d’addition pour le sinus et pour le cosinus.

Vu que $s_{1}\neq0,$ la relation $\left(1\right)$ montre que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$c_{n}=\frac{1}{s_{1}}\left(s_{n+1}-s_{n}c_{1}\right)$

Cette égalité montre que si la suite $s$ converge, alors il en va de même pour la suite $c.$

De même, la relation $\left(2\right)$ montre que pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$s_{n}=\frac{1}{s_{1}}\left(c_{n}c_{1}-c_{n+1}\right)$

et donc, si la suite $c$ converge, alors la suite $s$ converge aussi.

Bref, la convergence de l’une au moins des deux suites entraîne la convergence des deux.

Notons $\alpha,\beta$ les limites respectives de $s$ et $c.$ En passant à la limite dans les relations $\left(1\right)$ et $\left(2\right),$ on voit que :

$\left\{ \begin{array}{ccc}\alpha & = & \alpha c_{1}+\beta s_{1}\\\beta & = & \beta c_{1}-\alpha s_{1}\end{array}\right.$

c’est-à-dire :

$\left\{ \begin{array}{ccc}\left(1-c_{1}\right)\alpha-s_{1}\beta & = & 0\\s_{1}\alpha+\left(1-c_{1}\right)\beta & = & 0\end{array}\right.$

Calculons le déterminant du système :

$\begin{eqnarray*}D & = & \left(1-c_{1}\right)^{2}+s_{1}^{2}\\& = & 2-2c_{1}\end{eqnarray*}$

Vu que $c_{1}\neq1,$ alors $D\neq0$ et donc (système de Cramer homogène) :

( $\heartsuit$ ) $\alpha=\beta=0$

Mais par ailleurs :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace s_{n}^{2}+c_{n}^{2}=1$

d’où, après passage à la limite :

( $\spadesuit$ ) $\alpha^{2}+\beta^{2}=1$

On voit bien que les relations $\left(\heartsuit\right)$ et $\left(\spadesuit\right)$ sont incompatibles !

Vos questions ou remarques seront toujours les bienvenues. Vous pouvez laisser un commentaire ci-dessous ou bien passer par le formulaire de contact.

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Cet article a 9 commentaires

Harouna BA 2 Mai 2025 Répondre

Vraiment le site est hyper important. J’ai vu beaucoup de détails bien expliqués.Je vous remercie pour vos efforts.
Joseph Cesana 7 Mar 2022 Répondre

Bonjour, à propos de la section 6. Convergence d’une suite. L’exemple choisi : $Un = 0$ si n pair , $1/n$ sinon.
Je conçois que l’écart entre $U_n$ et $0$ ne décroisse pas de manière uniforme mais plutôt en dents de scie en $1/n$ si n impair et 0 sinon. … $U_{2k+1}< U_{2k-1} < U_{2k-3} < \cdots$ et $U_0 = ... = U_{2p}=0$ . Le fait que la suite soit oscillante ne me parait pas contredire la définitition de convergence selon Cauchy.
Pour n’importe quel $\varepsilon>0$ aussi petit soit il, on trouvera toujours un N tel que $1/n\ge N$ et a fortiori 0 soit plus petit que le Epsilon choisit. N’est ce pas suffisant pour affirmer que $u_n$ converge vers 0?
1. Joseph Cesana 7 Mar 2022 Répondre
  
  correction, Tous les $U_{2k+1}$ superieurs aux $U_0=U_{2p}=0$
2. René Adad 7 Mar 2022 Répondre
  
  Je pense que vous devez faire référence à la section 4 (et pas 6), où l’on explique que la convergence d’une suite ne saurait être définie en imposant à l’écart $\vert u_n-\ell\vert$ de décroître et de « s’approcher toujours plus de 0 ».
  La suite proposée ne vérifie d’ailleurs PAS cette condition et pourtant on a bien envie de la considérer comme une suite convergente. A partir de là, on adopte la définition de la convergence telle que Cauchy l’a formulée.
  1. Joseph Cesana 7 Mar 2022 Répondre
    
    … et donc, en choisissant N = 1/Epsilon, La suite verifie bien la definition telle que Cauchy l’a formule’e, i.e. elle converge vers 0. Cette conclusion est elle correcte?
    En relisant, je pense que le texte veut montrer l’evolution de la notion de suite convergente qui « converge » vers une definition plus precise telle « Cauchy ».
CLAVIER 18 Sep 2021 Répondre

Ah oui, je réalise tout à coup le lapsus ! C’est la réponse du berger à la bergère. Bon, les colles reprennent cette semaine, non plus en MPSI mais en MP2I pour moi. Merci pour vos articles intéressants dans lesquels je puise des idées pour mes exercices.
CLAVIER 17 Sep 2021 Répondre

Bonjour, il manque le cœur et le trèfle pour désigner où sont les deux relations incompatibles. Enfin, elle ne sont pas bien difficiles à localiser. Par contre, il y a beaucoup plus grave : sur la photo, ce ne sont pas des gendarmes mais des policiers !
1. René Adad 17 Sep 2021 Répondre
  
  Bonjour et merci pour votre lecture attentive (et votre œil d’aigle !) : j’ai ajouté en toute fin d’article les deux symboles manquants.
  Vous avez raison, j’ai confondu policiers et gendarmes et je m’en excuse. Mais je n’ai pas trouvé meilleure photo …
  Et après tout, confondre trèfle et pique, n’est-ce pas tout aussi grave ? 🙂
2. Aroua 29 Sep 2024 Répondre
  
  Je trouve hyper intéressant ce site 😋 merci