Comment construire un tableau de signe ?

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1 – En bref …

On a parfois besoin de déterminer le signe d’une expression qui dépend d’une variable réelle x.

Notons E(x) une telle expression. Si l’on sait écrire E(x) comme le produit de deux expressions plus simples, disons E_1(x) et E_2(x) , pour chacune desquelles le signe est connu, il suffit d’appliquer la fameuse règle des signes pour conclure.

On présente généralement le résultat dans un tableau qui comporte quatre lignes :

→ une pour x
→ une pour E_1(x)
→ une pour E_2(x)
→ une pour E(x)=E_1(x)E_2(x)

Bien entendu, ce principe s’applique tout aussi bien pour un plus grand nombre de facteurs ! Par exemple, si E( x ) = E_1 ( x ) E_2 ( x ) E_3 ( x ) , on ajoutera simplement une ligne au tableau …

2 – Un exemple basique

On souhaite déterminer, pour tout x\in\mathbb{R}, le signe de :

    \[ E( x ) =( x-1 ) ( x-2 ) \]

On sait bien que :

    \[ x-1>0\Leftrightarrow x>1\qquad\textrm{et}\qquad x-1=0\Leftrightarrow x=1 \]

et, de même :

    \[ x-2>0\Leftrightarrow x>2\qquad\textrm{et}\qquad x-2=0\Leftrightarrow x=2 \]

d’où le tableau incomplet suivant :

tableau de signe incomplet

La dernière ligne s’obtient alors, comme on l’a expliqué plus haut, grâce à la règle des signes :

 

  • Si x<1, alors x-1<0 et x-2<0, donc E(x)>0
  • Si 1<x<2, alors x-1>0 et x-2<0, donc E(x)<0
  • Si x>2, alors x-1>0 et x-2>0, donc E(x)>0
  • Si x=1 ou x=2, alors x-1=0 ou x-2=0, donc E(x)=0
On obtient finalement le tableau de signe :

Tableau de signe basique

La quantité E(x) est donc :

strictement positive pour x\in]-\infty,1[\cup]2,+\infty[

nulle pour x\in\{ 1,2\}

strictement négative pour x\in]1,2[

3 – Un autre exemple, moins basique

On souhaite déterminer le signe de F(x)=x^3-2x^2-x+2, pour tout x\in\mathbb{R}.

L’expression F(x) se présente comme une somme. Comme expliqué au début de ce document, on doit d’abord l’écrire comme un produit : autrement dit, la factoriser.

Pour cela, on peut remarquer que, pour tout x\in\mathbb{R} :

    \begin{eqnarray*} F(x) & = & (x^{3}-x)-(2x^{2}-2)\\ & = & x(x^{2}-1)-2(x^{2}-1)\\ & = & (x^{2}-1)(x-2)\\ & = & (x+1)(x-1)(x-2) \end{eqnarray*}

En suivant alors la même démarche que dans l’exemple précédent, on construit le tableau de signe :

Tableau de signe fonction polynôme

Tout ceci montre que la quantité F(x) est :

strictement positive pour x\in]-1,1[\cup]2,+\infty[

nulle pour x\in\{ -1,1,2\}

strictement négative pour x\in]-\infty,-1[\cup]1,2[

4 – Un dernier exemple, teinté de trigonométrie

On souhaite déterminer le signe de G(x)=\sin(2x)+\sin(x) pour tout x\in[0,\pi].

On doit, pour commencer, factoriser G(x). Pour cela, on utilise la formule de trigonométrie suivante, valable pour tout couple (p,q) de nombres réels :

    \[ \boxit{\sin(p)+\sin(q)=2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)} \]

En remplaçant p et q par 2x et x respectivement, on voit que, pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[ G(x)=2\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) \]

Il nous faut maintenant déterminer le signe de chacun des deux facteurs \sin\left(\frac{3x}{2}\right) et \cos\left(\frac{x}{2}\right). Lorsque x parcourt [0,\pi], on constate que :

    \[ \frac{3x}{2}\;\text{parcourt}\;\left[0,\frac{3\pi}{2}\right]\qquad\text{et}\qquad\frac{x}{2}\;\text{parcourt}\;\left[0,\frac{\pi}{2}\right] \]

Or, comme l’indiquent ces deux petits tableaux, on connaît le signe de \sin(t) pour 0\leqslant t\leqslant\frac{3\pi}{2} et celui de \cos(t) pour 0\leqslant t\leqslant\frac{\pi}{2} :

Tableau de signe de sin(t)

tableau de signe de cos(t)

Il ne reste plus qu’à combiner tout cela, pour obtenir :

tableau de signe fonction trigonométrique

Ainsi, la quantité G\left(x\right) est :

strictement positive pour x\in\left]0,\frac{2\pi}{3}\right[

nulle pour x\in\left\{ 0,\frac{2\pi}{3},\pi\right\}

strictement négative pour x\in\left]\frac{2\pi}{3},\pi\right[

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Cet article a 1 commentaire

  1. Yes, ça m’a bien aidé. Merci beaucoup !

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