![article-niveau-lycée](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/icone-Math-OS-Article-Lycee-205-205.png)
1 – En bref …
On a parfois besoin de déterminer le signe d’une expression qui dépend d’une variable réelle .
Notons une telle expression. Si l’on sait écrire
comme le produit de deux expressions plus simples, disons
et
, pour chacune desquelles le signe est connu, il suffit d’appliquer la fameuse règle des signes pour conclure.
On présente généralement le résultat dans un tableau qui comporte quatre lignes :
→ une pour
→ une pour
→ une pour
→ une pour
Bien entendu, ce principe s’applique tout aussi bien pour un plus grand nombre de facteurs ! Par exemple, si , on ajoutera simplement une ligne au tableau …
2 – Un exemple basique
On souhaite déterminer, pour tout , le signe de :
![tableau de signe incomplet](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/tableau-de-signe-001a.png)
La dernière ligne s’obtient alors, comme on l’a expliqué plus haut, grâce à la règle des signes :
- Si
, alors
et
, donc
- Si
, alors
et
, donc
- Si
, alors
et
, donc
- Si
ou
, alors
ou
, donc
On obtient finalement le tableau de signe :
![Tableau de signe basique](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/tableau-de-signe-001b.png)
La quantité est donc :
➡ strictement positive pour
➡ nulle pour
➡ strictement négative pour
3 – Un autre exemple, moins basique
On souhaite déterminer, pour tout , le signe de :
L’expression se présente comme une somme. Comme expliqué au début de ce document, on doit d’abord l’écrire comme un produit : autrement dit, la factoriser.
Pour cela, on peut remarquer que, pour tout :
En suivant alors la même démarche que dans l’exemple précédent, on construit le tableau :
![Tableau de signe fonction polynôme](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/tableau-de-signe-002.png)
Tout ceci montre que la quantité est :
➡ strictement positive pour
➡ nulle pour
➡ strictement négative pour
4 – Un dernier exemple, teinté de trigonométrie
On souhaite déterminer le signe de pour tout
.
On doit, pour commencer, factoriser . Pour cela, on utilise la formule de trigonométrie suivante, valable pour tout couple
de nombres réels :
![Rendered by QuickLaTeX.com p](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37f6a1a9a39aa263d588cacc9c82b405_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com q](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-540dac59494482653923dffbd7469e20_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 2x](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ae2003e50249299f004d712e8d70bb66_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f47c0ca630daa11f8093aacc5791a58d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x\in\mathbb{R}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-078b8a8ee410e1cf6ae0e784f3daaa3e_l3.png)
Il nous faut maintenant déterminer le signe de chacun des deux facteurs et
.
Lorsque parcourt
, on constate que :
parcourt
parcourt
Or, on connaît le signe de sur
et celui de
sur
:
![Tableau de signe de sin(t)](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/tableau-de-signe-003a.png)
![tableau de signe de cos(t)](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/tableau-de-signe-003b.png)
Il ne reste plus qu’à combiner tout cela, pour obtenir :
![tableau de signe fonction trigonométrique](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/tableau-de-signe-003c.png)
Ainsi, la quantité est :
➡ strictement positive pour
➡ nulle pour
➡ strictement négative pour
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Yes, ça m’a bien aidé. Merci beaucoup !