Exercices sur les suites numériques – 01

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exercice 1 facile

On définit une suite u par les relations :

    \[ u_{0}=-1\]


et

    \[ \forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n+1}=\frac{u_{n}}{3}-\frac{1}{2}\]

Montrer que cette suite converge et préciser sa limite.

exercice 2 facile

Soient r,s deux réels et soit p\in\left]0,1\right[. On définit un couple \left(a,b\right) de suites réelles en posant :

    \[\left\{\begin{array}{ccc}a_{0} & = & r\\b_{0} & = & s\]


et pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[\left\{\begin{array}{ccc}a_{n+1} & = & \left(1-p\right)a_{n}+pb_{n}\\b_{n+1} & = & pa_{n}+\left(1-p\right)b_{n}\end{array}\right.\]

Montrer que les suites a et b convergent et préciser leurs limites respectives.

exercice 3 facile

Soit la suite définie par :

    \[ q_{0}=2\]


et

    \[ \forall n\in\mathbb{N},\thinspace q_{n+1}=1+\prod_{i=0}^{n}q_{i}\]

Trouver une relation de récurrence du premier ordre vérifiée par cette suite.

Calculer {\displaystyle S_{n}=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{q_{i}}} pour 1\leqslant n\leqslant4.

Conjecturer une formule générale pour S_{n} puis la démontrer.

Etant donné un réel s>0, on définit une suite x par les relations :

    \[ x_{0}=s\]

et

    \[ \forall n\in\mathbb{N},\thinspace x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}}\]

Montrer que cette suite converge vers une limite indépendante de s.

On pose, pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[ H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\]

Justifier que, pour tout x>0 :

    \[ \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}>\frac{3}{x}\]

En déduire que la suite H diverge vers l’infini.

Soit y la suite réelle définie par y_0=0 et la formule de récurrence :

    \[\forall n\in\mathbb{N},\thinspace y_{n+1}=\left(n+1\right)y_{n}+1\]

Trouver un équivalent de y_{n} lorsque n\rightarrow\infty.

Soit a,b deux suites réelles. On suppose a convergente, b bornée et de plus, que :

    \[ \forall n\in\mathbb{N},\thinspace b_{n+1}-b_{n}\leqslant a_{n+1}-a_{n}\]

Montrer que b est convergente.

On pose pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[P_{n}=\left[\prod_{k=1}^{n}\left(n^{2}+k^{2}\right)\right]^{1/n}\]

Montrer qu’il existe deux réels \lambda,\mu (que l’on précisera) tels que :

    \[P_{n}\sim\lambda\thinspace n^{\mu}\quad\text{lorsque }n\rightarrow\infty\]

exercice 9 difficile

Soient a,b,c trois suites réelles vérifiant :

    \[\left\{ \begin{array}{ccc}{\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}+b_{n}+c_{n}\right)} & = & 0\\\\{\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\left(e^{a_{n}}+e^{b_{n}}+e^{c_{n}}\right)} & = & 3\end{array}\right.\]

Que peut-on dire ?


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