Initiation aux suites de Cauchy

L’étude des suites de Cauchy et des espaces complets figurait autrefois aux programmes de mathématiques du 1er cycle universitaire et des classes préparatoires scientifiques. Ce n’est plus le cas aujourd’hui, ce que certains (j’en suis) peuvent déplorer. Voir à ce sujet cet échange (qui remonte à 2015) sur le site du Images des mathématiques du CNRS.

Le présent article est écrit à l’intention de celles et ceux qui souhaiteraient s’initier à ce sujet passionnant, afin d’élargir leur point de vue sur les questions d’analyse réelle.

1 – La définition de la convergence ne suffit pas

Commençons par le commencement : que signifie qu’une suite réelle est convergente ?

Définition

Une suite réelle u est dite convergente lorsqu’il existe un nombre réel L, tel que l’écart entre u_{n} (le n-ème terme de la suite u) et L devient arbitrairement petit, à partir d’un certain rang.

En symboles :

    \[\boxed{\begin{array}{c}\exists L\in\mathbb{R};\thinspace\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N};\thinspace\forall n\in\mathbb{N},\\n\geqslant N\Rightarrow\left|u_{n}-L\right|\leqslant\epsilon\\\end{array}}\]

Une suite réelle qui n’est pas convergente est dite divergente.

On peut prouver l’unicité d’un tel nombre L (voir l’encadré ci-dessous). En cas d’existence, on dit que L est la limite de la suite u, qu’on note au choix \displaystyle\lim u ou bien {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}u_{n}.}

Unicité de la limite (cliquer pour déplier / replier)

Supposons que la suite u converge vers L et vers L'.

Etant donné \epsilon>0 il existe un couple \left(N,N'\right) d’entiers naturels tel que :

    \[\begin{array}{cc}\forall k\geqslant N, & \left|u_{k}-L\right|\leqslant\frac{\epsilon}{2}\\\\\forall k\geqslant N', & \left|u_{k}-L'\right|\leqslant\frac{\epsilon}{2}\end{array}\]

Pour k\geqslant\max\left\{ N,N'\right\} , on voit donc avec l’inégalité triangulaire que :

    \begin{eqnarray*}\left|L-L'\right| & = & \left|\left(L-u_{k}\right)+\left(u_{k}-L'\right)\right|\\ & \leqslant & \left|L-u_{k}\right|+\left|u_{k}-L'\right|\\ & \leqslant & \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}\end{eqnarray*}

Ceci prouve que :

    \[\forall\epsilon>0,\thinspace\left|L-L'\right|\leqslant\epsilon\]

Autrement dit : L=L'.

Un constat s’impose :

Si l’on veut établir la convergence d’une suite réelle, en appliquant strictement la définition, alors il faut connaître à l’avance la valeur de la limite.

Dans certains cas simples, ce n’est pas gênant …

Exemple 1

Supposons qu’on veuille établir la convergence de la suite de terme général :

    \[u_{n}=\sqrt{n^{2}+4n}-n\]

On commence par ré-écrire cette expression sous une forme plus maniable.

Pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \begin{eqnarray*} u_{n} & = & \frac{\left(\sqrt{n^{2}+4n}-n\right)\left(\sqrt{n^{2}+4n}+n\right)}{\sqrt{n^{2}+4n}+n}\\ & = & \frac{4n}{\sqrt{n^{2}+4n}+n}\\ & = & \frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{n}}+1} \end{eqnarray*}

A partir de là, les choses s’éclaircissent : le dénominateur de la dernière fraction écrite est proche de 2 lorsque n est grand. On devine ainsi que cette suite doit converger vers 2.

Il reste à établir cela rigoureusement, en utilisant la définition de la convergence.

On se donne un réel \epsilon>0 et l’on tâche de montrer que :

    \[\left|u_{n}-2\right|\leqslant\epsilon\quad\text{dès que }n\text{ est assez grand}\]

Pour cela, on raisonne par condition suffisante, c’est-à-dire qu’on cherche N\in\mathbb{N} tel que la condition n\geqslant N suffise pour garantir \left|u_{n}-2\right|\leqslant\epsilon.

On peut observer que :

    \begin{eqnarray*} 2-u_{n} & = & 2+n-\sqrt{n^{2}+4n}\\ & = & \frac{\left(2+n\right)^{2}-\left(n^{2}+4n\right)}{2+n+\sqrt{n^{2}+4n}}\\ & = & \frac{4}{2+n+\sqrt{n^{2}+4n}} \end{eqnarray*}

et que :

    \[\underbrace{2+n}_{\geqslant n}+\underbrace{\sqrt{n^{2}+4n}}_{\geqslant n}\geqslant2n\]

Ainsi, pour tout n\geqslant1 :

    \[\left|u_{n}-2\right|\leqslant\frac{2}{n}\]

Notons maintenant N un entier plus grand que 2/\epsilon; par exemple :

    \[N=\left\lceil \frac{2}{\epsilon}\right\rceil\]

le symbole \left\lceil X\right\rceil désignant la partie entière par excès du réel X.

On constate que :

    \[n\geqslant N\Rightarrow\left|u_{n}-2\right|\leqslant\epsilon\]

Mais en général, les choses ne sont pas aussi simples …

Exemple 2

Considérons maintenant la suite de terme général :

    \[S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{\cos\left(k^{2}\right)}{2^{k}}\]

La nature (convergence ou divergence) de la suite S n’est pas évidente.

Et à supposer qu’elle converge, la valeur de sa limite n’est pas claire non plus …

L’idéal serait un outil permettant d’affirmer la convergence d’une suite, mais sans qu’il soit nécessaire de deviner à l’avance la limite.

Bonne nouvelle : cet outil existe !

Il a été indépendamment découvert / inventé par B. Bolzano et A-L. Cauchy, dans la première moitié du XIXème siècle.

2 – Le critère de Cauchy

Définition

Une suite réelle u est de Cauchy lorsque l’écart entre deux termes devient arbitrairement petit à partir d’un certain rang.

En symboles :

    \[\boxed{\begin{array}{c}\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall\left(p,q\right)\in\mathbb{N}^{2},\\\left(p\geqslant N\text{ et }q\geqslant N\right)\Rightarrow\left|u_{p}-u_{q}\right|\leqslant\epsilon\end{array}}\]

On peut reformuler cette condition sous la forme :

    \[\lim_{{p\rightarrow\infty\atop q\rightarrow\infty}}\left(u_{p}-u_{q}\right)=0\]

Il est facile de voir que :

Proposition

Toute suite réelle convergente est de Cauchy.

Preuve (cliquer pour déplier / replier)

Soit u une suite réelle convergente, de limite L. Etant donné \epsilon>0, il existe N\in\mathbb{N} tel que :

    \[\forall k\geqslant N\Rightarrow\left|u_{k}-L\right|\leqslant\frac{\epsilon}{2}\]

L’inégalité triangulaire montre que, dès que p\geqslant N et q\geqslant N :

    \begin{eqnarray*}\left|u_{p}-u_{q}\right| & = & \left|\left(u_{p}-L\right)-\left(u_{q}-L\right)\right|\\ & \leqslant & \left|u_{p}-L\right|+\left|u_{q}-L\right|\\ & \leqslant & \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}= \epsilon\end{eqnarray*}

Ceci prouve que la suite u est de Cauchy.

Mais le plus intéressant réside dans la réciproque, que nous admettrons dans cet article :

Théorème (critère de Cauchy)

Toute suite réelle de Cauchy est convergente.

Dans son cours d’analyse de 1821, Cauchy considérait que le critère qui porte aujourd’hui son nom était clairement équivalent à la convergence. Pourtant, il n’y avait là rien d’évident … mais surtout : le concept précis de nombre réel n’avait pas encore été défini ! Il fallait pour cela attendre encore quelques décennies.

C’est principalement à Georg Cantor , mais aussi à Eduard Heine et Charles Meray que revient le mérite d’avoir élaboré, à la fin du XIXème siècle, une construction rigoureuse du corps des réels et d’avoir, par là-même, fourni une démonstration de l’équivalence entre la définition de la convergence et le critère de Cauchy.

Les détails d’une telle construction sont brièvement évoqués dans le lexique mathématique.

Reprenons la suite S définie à la fin de la section précédente :

    \[\forall n\in\mathbb{N},\thinspace S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{\cos\left(k^{2}\right)}{2^{k}}\]

Pour tout couple \left(p,q\right)\in\mathbb{N}^{2} tel que p<q :

    \[S_{q}-S_{p}=\sum_{k=p+1}^{q}\frac{\cos\left(k^{2}\right)}{2^{k}}\]

donc (inégalité triangulaire) :

    \[\left|S_{q}-S_{p}\right|\leqslant\sum_{k=p+1}^{q}\frac{\left|\cos\left(k^{2}\right)\right|}{2^{k}}\]

et a fortiori :

    \[\left|S_{q}-S_{p}\right|\leqslant\sum_{k=p+1}^{q}\frac{1}{2^{k}}\]

On reconnaît une somme géométrique (de raison 1/2). Il vient :

    \begin{eqnarray*} \left|S_{q}-S_{p}\right| & \leqslant & \frac{1}{2^{p+1}}\thinspace\frac{1-\frac{1}{2^{q-p}}}{1-\frac{1}{2}}\\ & = & \frac{1}{2^{p}}\left(1-\frac{1}{2^{q-p}}\right)\\ & < & \frac{1}{2^{p}} \end{eqnarray*}

On peut donc rendre \left|S_{q}-S_{p}\right| arbitrairement petit, dès que p,q sont assez grands.

Bref, la suite S est de Cauchy et donc, elle converge (mais on ne sait pas trop vers quoi).

Cet exemple se généralise largement : voir la section 7.

Avant de quitter cette section, signalons une confusion fréquente.
Pour une suite réelle u, le fait que u soit de Cauchy n’est pas équivalent à

(\clubsuit)   \[\forall p\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\lim_{n\rightarrow\infty}\left(x_{n+p}-x_{n}\right)=0\]

Par exemple, la suite de terme général :

    \[H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\]

vérifie \left(\clubsuit\right) mais elle n’est pas de Cauchy. En effet :

  • d’une part, en notant \gamma la constante d’Euler, pour tout p\in\mathbb{N}^{\star} fixé, on a lorsque n\rightarrow\infty :

        \begin{eqnarray*} 0<H_{n+p}-H_{n} & = & \ln\left(n+p\right)+\gamma+o\left(1\right)-\left[\ln\left(n\right)+\gamma+o\left(1\right)\right]\\ & = & \ln\left(1+\frac{p}{n}\right)+o\left(1\right) \end{eqnarray*}

    donc :

        \[\lim_{n\rightarrow\infty}\left(H_{n+p}-H_{n}\right)=0\]

  • et d’autre part, pour tout n>1 :

        \[H_{2n}-H_{n}=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}>\frac{1}{2}\]

3 – Limite monotone

L’énoncé suivant, qui est admis en fin de lycée, est très utile. C’est le théorème de la limite monotone, en abrégé TLM :

TLM

Toute suite réelle, croissante et majorée, est convergente.

Bien entendu, toute suite réelle décroissante et minorée est aussi convergente (on le voit aussitôt en appliquant le TLM à la suite opposée).

Comme expliqué plus haut, le critère de Cauchy permet de prouver la convergence (éventuelle) d’une suite réelle, sans avoir à connaître sa limite à l’avance. Le TLM possède visiblement la même vertu. On pourrait donc penser que, tous comptes faits, le critère de Cauchy est un gadget superflu. C’est inexact, pour deux raisons :

  1. Contrairement au critère de Cauchy qui donne une condition nécessaire et suffisante de convergence (c’est d’ailleurs le sens du mot critère) — le TLM ne donne qu’une condition suffisante (et non nécessaire) de convergence. Par exemple, la suite de terme général {\displaystyle \frac{\left(-1\right)^{n}}{n+1}} converge vers 0, mais n’est monotone à partir d’aucun rang.
  2. Le TLM repose sur le théorème de la borne supérieure, qui repose sur le critère de Cauchy.

Théorème (de la borne supérieure)

Toute partie non vide et majorée de \mathbb{R} possède une borne supérieure (c’est-à-dire un plus petit majorant).

La preuve de ce résultat est reportée en annexe. Pour le moment, démontrons le TLM.

Preuve du TLM (cliquer pour déplier / replier)

Soit u une suite réelle croissante et majorée. L’ensemble E=\left\{ u_{n};\thinspace n\in\mathbb{N}\right\} est une partie de \mathbb{R}, non vide et majorée, donc possède une borne supérieure L.

Etant donné \epsilon>0, le réel L est le plus petit majorant de E, donc L-\epsilon n’est pas un majorant de cet ensemble. Ceci signifie qu’il existe un élément de E, strictement supérieur à L-\epsilon. Autrement dit :

    \[\exists N\in\mathbb{N};\thinspace L-\epsilon<u_{N}\]

Mais d’une part, u est croissante donc u_{n}\geqslant u_{N} pour tout n\geqslant N.

Et d’autre part, u_{n}\leqslant L (et a fortiori u_{n}\leqslant L+\epsilon) pour tout n\in\mathbb{N}, puisque L est un majorant de E. Ainsi :

    \[\forall n\geqslant N,\thinspace\left|u_{n}-L\right|\leqslant\epsilon\]

On a prouvé que toute suite réelle croissante et majorée, converge vers la borne supérieure de l’ensemble de ses termes.

4 – Le théorème du point fixe de Picard

Vous avez peut-être déjà observé, en jouant avec une calculette, qu’en partant d’un quelconque nombre positif et en appuyant plusieurs fois de suite sur la touche racine carrée, la valeur affichée semble converger vers 1.

L’illustration dynamique ci-dessous permet de visualiser ce phénomène.

Illustration dynamique

Le graphe rouge est celui de la fonction racine carrée. La droite bleue est la première bissectrice, d’équation y=x.

Le slider permet de choisir un nombre positif s. En pressant plusieurs fois sur le bouton SQRT on déclenche le calcul des premiers termes de la suite définie par :

    \[u_{0}=s\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n+1}=\sqrt{u_{n}}\]

La dernière valeur calculée est affichée sous le slider. C’est l’abscisse du petit spot vert, visible à l’extrémité de la ligne polygonale blanche.

Les boutons ZIN et ZOUT permettent d’effectuer un zoom avant / arrière.

Une pression sur RESET remet tous les paramètres à leurs valeurs d’origine.

On verra, en fin de section, comment traiter cet exemple de manière directe ou bien comme cas particulier du théorème de Picard ci-dessous.

Considérons un intervalle I non trivial (c’est-à-dire de longueur non nulle), une application f:I\rightarrow I et un réel s\in I.

On peut définir une suite en itérant f à partir de s. Cela consiste à poser :

(✯)   \[\boxed{\left\{ \begin{array}{c}u_{0}=s\\\\\forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\end{array}\right.}\]

Faisons quelques constatations simples :

➡ Une telle suite n’a aucune raison de converger, même si f est continue. Par exemple, si l’on choisit :

  • f:\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,1\right],\thinspace t\mapsto1-t
  • s\in\left[0,1\right] tel que s\neq\frac{1}{2}

alors, pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[u_{n}=\left\{ \begin{array}{cc}s & \text{si }n\text{ est pair}\\1-s & \text{sinon}\end{array}\right.\]

et la suite est donc divergente.

➡ Si la suite u converge, sa limite dépend en général du choix de s. Considérons par exemple :

  • f:\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,1\right],\thinspace t\mapsto t
  • s\in\left[0,1\right]

Dans ce cas (peu passionnant, j’en conviens), la suite u est constante (donc convergente !) et sa limite est s.

➡ La nature (convergence ou divergence) de la suite u peut dépendre de s. C’est par exemple le cas lorsque :

    \[f:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\left[0,+\infty\right[,\thinspace t\mapsto t^{2}+\frac{1}{4}\]

En effet, on peut montrer (exercice !) que la suite u converge vers \frac{1}{2} si s\in\left[0,\frac{1}{2}\right] et qu’elle diverge vers +\infty si s>\frac{1}{2}.

Toutefois, et moyennant des hypothèses convenables, on peut garantir que :

  1. la suite u converge, quelle que soit la valeur de s
  2. sa limite est indépendante de s.

Théorème (Picard)

Soit I un intervalle fermé non trivial.

Si f:I\rightarrow I est contractante, alors :

  • f possède un unique point fixe \alpha,
  • pour tout s\in I, la suite u définie par (✯) converge vers \alpha.

Expliquons d’abord le vocabulaire :

➡ l’hypothèse I fermé signifie que, pour toute suite convergente à termes dans I, la limite de cette suite appartient à I.

➡ l’hypothèse f contractante signifie qu’il existe r\in\left]0,1\right[
tel que :

(\spadesuit)   \[\forall\left(x,x'\right)\in I^{2},\thinspace\left|f\left(x\right)-f\left(x'\right)\right|\leqslant r\left|x-x'\right|\]

➡ un point fixe de f est un réel \lambda\in I vérifiant f\left(\lambda\right)=\lambda.

La preuve ci-dessous repose sur la complétude de \mathbb{R}, c’est-à-dire sur le fait que toute suite réelle de Cauchy est convergente.

Preuve du théorème de Picard (cliquer pour déplier / replier)

Si \lambda et \mu sont des points fixes de f, alors :

    \begin{eqnarray*}\left|\lambda-\mu\right| & = & \left|f\left(\lambda\right)-f\left(\mu\right)\right|\\ & \leqslant & r\left|\lambda-\mu\right| \end{eqnarray*}

donc \left(1-r\right)\left|\lambda-\mu\right|\leqslant0, ce qui impose \lambda=\mu. L’unicité d’un point fixe pour f est établie.

Montrons simultanément l’existence d’un point fixe pour f et le fait que toute suite définie par itération de f converge vers cette valeur.

Soit s\in I et soit u la suite définie par les relations :

    \[\left\{ \begin{array}{c}u_{0}=s\\\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\end{array}\right.\]

On prouve par récurrence que, pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[\left|u_{n+1}-u_{n}\right|\leqslant r^{n}\left|u_{1}-u_{0}\right|\]

C’est visiblement le cas pour n=0.

Et si cette inégalité est vraie pour un certain n\in\mathbb{N}, alors :

    \begin{eqnarray*} \left|u_{n+2}-u_{n+1}\right| & = & \left|f\left(u_{n+1}\right)-f\left(u_{n}\right)\right|\\ & \leqslant & r\left|u_{n+1}-u_{n}\right|\\ & \leqslant & r^{n+1}\left|u_{1}-u_{0}\right| \end{eqnarray*}

comme souhaité.

Maintenant, considérons deux entiers naturels p,q tels que q>p. Alors :

    \begin{eqnarray*} \left|u_{q}-u_{p}\right| & = & \left|\sum_{k=p}^{q-1}\left(u_{k+1}-u_{k}\right)\right|\\ & \leqslant & \sum_{k=p}^{q-1}\left|u_{k+1}-u_{k}\right|\\ & \leqslant & \left|u_{1}-u_{0}\right|\sum_{k=p}^{q-1}r^{k}\\ & = & \left|u_{1}-u_{0}\right|\thinspace\frac{r^{p}\left(1-r^{q-p}\right)}{1-r} \end{eqnarray*}

et donc :

    \[\boxed{\left|u_{q}-u_{p}\right|\leqslant A\thinspace r^{p}}\]

où l’on a posé \displaystyle{A=\frac{\left|u_{1}-u_{0}\right|}{1-r}}.

Comme la suite géométrique \left(r^{n}\right)_{n\geqslant0} converge vers 0, alors étant donné \epsilon>0, il existe certainement un entier naturel N tel que :

    \[\forall p\geqslant N,\thinspace r^{p}\leqslant\frac{\epsilon}{A}\]

Ainsi, il suffit que q>p\geqslant N pour qu’on ait : \left|u_{q}-u_{p}\right|\leqslant\epsilon.

La suite u est donc de Cauchy.

Elle converge vers un certain réel \alpha, qui appartient à I puisque I est fermé.

Le caractère contractant de f entraînant sa continuité, on peut passer à la limite dans l’égalité u_{n+1}=f\left(u_{n}\right), ce qui donne f\left(\alpha\right)=\alpha.

Revenons maintenant à l’exemple de la racine carrée, évoqué au début de cette section.

Pour cet exemple simple, l’usage du théorème de Picard ne s’impose pas. En effet :

  • chacun des intervalles \left[0,1\right] et \left[1,+\infty\right[ est stable par t\mapsto\sqrt{t}
  • pour tout t\in\left[0,1\right],\thinspace\sqrt{t}\geqslant t
  • pour tout t\in\left[1,+\infty\right[, \sqrt{t}\leqslant t

Il en résulte que la suite définie par

    \[u_{0}=s>0\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n+1}=\sqrt{u_{n}}\]

est :

  • croissante et majorée par 1, si s\in\left]0,1\right]
  • décroissante et minorée par 1, si s\in\left[1,+\infty\right[

Elle converge donc dans tous les cas, et sa limite \ell vérifie la condition \ell=\sqrt{\ell} (obtenue en passant à la limite dans la formule de récurrence).

Comme \ell\neq0 (une suite croissante dont le premier terme est strictement positif ne peut pas converger vers 0, une suite minorée par 1 non plus), alors \ell=1.

Cela dit, on peut tout de même faire intervenir le théorème de Picard, ce qui apporte un éclairage un peu différent sur la même question.

Pour tout couple \left(x,x'\right) de réels tels que x,x'\geqslant\frac{1}{2} :

    \[\left|\sqrt{x'}-\sqrt{x}\right|=\frac{\left|x'-x\right|}{\sqrt{x'}+\sqrt{x}}\leqslant\frac{1}{\sqrt{2}}\left|x'-x\right|\]

De plus l’intervalle fermé I=\left[\frac{1}{2},+\infty\right[ est stable par racine carrée. L’application f:I\rightarrow I,t\mapsto\sqrt{t} vérifie donc la condition \left(\spadesuit\right) avec r=\frac{1}{\sqrt{2}}\in\left]0,1\right[.

Ainsi, pour s\geqslant\frac{1}{2}, la suite converge vers 1 (l’unique point fixe de f).

Et si s\in\left]0,\frac{1}{2}\right[, alors il existe un entier N tel que u_{N}\geqslant\frac{1}{2} car, dans le cas contraire, on aurait :

    \[\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n+1}\geqslant\sqrt{2}u_{n}\]

et donc :

    \[\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n}\geqslant\left(\sqrt{2}\right)^{n}s\]

ce qui est absurde (la suite divergerait vers +\infty alors qu’elle est à valeurs dans \left[0,1\right]). L’intervalle I est donc attracteur (ce qui signifie qu’il contient tous les termes de la suite u, à partir d’un certain rang). On est donc ramené, après un certain nombre d’itérations, au cas où s\geqslant\frac{1}{2}.

5 – espaces métriques complets

Les notions de suite convergente et de suite de Cauchy ont été définies dans le contexte des nombres réels.

Ce cadre peut être considérablement élargi, en remplaçant \mathbb{R} et la valeur absolue par un ensemble abstrait E et une distance d sur E.

Définition 3

Un espace métrique est un ensemble E sur lequel on a défini une distance, c’est-à-dire une application d:E^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{+} vérifiant les conditions suivantes :

\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right)

\forall\left(x,y,z\right)\in E^{3},\thinspace d\left(x,z\right)\leqslant d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right)

\forall\left(x,y\right)\in E^{2}, d\left(x,y\right)=0\Leftrightarrow x=y

(1)

(2)

(3)

La condition (1) exprime la symétrie de l’application d.

La condition (2) est appelée inégalité triangulaire.

La condition (3) est appelée “condition de séparation”.

➡ Une suite u à termes dans E est dite convergente lorsqu’il existe un élément L de E tel que :

    \[\boxed{\begin{array}{c}\forall\epsilon>0,\thinspace\exists N\in\mathbb{N};\thinspace\forall n\in\mathbb{N},\\n\geqslant N\Rightarrow d\left(u_{n},L\right)\leqslant\epsilon\end{array}}\]

➡ Elle est dite de Cauchy lorsque :

    \[\boxed{\begin{array}{c}\forall\epsilon>0,\thinspace\exists N\in\mathbb{N};\thinspace\forall\left(p,q\right)\in\mathbb{N}^{2},\\\left(p\geqslant N\text{ et }q\geqslant N\right)\Rightarrow d\left(u_{p},u_{q}\right)\leqslant\epsilon\end{array}}\]

On peut montrer que :

    \[\boxed{u\text{ convergente}\underset{1}{\Rightarrow}u\text{ de Cauchy}\underset{2}{\Rightarrow}u\text{ bornée}}\]

mais que les deux réciproques sont fausses.

Pour la réciproque de l’implication n° 2, c’est vite vu : il suffit de reprendre la suite réelle de terme général \left(-1\right)^{n}. Cette suite est bornée mais n’est pas de Cauchy, puisque l’écart entre \left(-1\right)^{p} et \left(-1\right)^{q} est égal à 2 lorsque p,q sont de parités contraires (cet écart ne devient donc pas arbitrairement petit à partir d’un certain rang).

Pour l’implication n° 1, c’est plus subtil. On ne pourra pas trouver de contre-exemple dans \mathbb{R} … car, comme on l’a admis dans cet article : toute suite réelle de Cauchy est convergente !

Un exemple de suite de Cauchy divergente

Notons E l’espace vectoriel des applications continues de \left[0,1\right] dans \mathbb{R} et munissons-le de la “norme 1” :

    \[\forall f\in E,\:\left\Vert f\right\Vert =\int_{0}^{1}\left|f\left(t\right)\right|\thinspace dt\]

Pour tout entier n\geqslant2, notons f_{n}\in E l’application définie par :

    \[f_{n}\left(t\right)=\left\{ \begin{array}{cc}1 & \text{si }t\in\left[0,\frac{1}{2}\right]\\\\0 & \text{si }t\in\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{n},1\right]\end{array}\right.\]

et dont la restriction à \left[\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right] est affine.

La suite \left(f_{n}\right)_{n\geqslant2} est de Cauchy car si q>p\geqslant2 :

    \[ \left\Vert f{q}-f_{p}\right\Vert =\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{p}}\,\left|f_{q}\left(t\right)-f_{p}\left(t\right)\right|\,dt\leqslant\frac{1}{p}\]

Pourtant, cette suite ne converge pas (dans E, pour cette norme).

En effet, dans le cas contraire, en notant f la limite, on aurait :

    \[\lim_{n\rightarrow\infty}\,\left(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\,\left|f\left(t\right)-1\right|\,dt+\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}\,\left|f\left(t\right)-f_{n}\left(t\right)\right|\,dt+\int_{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}^{1}\,\left|f\left(t\right)\right|\,dt\right)=0\]

Ces trois intégrales étant positives, il en résulterait d’une part que :

    \[\int_{0}^{\frac{1}{2}}\,\left|f\left(t\right)-1\right|\,dt=0\]

d’où (vue la continuité de f) :

(E_1)   \[\forall t\in\left[0,\frac{1}{2}\right],\,f\left(t\right)=1\]

et, d’autre part, que :

    \[\lim_{n\rightarrow\infty}\,\int_{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}^{1}\,\left|f\left(t\right)\right|\,dt=0\]

c’est-à-dire :

    \[\int_{\frac{1}{2}}^{1}\,\left|f\left(t\right)\right|\,dt=0\]

d’où (toujours par continuité de f) :

(E_2)   \[\forall t\in\left[\frac{1}{2},1\right],\,f\left(t\right)=0\]


Les relations \left(E_1\right) et \left(E_2\right) sont incompatibles (on aurait simultanément f\left(\frac{1}{2}\right)=1 et f\left(\frac{1}{2}\right)=0) et cette contradiction montre la divergence de la suite \left(f_{n}\right)_{n\geqslant2}.

Définition

L’espace métrique \left(E,d\right) est dit complet si toutes ses suites de Cauchy convergent.

Ainsi \mathbb{R} est complet pour la distance usuelle (valeur absolue de la différence).

Tout \mathbb{R}-espace vectoriel normé E (\mathbb{R}-evn en abrégé) est, de façon naturelle, un espace métrique pour la distance induite par la norme : d\left(x,y\right)=\left\Vert x-y\right\Vert . On dit que E est un espace de Banach lorsqu’il est complet pour cette distance.

Stefan BANACH

On peut montrer que tout \mathbb{R}-espace vectoriel de dimension finie, muni d’une norme quelconque, est un espace de Banach. Quant aux espaces normés de dimension infinie, certains sont complets et d’autre pas. Nous n’approfondirons pas davantage ce vaste sujet, du moins pas dans cet article.

6 – Le petit théorème de Baire

Dans cette section, on s’intéresse à un exemple de théorème qui repose principalement sur la complétude d’un espace métrique. Il s’agit d’une généralisation du célèbre théorème des segments emboîtés.

Théorème (des fermés emboîtés)

Soit \left(E,d\right) un espace métrique complet et soit \left(F_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} une suite décroissante de fermés non vides dont le diamètre tend vers 0.

Alors {\displaystyle \bigcap_{n=0}^{\infty}F_{n}} est un singleton.

Ce résultat est aussi connu sous le nom de “petit théorème de Baire” (pour le grand théorème de Baire, voir un autre article … à paraître).

Preuve (cliquer pour déplier / replier)

On construit une suite x\in E^{\mathbb{N}} telle que \forall n\in\mathbb{N},\thinspace x_{n}\in F_{n}. C’est possible puisque chaque F_{n} est non vide.

Comme la suite \left(F_{n}\right)_{n\geqslant0} est décroissante (pour l’inclusion), alors pour tout p\in\mathbb{N}, la suite tronquée \left(x_{n}\right)_{n\geqslant p} est à termes dans F_{p}. Il en résulte :

  • d’une part, que pour tout \left(p,q\right)\in\mathbb{N}^{2} :

        \[q\geqslant p\Rightarrow d\left(x_{p},x_{q}\right)\leqslant\text{diam}\left(F_{p}\right)\]

    La suite x est donc de Cauchy. Comme E est complet, elle converge. Notons \lambda sa limite.
  • d’autre part, que \lambda\in F_{p} puisque F_{p} est fermé.

Ainsi :

    \[\lambda\in\bigcap_{p=0}^{\infty}F_{p}}\]

Pour finir, si \mu appartient à cette intersection, alors pour tout p\in\mathbb{N} :

    \[d\left(\lambda,\mu\right)\leqslant\text{diam}\left(F_{p}\right)\]

ce qui entraîne, après passage à la limite, que d\left(\lambda,\mu\right)=0 et donc que \lambda=\mu.

7 – Convergence absolue

Le résultat suivant concernant les séries numériques est fondamental :

Théorème

Soit u une suite réelle. Si la série \sum\left|u_{n}\right| converge, alors la série \sum u_{n} converge aussi.

Lorsque la série \sum\left|u_{n}\right| converge, la série \sum u_{n} est dite absolument convergente.

Le théorème se reformule donc ainsi : toute série réelle absolument convergente est convergente.

Ce résultat est conséquence de la complétude de \mathbb{R}.

Mais d’abord nous allons en donner une preuve qui, si l’on n’y prête pas garde, pourrait laisser croire le contraire.

Preuve 1 (cliquer pour déplier / replier)

Pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[u_{n}\leqslant\left|u_{n}\right|\]

Evidemment, il est hors de question de conclure avec le principe de comparaison sur la base de cette inégalité.

Cependant :

    \[0\leqslant u_{n}+\left|u_{n}\right|\leqslant2\left|u_{n}\right|\]

Comme la série \sum\left|u_{n}\right| converge, la principe de comparaison montre que la série \sum\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right) converge aussi.

Finalement, la série \sum u_{n} converge, en tant que différence de deux séries convergentes.

Preuve 2 (cliquer pour déplier / replier)

Il s’agit de montrer que la suite de terme général {\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n}u_{k}} converge.

On sait, par hypothèse, que la suite de terme général {\displaystyle T_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left|u_{k}\right|} converge.

D’après l’inégalité triangulaire, pour tout \left(p,q\right)\in\mathbb{N}^{2} tel que q>p :

    \begin{eqnarray*}\left|S_{q}-S_{p}\right| & = & \left|\sum_{k=p+1}^{q}u_{k}\right|\\ & \leqslant & \sum_{k=p+1}^{q}\left|u_{k}\right|\\ & = & T_{q}-T_{p} \end{eqnarray*}

Or, étant donné \epsilon, il existe N\in\mathbb{N} tel que pour tout p\geqslant N et tout q>p :

    \[T_{q}-T_{p}\leqslant\epsilon\]

car la suite T est de Cauchy. Donc, sous les mêmes conditions :

    \[\left|S_{q}-S_{p}\right|\leqslant\epsilon\]

Ceci prouve que la suite S est de Cauchy, donc convergente, puisque \mathbb{R} est complet.

➡ La preuve 1 est indéniablement meilleure sur le plan de la concision. Elle présente, en outre, l’avantage d’être accessible, même si l’on ne dispose pas du critère de Cauchy. Mais attention, cette preuve utilise le principe de comparaison pour les séries à termes positifs, qui repose sur le TLM, qui s’appuie à son tour sur le théorème de la borne supérieure, qui repose enfin sur le critère de Cauchy (ouf).

Donc, même si le critère de Cauchy n’est pas explicitement présent dans la preuve 1, il est tout de même bien là.

➡ Quant à la preuve 2, son intérêt est double :

  • elle montre bien la connection entre suites de Cauchy et convergence absolue (sans rien camoufler),
  • elle se généralise sans effort supplémentaire aux séries à termes dans un espace de Banach.

Revenons une dernière fois à l’exemple de la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}\frac{\cos\left(n^{2}\right)}{2^{n}}}.

Il suffit, pour justifier sa convergence d’écrire que :

    \[\forall n\in\mathbb{N},\;\left|\frac{\cos\left(n^{2}\right)}{2^{n}}\right|\leqslant\frac{1}{2^{n}}\]

Comme la série géométrique {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}\frac{1}{2^{n}}} converge, le principe de comparaison assure que série {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}\frac{\cos\left(n^{2}\right)}{2^{n}}} est absolument convergente, donc convergente.

Pour conclure cette section, ajoutons qu’étant donné un \mathbb{R}-evn \left(E,\thinspace\left\Vert \;\right\Vert \right), les assertions :

  1. E est complet
  2. dans E, toute série ACV est convergente

sont en fait équivalentes. Nous avons établi ci-dessus l’implication \left(1\right)\Rightarrow\left(2\right) dans \mathbb{R}. La preuve est en tout point identique dans un quelconque espace de Banach (on remplace simplement les valeurs absolues par des normes).

Il suffit donc de prouver que \left(2\right)\Rightarrow\left(1\right).

Proposition

Pour qu’un \mathbb{R}-evn E soit complet, il suffit que toute série absolument convergente soit convergente.

Preuve (cliquer pour déplier / replier)

Notons \left\Vert \;\right\Vert la norme en vigueur dans E et soit u\in E^{\mathbb{N}} une suite de Cauchy. On peut construire par récurrence une application \varphi:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} strictement croissante telle que :

    \[\forall n\in\mathbb{N},\:\left\Vert u_{\varphi\left(n+1\right)}-u_{\varphi\left(n\right)}\right\Vert \leqslant2^{-n}\]

Comme la série \sum2^{-n} converge, alors la série \sum\left(u_{\varphi\left(n+1\right)}-u_{\varphi\left(n\right)}\right) est absolument convergente, donc convergente. Mais cela signifie que la suite de terme général :

    \[\sum_{k=0}^{n-1}\left(u_{\varphi\left(k+1\right)}-u_{\varphi\left(k\right)}\right)=u_{\varphi\left(n\right)}-u_{\varphi\left(0\right)}\]

converge. Autrement dit, la suite extraite \left(u_{\varphi\left(n\right)}\right)_{n\geqslant0} converge. Notons \ell\in E sa limite et soit \epsilon>0.

Il existe N\in\mathbb{N} tel que

    \[n\geqslant N\Rightarrow\left\Vert u_{\varphi\left(n\right)}-\ell\right\Vert \leqslant\frac{\epsilon}{2}\]

Et comme u est de Cauchy, il existe N'\in\mathbb{N} tel que :

    \[\left(n\geqslant N'\text{ et }p\geqslant N'\right)\Rightarrow\left\Vert u_{n}-u_{p}\right\Vert \leqslant\frac{\epsilon}{2}\]

Donc, dès que n\geqslant\max\left\{ N,N'\right\} et vu que \varphi\left(n\right)\geqslant n :

    \begin{eqnarray*}\left\Vert u_{n}-\ell\right\Vert & \leqslant & \left\Vert u_{n}-u_{\varphi\left(n\right)}\right\Vert +\left\Vert u_{\varphi\left(n\right)}-\ell\right\Vert \\& \leqslant & \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}\\& = & \epsilon\end{eqnarray*}

Remarque

On a montré au passage que toute suite de Cauchy possédant une valeur d’adhérence est convergente.

Annexe – Preuve du théorème de la borne supérieure

On commence par définir la notion de couple d’ensembles adjacents.

Définition

Soient A,B des parties non vides de \mathbb{R}.

On dit que \left(A,B\right) est un couple d’ensembles adjacents lorsque :

(1)   \[\forall\left(a,b\right)\in A\times B,\,a\leqslant b\]

(2)   \[\forall\varepsilon>0,\,\exists\left(a,b\right)\in A\times B;\,b-a\leqslant\varepsilon\]

Lemme

Si \left(A,B\right) est un couple d’ensembles adjacents, alors il existe un unique c\in\mathbb{R} tel que :

    \[\forall\left(a,b\right)\in A\times B,\,a\leqslant c\leqslant b\]

Preuve (cliquer pour déplier / replier)

Commençons par l’unicité.

S’il existait deux réels c<c' ayant la propriété annoncée, on aurait pour tout \left(a,b\right)\in A\times B : b-a>c'-c, ce qui est en contradiction avec (2).

Passons à l’existence de c.

D’après (2), il existe pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} un couple \left(a_{n},b_{n}\right)\in A\times B tel que

(3)   \[0\leqslant b_{n}-a_{n}\leqslant\frac{1}{n}\]

Alors, d’après (1), pour q>p :

    \[a_{q}-a_{p}\leqslant b_{p}-a_{p}\leqslant\frac{1}{p}\]

et de même :

    \[a_{p}-a_{q}\leqslant b_{q}-a_{q}\leqslant\frac{1}{q}<\frac{1}{p}\]

Ainsi :

    \[\left|a_{q}-a_{p}\right|\leqslant\frac{1}{p}\]

La suite \left(a_{n}\right)_{n\geqslant1} est donc de Cauchy. Notons c sa limite.

D’après (3), la suite \left(b_{n}\right)_{n\geqslant1} converge aussi vers c.

Soit b\in B; comme a_{n}\leqslant b pour tout n\in\mathbb{N}^{\star}, il vient en passant à la limite : c\leqslant b.

On voit de même que pour tout a\in A, a\leqslant c.

On est maintenant en mesure d’établir le :

Théorème (de la borne supérieure)

Toute partie non vide et majorée de \mathbb{R} possède une borne supérieure.

Preuve (cliquer pour déplier / replier)

Notons \mathcal{M} l’ensemble des majorants de A :

    \[\mathcal{M}=\left\{ m\in\mathbb{R};\,\forall a\in A,\,a\leqslant m\right\}\]

Il s’agit de montrer que cet ensemble possède un plus petit élément.

Fixons \varepsilon>0 et m\in\mathcal{M}. Soit I=\left\{ n\in\mathbb{N};\,m-n\varepsilon\in\mathcal{M}\right\} . Comme 0\in I, on voit déjà que I\neq\emptyset. D’autre part, si a\in A alors \forall n\in I,\,a\leqslant m-n\varepsilon et donc :

    \[n\leqslant\frac{m-a}{\varepsilon}\]

ce qui montre que I est majoré. L’ensemble I possède donc un plus grand élément n_{0}. Posons \mu=m-n_{0}\varepsilon. Ainsi \mu\in\mathcal{M}\textrm{ et }\mu-\varepsilon\not\in\mathcal{M} et donc \exists\alpha\in A;\,\alpha>\mu-\varepsilon. On a prouvé que :

    \[\forall\varepsilon>0,\,\exists\left(\alpha,\mu\right)\in A\times\mathcal{M};\,\mu-\alpha<\varepsilon\]

Autrement dit, \left(A,\mathcal{M}\right) est un couple d’ensembles adjacents (au sens de la définition ci-dessous) et il existe donc (d’après le lemme ci-après) un unique s\in\mathbb{R} tel que :

    \[\forall\left(a,m\right)\in A\times\mathcal{M},\,a\leqslant s\leqslant m\]

s est un majorant de A et c’est le plus petit.


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