Comment factoriser un polynôme ?

 

1 – “Factoriser” … De quoi s’agit-il ?

Une fonction polynôme (ou, pour faire court, un polynôme) est une fonction P que l’on peut définir, pour tout x\in\mathbb{R}, par une formule du type :

    \[ P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\qquad(\diamondsuit) \]

n est un entier positif et où a_{n}, a_{n-1}, …, a_{0} sont n+1 nombres réels, appelés coefficients de P.

Si a_{n}\neq0, on dit que P est de degré n.

Par exemple, en choisissant n=4 ainsi que a_{4}=3, a_{3}=\frac{1}{2}, a_{2}=0, a_{1}=-1 et a_{0}=\frac{7}{3}, on obtient, pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[ P\left(x\right)=3x^{4}+\frac{x^{3}}{2}-x+\frac{7}{3} \]

Ce polynôme est de degré 4.

L’égalité (\diamondsuit) fournit l’expression développée d’un polynôme P. Mais un polynôme peut parfois se présenter sous un autre jour …

Considérons la fonction Q définie pour tout x\in\mathbb{R} par :

    \[ Q\left(x\right)=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-x+2\right)\qquad(\star) \]

Q est un polynôme puisque, pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[ Q\left(x\right)=x^{4}-x^{3}+3x^{2}-x+2\qquad(\star\star) \]

Le passage de \left(\star\right) à \left(\star\star\right) se fait mécaniquement et ne soulève aucune difficulté (on transforme le produit en somme en utilisant la distributivité de la multiplication sur l’addition). Mais aurions-nous été capables, en partant de \left(\star\star\right), de retrouver \left(\star\right) ? C’est le problème de la factorisation.

L’intérêt de factoriser un polynôme résulte principalement de deux propriétés de la multiplication des nombres réels :

  • Propriété 1 (« intégrité ») : si a,b\in\mathbb{R} sont tels que ab=0, alors a=0 ou b=0.
  • Propriété 2 (« règle des signes ») : si a,b\in\mathbb{R} sont de même signe (tous deux positifs ou nuls, ou bien tous deux négatifs ou nuls), alors ab\geqslant 0 et, s’ils sont de signes contraires, alors ab\leqslant0.

La propriété 1 est utile pour déterminer les racines éventuelles d’un polynôme : on résout l’équation P\left(x\right)=0 en cherchant à factoriser P.

Précisons que \alpha\in\mathbb{R} est une racine de P, lorsque P\left(\alpha\right)=0.

La propriété 2 permet l’étude du signe d’un polynôme, dès lors qu’on a obtenu une factorisation de celui-ci. Ceci s’avère notamment utile lorsqu’on étudie les variations d’une fonction polynôme : on doit déterminer le signe de sa dérivée (laquelle dérivée est, elle aussi polynomiale !).

2 – Les outils de base

Factoriser un polynôme consiste donc à l’écrire (si possible) comme un produit … mais de façon « non triviale » ! Clairement, le fait d’écrire x^{3}+x-2 sous la forme : 1\times\left(x^{3}+x-2\right) n’intéresse pas grand monde…

Trois outils simples sont à notre disposition pour factoriser des polynômes. Nous allons maintenant les présenter …

 

[Règle 1] – La propriété de distributivité, déjà invoquée plus haut avec le polynôme Q, dit que si a,b,c sont trois nombres réels quelconques, alors a\left(b+c\right)=ab+ac. En lisant cette égalité de droite à gauche, on dit qu’« on met en facteur a dans l’expression ab+ac ».

[Règle 2] – Ensuite, viennent les identités remarquables « standard » :

    \begin{eqnarray*} a^{2}+2ab+b^{2} & = & \left(a+b\right)^{2} & (1)\cr a^{2}-2ab+b^{2} & = & \left(a-b\right)^{2} & (1bis)\cr a^{2}-b^{2} & = & \left(a-b\right)\left(a+b\right) & (2) \end{eqnarray*}

qui sont valables pour tous nombres réels a,b.

[Règle 3] – Enfin, si P est un polynôme et si \alpha\in\mathbb{R} est une racine de P, alors il existe un polynôme Q tel que, pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[ P\left(x\right)=\left(x-\alpha\right)\thinspace Q\left(x\right) \]

et l’on peut déterminer Q par identification des coefficients (voir exemple 3 ci-dessous).

Examinons quelques exemples …

Exemple 1 – Pour factoriser A\left(x\right)=x^{3}-4x, on applique d’abord la distributivité, ce qui donne :

    \[ A\left(x\right)=x\left(x^{2}-4\right) \]

Il ne faut pas s’arrêter en si bon chemin, puisque d’après l’identité remarquable (2), on a x^{2}-4=x^{2}-2^{2}=\left(x-2\right)\left(x+2\right). Ainsi :

    \[ \boxed{A\left(x\right)=x\left(x-2\right)\left(x+2\right)} \]

Exemple 2 – Pour factoriser B\left(x\right)=x^{2}-4x+1, on effectue une mise sous forme canonique (technique à la base de la résolution des équations du second degré), ce qui consiste à modifier l’écriture de B\left(x\right) pour faire apparaître une différence de deux carrés :

    \[ B\left(x\right)=\left(x-2\right)^{2}-3 \]

On utilise alors l’identité remarquable (2) :

    \[ \boxed{B\left(x\right)=\left(x-2-\sqrt{3}\right)\left(x-2+\sqrt{3}\right)} \]

Exemple 3 – Pour factoriser C\left(x\right)=x^{3}-2x+1, on observe que C\left(1\right)=0. Il est donc possible de mettre \left(x-1\right) en facteur :

    \[ C\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(ax^{2}+bx+c\right) \]

a,b et c sont à préciser. Le calcul de ces trois coefficients se fait par identification. Cette technique, qui repose sur l’unicité de la liste des coefficients d’un polynôme, permet d’affirmer que :

    \[ \left\{ \begin{array}{cccc} a & = & 1 & (\text{coefft de }x^{3})\\ \\ b-a & = & 0 & (\text{coefft de }x^{2})\\ \\ c-b & = & -2 & (\text{coefft de }x)\\ \\ -c & = & 1 & (\text{coefft constant)} \end{array}\right. \]

Ce système se résout aisément et l’on obtient :

    \[ a=1\qquad b=1\qquad c=-1 \]

Ainsi :

    \[ C\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^{2}+x-1\right) \]

Ce n’est pas tout à fait fini, puisque le trinôme x^{2}+x-1 se factorise à son tour (voir exemple 2 pour la méthode) :

    \[ x^{2}+x-1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{5}{4}=\left(x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right) \]

En conclusion :

    \[ \boxed{C\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)} \]

Exemple 4 – Pour factoriser D\left(x\right)=x^{6}-1, on peut commencer avec l’identité remarquable (2) :

    \[ D\left(x\right)=\left(x^{3}\right)^{2}-1^{2}=\left(x^{3}-1\right)\left(x^{3}+1\right) \]

Pour aller plus loin, il faut savoir factoriser D_{1}\left(x\right)=x^{3}-1 et D_{2}\left(x\right)=x^{3}+1.

On peut observer que D_{1}\left(1\right)=0 et D_{2}\left(-1\right)=0, ce qui permet de factoriser D_{1}\left(x\right) par \left(x-1\right) et D_{2}\left(x\right) par \left(x+1\right). Les détails sont laissés au lecteur 🙂

On trouve au final :

    \[ \boxed{D\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)} \]

et cette factorisation ne peut pas être améliorée, car aucun des deux trinômes x^{2}+x+1 et x^{2}-x+1 ne possède de racine réelle.

Cette dernière affirmation se justifie par le fait que, pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[ x^{2}+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}>0 \]

et argument analogue pour x^{2}-x+1 (on peut aussi calculer les discriminants de ces deux trinômes et constater qu’ils sont, l’un comme l’autre, strictement négatifs).

3 – D’autres identités remarquables

Dans l’exemple 4 ci-dessus, nous avons factorisé D_{1}\left(x\right)=x^{3}-1 sous la forme :

    \[ x^{3}-1=\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right) \]

en exploitant le fait que 1 est une racine de D_{1}, ce qui nous a permis de mettre \left(x-1\right) en facteur d’un certain trinôme, lequel trinôme a ensuite été obtenu par identification.

Nous aurions pu invoquer l’identité remarquable suivante, valable pour tous réels a,b :

    \[ a^{3}-b^{3}=\left(a-b\right)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)\qquad(\heartsuit) \]

Nous pouvons, par exemple, appliquer (\heartsuit) pour factoriser E\left(x\right)=x^{3}+8. En effet :

    \[ E\left(x\right)=x^{3}-\left(-8\right)=x^{3}-\left(-2\right)^{3}=\left(x+2\right)\left(x^{2}-2x+4\right) \]

On peut pousser le bouchon un cran plus loin en signalant la généralisation suivante de l’identité (\heartsuit), qui donne une factorisation pour la différence de deux puissances n-èmes (l’entier n est supérieur ou égal à 2) :

\displaystyle{{ \boxed{a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)}} \qquad(\diamond)

La somme qui apparaît en facteur de \left(a-b\right) est composée de n termes : le premier est a^{n-1} et les suivants sont obtenus en réduisant progressivement l’exposant de a, tandis que l’exposant de b est progressivement augmenté. Par exemple, pour n=4 :

    \[ a^{4}-b^{4}=\left(a-b\right)\left(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3}\right) \]

et pour n=5 :

    \[ a^{5}-b^{5}=\left(a-b\right)\left(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4}\right) \]

et ainsi de suite …

Ceux qui sont habitués à la notation \Sigma pourront ré-écrire la formule (\diamond) ainsi :

    \[ a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\sum_{k=1}^{n}a^{k-1}b^{n-k} \]

4 – Factoriser en utilisant le “test des racines rationnelles”

Dans l’exemple 3, nous avons « observé » que C\left(1\right)=0. On peut raisonnablement considérer que ça saute au yeux … Et puis, lorsqu’on cherche à factoriser un polynôme à coefficients entiers, la première chose qu’on fait généralement consiste à l’évaluer en 1 ou en -1 et peut-être aussi en d’autres petits entiers, en espérant mettre la main sur une racine et commencer ainsi le processus de factorisation.

Considérons maintenant le cas de

    \[ F\left(x\right)=5x^{4}-7x^{3}+5x^{2}-2x-7 \]

On peut essayer patiemment :

    \[ F\left(1\right)=-6\qquad F\left(-1\right)=12\qquad F\left(2\right)=33\qquad F\left(-2\right)=153\qquad\cdots \]

Point de racine en vue 🙁

Peut-être ce polynôme ne possède-t-il aucune racine réelle ? Ou alors seulement des racines irrationnelles ? Ou peut-être existe-t-il des racines rationnelles ? Et si oui, comment les trouver ?

C’est là qu’intervient le « test des racines rationnelles ». En voici l’énoncé :

Théorème
Soit f un polynôme défini par :

    \[ f\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0} \]

où les coefficients a_{i} sont tous entiers. On suppose a_{0} et a_{n} non nuls.
Si f possède une racine rationnelle \frac{p}{q} avec p entier naturel, q entier relatif non nul et de plus p et q premiers entre eux (ce qui signifie que la fraction \frac{p}{q} est irréductible), alors p est un diviseur de a_{0} et q est un diviseur de a_{n} ce qu’on note comme ceci :

    \[ p\mid a_{0}\qquad\text{et}\qquad q\mid a_{n}\qquad(\clubsuit) \]

Nous n’allons pas démontrer ce résultat ici (sa preuve se trouve dans tous les cours standards d’arithmétique; elle repose pour l’essentiel sur le théorème de Gauss, qui affirme que si un entier a divise le produit bc de deux entiers et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c).

En revanche, nous allons nous en servir pour déterminer les éventuelles racines rationnelles de F\left(x\right)=5x^{4}-7x^{3}+5x^{2}-2x-7.

La condition nécessaire (\clubsuit) s’écrit :

    \[ p\mid7\qquad\text{et}\qquad q\mid5 \]

ce qui laisse assez peu de possibilités :

    \[ p\in\left\{ 1,7\right\} \qquad\text{et}\qquad q\in\left\{ -5,-1,1,5\right\} \]

Les éventuelles racines rationnelles de F figurent donc parmi les nombres suivants :

    \[ -\frac{1}{5},\;\frac{7}{5},\:-1,\:-7,\:1,\:7,\:\frac{1}{5},\:\frac{7}{5} \]

Muni d’une calculette ou d’un ordinateur, on peut rapidement tester chacune de ces huit valeurs … et constater que la seule racine rationnelle de F est \displaystyle{\frac{7}{5}}.

Il faut bien reconnaître que trouver cette racine par un simple tâtonnement n’était pas sérieusement envisageable !

Et maintenant ? La [Règle 3] permet de factoriser par \left(x-\frac{7}{5}\right) ou, ce qui revient au même, par \left(5x-7\right). Il existe ainsi un polynôme G de degré 3 tel que, pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[ 5x^{4}-7x^{3}+5x^{2}-2x-7=\left(5x-7\right)\thinspace G\left(x\right) \]

La dernière étape, quelque peu fastidieuse mais faisable, consiste à calculer les coefficients de G par identification. On trouve au final :

    \[ \boxed{5x^{4}-7x^{3}+5x^{2}-2x-7=\left(5x-7\right)\left(x^{3}+x+1\right)} \]

Voila, j’espère que ce rapide survol vous a plu 🙂

Toutes vos remarques et / ou questions éventuelles sont les bienvenues !

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