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On peut calculer séparément \left(a\star b\right)\star c et a\star\left(b\star c\right) puis procéder par identification pour déterminer les triplets \left(\alpha,\beta,\gamma\right) qui conviennent.

Penser au déterminant et faire émerger une condition nécessaire d’inversibilité.

Ensuite, il faudra s’assurer de sa suffisance …

exercice 3 facile

Commencer par utiliser la formule du double-produit vectoriel :

    \[\forall\left(a,b,c\right)\in E^{3},\thinspace a\wedge\left(b\wedge c\right)=\left(a\mid c\right)b-\left(a\mid b\right)c\]

Que peut-on dire de f lorsque g\circ f est injective ?

Que peut-on dire de g lorsque g\circ f est surjective ?

Pour la commutativité, un simple changement d’indice doit faire l’affaire.

Pour l’associativité, une somme double apparaît … il faut penser à l’interversion des \Sigma.

L’élément neutre ne devrait pas être difficile à trouver.

Pour l’inversibilité d’un élément, raisonner par condition nécessaire et regarder le terme d’indice 0.

Pour la première équation, observer que la condition B\subset A est nécessaire à l’existence d’une solution. Cette condition étant supposée remplie, considérer une solution éventuelle X et l’écrire comme l’union (disjointe) de ses intersections avec A et \overline{A}.

Penser à la multiplication des matrices carrées de taille 2.

Tout élément x\in G possède un inverse à droite x' … lequel x' possède aussi inverse à droite !

exercice 9 difficile

Observer qu’étant donné x\in E, l’application \mathbb{N}^{\star}\rightarrow E,\thinspace k\mapsto x^{k} n’est pas injective (pourquoi ?).

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