Indications pour démarrer les exercices sur la notion d’opération sur un ensemble (fiche 01).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-1-small.png)
On peut calculer séparément et
puis procéder par identification pour déterminer les triplets
qui conviennent.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-2-small.png)
Penser au déterminant et faire émerger une condition nécessaire d’inversibilité.
Ensuite, il faudra s’assurer de sa suffisance …
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
Commencer par utiliser la formule du double-produit vectoriel :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Que peut-on dire de lorsque
est injective ?
Que peut-on dire de lorsque
est surjective ?
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Pour la commutativité, un simple changement d’indice doit faire l’affaire.
Pour l’associativité, une somme double apparaît … il faut penser à l’interversion des
L’élément neutre ne devrait pas être difficile à trouver.
Pour l’inversibilité d’un élément, raisonner par condition nécessaire et regarder le terme d’indice 0.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-6-small.png)
Pour la première équation, observer que la condition est nécessaire à l’existence d’une solution. Cette condition étant supposée remplie, considérer une solution éventuelle
et l’écrire comme l’union (disjointe) de ses intersections avec
et
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
Penser à la multiplication des matrices carrées de taille 2.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Tout élément possède un inverse à droite
… lequel
possède aussi inverse à droite !
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Observer qu’étant donné l’application
n’est pas injective (pourquoi ?).