Indications - Exercices sur les opérations - 01

Indications pour démarrer les exercices sur la notion d’opération sur un ensemble (fiche 01).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.

On peut calculer séparément $\left(a\star b\right)\star c$ et $a\star\left(b\star c\right)$ puis procéder par identification pour déterminer les triplets $\left(\alpha,\beta,\gamma\right)$ qui conviennent.

Penser au déterminant et faire émerger une condition nécessaire d’inversibilité.

Ensuite, il faudra s’assurer de sa suffisance …

Commencer par utiliser la formule du double-produit vectoriel :

$\forall\left(a,b,c\right)\in E^{3},\thinspace a\wedge\left(b\wedge c\right)=\left(a\mid c\right)b-\left(a\mid b\right)c$

Que peut-on dire de $f$ lorsque $g\circ f$ est injective ?

Que peut-on dire de $g$ lorsque $g\circ f$ est surjective ?

Pour la commutativité, un simple changement d’indice doit faire l’affaire.

Pour l’associativité, une somme double apparaît … il faut penser à l’interversion des $\Sigma.$

L’élément neutre ne devrait pas être difficile à trouver.

Pour l’inversibilité d’un élément, raisonner par condition nécessaire et regarder le terme d’indice 0.

Pour la première équation, observer que la condition $B\subset A$ est nécessaire à l’existence d’une solution. Cette condition étant supposée remplie, considérer une solution éventuelle $X$ et l’écrire comme l’union (disjointe) de ses intersections avec $A$ et $\overline{A}.$

Penser à la multiplication des matrices carrées de taille 2.

Tout élément $x\in G$ possède un inverse à droite $x'$ … lequel $x'$ possède aussi inverse à droite !

Observer qu’étant donné $x\in E,$ l’application $\mathbb{N}^{\star}\rightarrow E,\thinspace k\mapsto x^{k}$ n’est pas injective (pourquoi ?).

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