Exercices sur les applications – 02

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Neuf énoncés d’exercices sur la notion d’application (fiche 02).

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exercice 1 facile

Déterminer les triplets \left(a,b,c\right)\in\mathbb{R}^{3} pour lesquels l’application

    \[\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x^{3}+ax^{2}+bx+c\]

est bijective.

exercice 2 facile

Soit f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} une bijection. Montrer que :

  1. si f est croissante alors f^{-1} aussi.
  2. si f est impaire alors f^{-1} aussi.
exercice 3 facile

Soit E un ensemble fini de cardinal n\geqslant2.

Combien existe-t-il d’injections de \left\{ 0,1\right\} dans E ?
Combien existe-t-il de surjections de E dans \left\{ 0,1\right\} ?

Soient A un ensemble et B une partie de A.

On suppose que f:A\rightarrow B est injective. Peut-on affirmer que f est bijective ?

On considère l’application :

    \begin{eqnarray*}f:\left]0,+\infty\right[\times\left]-\pi,\pi\right] & \rightarrow & \mathbb{C}-\left\{ 0\right\}\\\left(r,\theta\right) & \mapsto & r\thinspace e^{i\theta}\end{eqnarray*}

  1. Montrer que f est bijective et déterminer sa réciproque.
  2. Décrire géométriquement f\left\langle A\right\rangle (l’image directe de A par f) dans chacun des cas suivants :
    • A=\left]0,+\infty\right[\times\left\{ \frac{\pi}{2}\right\}
    • A=\left\{ 1\right\} \times\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]
    • A=\left[1,2\right]\times\left]-\pi,\pi\right]

On considère l’application

    \[\varphi:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C},\thinspace z\mapsto\frac{z}{1+\left|z\right|}\]

Montrer qu’elle induit une bijection \Phi de \mathbb{C} sur un ensemble à préciser.

Quelle est la bijection réciproque de \Phi ?

Prouver que l’application

    \[f:\mathbb{C}-\left\{ i\right\} \rightarrow\mathbb{C},\thinspace z\mapsto\frac{i+z}{i-z}\]

est injective et préciser quels sont les nombres complexes qui possèdent un antécédent.

Montrer ensuite que f induit une bijection du disque unité ouvert D=\left\{ z\in\mathbb{C};\thinspace\left|z\right|<1\right\} sur le demi-plan ouvert H=\left\{ z\in\mathbb{C};\thinspace\text{Re}\left(z\right)>0\right\} .

exercice 8 moyen

Montrer que l’application

    \[\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x\thinspace e^{x}\]

induit une bijection \varphi de \left[-1,+\infty\right[ sur \left[-\frac{1}{e},+\infty\right[. On note W la bijection réciproque de \varphi.

Trouver un équivalent de W\left(x\right) lorsque x\rightarrow0 et lorsque x\rightarrow+\infty.

exercice 9 difficile

Construire une bijection de \left[0,1\right] sur \left[0,1\right[.

Une telle bijection peut-elle être continue ? monotone ?

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