Exercices de calcul de sommes – 01

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exercice 1 facile

On considère quatre entiers naturels A,B,r,n tels que :

  • 0\leqslant A<B,
  • n\geqslant2,
  • 0\leqslant r<n.

et l’on note E l’ensemble des entiers k vérifiant :

    \[An+r\leqslant k<Bn+r\qquad\text{et}\qquad k\equiv r\pmod n\]

Calculer la somme des éléments de E.

exercice 2 facile

Calculer explicitement, pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[ A_{n}=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}2^{1-k} \]

exercice 3 facile

On note F_{n} le n-ème nombre de Fibonacci. On rappelle que :

  • F_{0}=0, F_{1}=1
  • \forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}

Calculer \displaystyle{B_{n}=\sum_{k=1}^{n}F_{k}^{2}} et interpréter géométriquement la formule obtenue.

On pose pour tout entier n\geqslant2 :

    \[ B_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{k\left(n-k\right)}} \]

Trouver un réel \lambda>0 tel que \forall n\geqslant2,\,B_{n}\geqslant\lambda.

Soit n\geqslant1 et soient a_{1},\cdots,a_{n}>0. On pose :

    \[ m=\min_{1\leqslant i\leqslant n}a_{i}\qquad\text{et}\qquad M=\max_{1\leqslant i\leqslant n}a_{i} \]

Prouver que :

    \[ 2n\sqrt{\frac{m}{M}}\leqslant\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}}{M}+\sum_{i=1}^{n}\frac{m}{a_{i}}\leqslant n\left(1+\frac{m}{M}\right) \]

Soit q\in\mathbb{N}^{\star}. Montrer qu’il existe M>0 tel que, pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[ \left|\sum_{k=0}^{n}\cos\left(\frac{k\pi}{q}\right)\right|\leqslant M \]

Soient n\in\mathbb{N}^{\star} et z\in\mathbb{C}. On pose \omega=e^{2i\pi/n}. Calculer plus simplement :

    \[ S_{n}\left(z\right)=\sum_{k=0}^{n-1}\,\left(z+\omega^{k}\right)^{n} \]

Etablir, pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[ \sum_{k=1}^{n}\,\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}\,\binom{n}{k}=\sum_{k=1}^{n}\,\frac{1}{k} \]

exercice 9 difficile

Soit n\geqslant1 et soient a_{1},\cdots,a_{n}>0. On pose, pour tout q\in\left{ 1,\cdots,n-1\right} :

    \[ S_{q}=\sum_{i=1}^{q}a_{i}-\sum_{i=q+1}^{n}a_{i} \]

et l’on convient que :

    \[ S_{n}=-S_{0}=\sum_{i=1}^{n}a_{i} \]

Prouver qu’il existe j\in\left{ 0,\cdots,n-1\right} tel que :

    \[ \left|S_{j}\right|\leqslant\max_{1\leqslant i\leqslant n}a_{i} \]


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Cet article a 4 commentaires

  1. surtout les doubles sommes et les familles sommables

    merci a l avance

  2. je n arrive pas a accéder aux solutions pour les sommes

    1. Un peu de patience 🙂
      ça arrive !

      1. Les indications sont en place.

        Les solutions arriveront au plus tard en soirée 🙂

        En attendant, bonne réflexion ! Et si vous souhaitez me soumettre d’autres exercices récalcitrants sur ce thème, n’hésitez pas et je verrai ce que je peux faire.

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