Exercices sur le second degré – 01

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Observation Préliminaire

Considérons une équation du second degré :

    \[ax^2+bx+c=0\qquad a,b,c\in\mathbb{R}\text{ et }a\neq0\]


Sa résolution (dans \mathbb{R}) est mécanique avec la « Recette du discriminant » :

  • On calcule le discriminant \Delta=b^2-4ac et l’on examine son signe
  • Trois cas se présentent :
    • si \Delta<0, l’équation ne possède aucune solution
    • si \Delta=0, l’équation possède une solution unique :

          \[-\frac{b}{2a}\]

    • si \Delta>0, l’équation possède deux solutions :

          \[\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad\text{et}\qquad\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\]

Bien sûr, il faut connaître cette recette ! Mais il est important de s’assurer que l’on comprend véritablement ce qui la sous-tend.

Pour cela, on peut s’entraîner à résoudre quelques équations du second degré en évitant de se servir du discriminant, mais en mettant plutôt le trinôme sous forme canonique, puis en le factorisant (si possible).

En outre, il est assez malvenu de faire appel à un calcul de discriminant :

  • pour une équation de la forme ax^{2}+bx=0 (on met x en facteur …)
  • ou bien de la forme ax^{2}+c=0, car :
    • si c<0, on reconnaît une différence de deux carrés, que l’on factorise
    • et si c>0, on justifie l’absence de solutions par le fait que

          \[\forall x\in\mathbb{R},\,ax^2+c\geqslant c\]

      d’où a fortiori :

          \[\forall x\in\mathbb{R},\,ax^2+c\neq0\]


exercice 1 facile

L’expression développée de (2x+1)^2 est 2x^2+4x+1.
Ce calcul est faux ! Où est l’erreur ?

exercice 2 facile

Quelle est l’erreur dans le calcul suivant ?

x^{2}-\left(6y+1\right)^{2}=\left(x+6y+1\right)\left(x-6y+1\right)

exercice 3 facile

En quoi la résolution suivante est-elle incorrecte ?

Pour résoudre x^{2}=2x, on simplifie par x, ce qui donne immédiatement x=2.
La seule solution est donc 2.

Résoudre chacune des équations suivantes, sans utiliser la recette du discriminant :

    \[\begin{matrix}x^{2}-4x=0 & ; & 10x-x^{2}=5x^{2}+x & ; & x^{2}-1=0\\\\\left(x+1\right)^{2}=9 & ; & \left(2x+3\right)^{2}=\left(x-4\right)^{2} & ; & 7x^{2}+1=0\end{matrix}\]

Même consigne pour :

    \[\begin{matrix}x^{2}+2x+1=0 & ; & 6x-x^{2}=9 & ; & 4x^{2}+4x=1\\\\5x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\left(x+2\right) & ; & \left(x+3\right)^{2}+\left(x-3\right)^{2}=12x & ; & 18x^{2}-48x+32=0\end{matrix}\]

Même consigne pour :

    \[\begin{matrix}x^{2}+2x-3=0 & ; & 4x^{2}+x+1=0 & ; & 2x^{2}-5x+2=0\\\\\left(x-2\right)^{2}=x & ; & 3x^{2}-1=4\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2} & ; & \left(x+1\right)^{2}+\left(x+2\right)^{2}=x+3\\\\3x^{2}+2x-1=0 & ; & 7x^{2}+6x=2 & ; & \frac{x^{2}}{7}+\frac{x}{6}-\frac{1}{5}=0\end{matrix}\]

Les équations suivantes ne sont pas du second degré, mais elle s’y ramènent.
Il s’agit de résoudre chacune d’elles.

    \[\begin{matrix}{\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x+3}} & ; & \frac{x}{2+\frac{1}{x-1}}=1-x & ; & x^{2}-5\left|x\right|+6=0\\\\\left(x^{2}-1\right)^{2}=9 & ; & 5x-7\sqrt{x}-12=0 & ; & x^{6}-16x^{3}+64=0\end{matrix}\]

Comment choisir le réel m pour que l’équation

    \[ \left(m-1\right)x^{2}+\left(2m+1\right)x-1=0\]

(d’inconnue x) possède une solution unique ?

exercice 9 difficile

Soient a,b,c trois nombres réels (avec a\neq0). On suppose que l’équation ax^{2}+bx+c=0 possède deux solutions distinctes, notées \alpha et \beta.

Exprimer \left|\alpha-\beta\right| en fonction de a,b et c.


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