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Préambule

Etant donnée une équation du second degré

    \[ ax^2+bx+c=0\qquad a,b,c\in\mathbb{R}\text{ et }a\neq0 \]

Sa résolution (dans le champ réel) est une procédure rendue automatique par l’usage de la …

« Recette du discriminant »

  • On calcule le discriminant \Delta et on observe son signe
  • Trois cas se présentent, selon le signe de \Delta :
    • si \Delta<0, l’équation ne possède aucune solution
    • si \Delta=0, l’équation possède une solution unique : -\frac{b}{2a}
    • si \Delta>0, l’équation possède deux solutions : \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Bien sûr, il faut connaître cette recette ! Mais il est important de s’assurer que l’on comprend véritablement ce qui la sous-tend. Pour cela, on peut résoudre quelques équations du second degré en évitant de s’en servir, mais en mettant plutôt le trinôme sous forme canonique, puis en le factorisant (si possible).

En outre, il est assez malvenu de faire appel à un calcul de discriminant :

  • pour une équation de la forme ax^{2}+bx=0 (on met x en facteur …)
  • ou bien de la forme ax^{2}+c=0 (si c<0, on reconnaît une différence de deux carrés, que l’on factorise. Et si c>0, on justifie l’absence de solutions par le fait que, pour tout x\in\mathbb{R} : ax^{2}+c\geqslant c).

 


L’expression développée de (2x+1)^2 est 2x^2+4x+1.
Ce calcul est faux ! Où est l’erreur ?
 

Quelle est l’erreur dans le calcul suivant ?

x^{2}-\left(6y+1\right)^{2}=\left(x+6y+1\right)\left(x-6y+1\right)

 

En quoi la résolution suivante est-elle incorrecte ?

Pour résoudre x^{2}=2x, on simplifie par x, ce qui donne immédiatement x=2.
La seule solution est donc 2.

 

Résoudre chacune des équations suivantes, sans utiliser la recette du discriminant :

    \[ \begin{matrix} x^{2}-4x=0 & ; & 10x-x^{2}=5x^{2}+x & ; & x^{2}-1=0\\ \\ \left(x+1\right)^{2}=9 & ; & \left(2x+3\right)^{2}=\left(x-4\right)^{2} & ; & 7x^{2}+1=0 \end{matrix} \]

 

Même consigne pour :

    \[ \begin{matrix} x^{2}+2x+1=0 & ; & 6x-x^{2}=9 & ; & 4x^{2}+4x=1\\ \\ 5x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\left(x+2\right) & ; & \left(x+3\right)^{2}+\left(x-3\right)^{2}=12x & ; & 18x^{2}-48x+32=0 \end{matrix} \]

 

Même consigne pour :

    \[ \begin{matrix} x^{2}+2x-3=0 & ; & 4x^{2}+x+1=0 & ; & 2x^{2}-5x+2=0\\ \\ \left(x-2\right)^{2}=x & ; & 3x^{2}-1=4\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2} & ; & \left(x+1\right)^{2}+\left(x+2\right)^{2}=x+3\\ \\ 3x^{2}+2x-1=0 & ; & 7x^{2}+6x=2 & ; & \frac{x^{2}}{7}+\frac{x}{6}-\frac{1}{5}=0 \end{matrix} \]

 

Les équations suivantes ne sont pas du second degré, mais elle s’y ramènent. Il s’agit de résoudre chacune d’elles.

    \[ \begin{matrix} {\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x+3}} & ; & \frac{x}{2+\frac{1}{x-1}}=1-x & ; & x^{2}-5\left|x\right|+6=0\\ \\ \left(x^{2}-1\right)^{2}=9 & ; & 5x-7\sqrt{x}-12=0 & ; & x^{6}-16x^{3}+64=0 \end{matrix} \]

 

Comment choisir le réel m pour que l’équation

    \[ \left(m-1\right)x^{2}+\left(2m+1\right)x-1=0 \]

(d’inconnue x) possède une solution unique ?

 

Soient a,b,c trois nombres réels (avec a\neq0). On suppose que l’équation ax^{2}+bx+c=0 possède deux solutions distinctes, notées \alpha et \beta.

Exprimer \left|\alpha-\beta\right| en fonction de a,b et c.

 


 

Cliquer ici pour accéder aux indications.

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