Exercices sur le second degré - 01

Neuf énoncés d’exercices sur les équations du second degré (fiche 01).

Observation Préliminaire

Considérons une équation du second degré :

$ax^2+bx+c=0\qquad a,b,c\in\mathbb{R}\text{ et }a\neq0$

Sa résolution (dans $\mathbb{R}$ ) est mécanique avec la « Recette du discriminant » :

On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ , puis on examine son signe
Trois cas se présentent :
- si $\Delta<0,$ l’équation ne possède aucune solution
- si $\Delta=0,$ l’équation possède une solution unique :
  $-\frac{b}{2a}$
- si $\Delta>0,$ l’équation possède deux solutions :
  $\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad\text{et}\qquad\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

Bien sûr, il faut connaître cette recette ! Mais il est important de s’assurer que l’on comprend véritablement ce qui la sous-tend.

Pour cela, on peut s’entraîner à résoudre quelques équations du second degré en évitant de se servir du discriminant, mais en mettant plutôt le trinôme sous forme canonique, puis en le factorisant (si c’est possible).

En outre, il est assez malvenu de faire intervenir le discriminant dans les cas suivants :

pour une équation de la forme $ax^{2}+bx=0$ (on met $x$ en facteur …)
pour une équation de la forme , car (en supposant , ce qui ne diminue en rien la généralité, quitte à multiplier les deux membres de l’équation par -1) :
- si $c<0,$ on reconnaît une différence de deux carrés, que l’on factorise,
- si $c>0,$ on justifie l’absence de solutions par le fait que
  $\forall x\in\mathbb{R},\,ax^2+c\geqslant c$
  d’où a fortiori :
  $\forall x\in\mathbb{R},\,ax^2+c\neq0$

L’expression développée de $(2x+1)^2$ est $2x^2+4x+1$ .
Ce calcul est faux ! Où est l’erreur ?

Quelle est l’erreur dans le calcul suivant ?

$x^{2}-\left(6y+1\right)^{2}=\left(x+6y+1\right)\left(x-6y+1\right)$

En quoi la résolution suivante est-elle incorrecte ?

Pour résoudre $x^{2}=2x,$ on simplifie par $x,$ ce qui donne immédiatement $x=2$ .
La seule solution est donc $2.$

Résoudre chacune des équations suivantes, sans utiliser la recette du discriminant :

$\begin{matrix}x^{2}-4x=0 & ; & 10x-x^{2}=5x^{2}+x & ; & x^{2}-1=0\\\\\left(x+1\right)^{2}=9 & ; & \left(2x+3\right)^{2}=\left(x-4\right)^{2} & ; & 7x^{2}+1=0\end{matrix}$

Même consigne pour :

$\begin{matrix}x^{2}+2x+1=0 & ; & 6x-x^{2}=9 & ; & 4x^{2}+4x=1\\\\5x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\left(x+2\right) & ; & \left(x+3\right)^{2}+\left(x-3\right)^{2}=12x & ; & 18x^{2}-48x+32=0\end{matrix}$

Même consigne pour :

$\begin{matrix}x^{2}+2x-3=0 & ; & 4x^{2}+x+1=0 & ; & 2x^{2}-5x+2=0\\\\\left(x-2\right)^{2}=x & ; & 3x^{2}-1=4\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2} & ; & \left(x+1\right)^{2}+\left(x+2\right)^{2}=x+3\\\\3x^{2}+2x-1=0 & ; & 7x^{2}+6x=2 & ; & \frac{x^{2}}{7}+\frac{x}{6}-\frac{1}{5}=0\end{matrix}$

Les équations suivantes ne sont pas du second degré, mais elle s’y ramènent.
Il s’agit de résoudre chacune d’elles.

$\begin{matrix}{\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x+3}} & ; & \frac{x}{2+\frac{1}{x-1}}=1-x & ; & x^{2}-5\left|x\right|+6=0\\\\\left(x^{2}-1\right)^{2}=9 & ; & 5x-7\sqrt{x}-12=0 & ; & x^{6}-16x^{3}+64=0\end{matrix}$

Comment choisir le réel $m$ pour que l’équation

$\left(m-1\right)x^{2}+\left(2m+1\right)x-1=0$

(d’inconnue $x$ ) possède une unique solution réelle ?

Soient $a,b,c$ trois nombres réels (avec $a\neq0$ ). On suppose que l’équation $ax^{2}+bx+c=0$ possède deux solutions distinctes, notées $\alpha$ et $\beta.$ On note $S$ leur somme et $P$ leur produit.