Exercices sur les coefficients binomiaux – 01

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exercice 1 facile

Calculer (sans utiliser de calculette ni d’ordinateur !) les nombres :

    \[A=\binom{7}{3},\quad B=\binom{12}{10},\quad C=\binom{8}{4}\]

exercice 2 facile

La formule de Fermat :

    \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\thinspace\left(n-k\right)!}\]

est présentée dans cet article. Un peu plus bas dans la même section, on trouve sa version simplifiée (pour 1\leqslant k\leqslant n) :

    \[\binom{n}{k}=\frac{n\left(n-1\right)\cdots\left(n-k+1\right)}{k!}\]

Ecrire en Python une fonction qui calcule \displaystyle{\binom{n}{k}} à l’aide de cette formule simplifiée.

exercice 3 facile

Montrer que, pour tout n\in\mathbb{N}, l’entier \displaystyle{\binom{2n}{n}} est divisible par n+1.

On voit aisément (comment ?) que :

    \[\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}\binom{n}{k}=0\]

Proposer une interprétation combinatoire pour cette identité.

Soient m,n des entiers tels que 1\leqslant m\leqslant n. Calculer chacune des sommes :

    \[A_{m,n}=\sum_{k=m}^{n}\binom{k}{m}\]


    \[B_{m,n}=\sum_{k=m}^{n}\frac{1}{k}\binom{k}{m}\]


    \[C_{m,n}=\sum_{k=m}^{n}k\binom{k}{m}\]

Soient \alpha,\beta deux nombres réels. A toute application g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, on associe l’application F\left(g\right) définie comme suit :

    \[\forall x\in\mathbb{R},\thinspace\left[F\left(g\right)\right]\left(x\right)=g\left(\alpha x\right)+g\left(\beta x\right)\]

On note F^{n} la n-ème itérée de F. On rappelle que, par définition :

    \[F^{0}=id_{\mathbb{R}^{\mathbb{R}}}\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\,F^{n+1}=F\circ F^{n}\]

Trouver une formule pour \left[F^{n}\left(g\right)\right]\left(x\right).

Montrer que :

    \[\sum_{p=0}^{n}\sum_{q=0}^{n-p}\binom{n}{p}\binom{n}{q}\binom{n}{p+q}=\binom{3n}{n}\]

en donnant à cette formule une interprétation combinatoire.

On pose, pour tout x\in\mathbb{R} et tout n\in\mathbb{N} :

    \[\left(x\right)_{n}=\left\{\begin{array}{cc}1 & \text{si }n=0\\x\left(x-1\right)\cdots\left(x-n+1\right) & \text{si }n\geqslant1 \end{array}\right.\]

Montrer que, pour tout n\in\mathbb{N} et tout \left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2} :

    \[\thinspace\left(x+y\right)_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left(x\right)_{k}\left(y\right)_{n-k}\]

On pourra procéder par récurrence ou bien appliquer la méthode décrite à la fin de cet article.

exercice 9 difficile

Soit p un nombre premier.

Montrer que, pour tout entier n\geqslant p, la valuation p-adique de \displaystyle{\binom{n}{p}} et celle de \displaystyle{\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor} sont égales.


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